1、 快乐学习，尽在苏州中学网校1巧用简谐运动中的对称性解题陶成龙做简谐运动的物体其运动具有对称性，因此描述简谐运动的一些物理量也具有对称性，若能灵活运用这一点来解决简谐运动问题，常能收到出奇制胜的效果。下面举例说明，以供同学们参考。1. 巧用时间的对称性例 1. 如图 1 所示，一质点在平衡位置 O 点两侧做简谐运动，在它从平衡位置 O 出发向最大位移 A 处运动过程中经 0.15s 第一次通过 M 点，再经 0.1s 第 2 次通过 M 点。则此后还要经多长时间第 3 次通过 M 点，该质点振动的频率为多大？图 1解析：由于质点从 MA 和从 AM 的时间是对称的，结合题设条件可知 MA 所
2、需时间为 0.05s，所以质点从平衡位置 OA 的时间为，又因为 ，所以质点的振动周期为ttsOA(.).01502tTOA4T0.8s，频率 。fTHz2根据时间的对称性可知 MO 与 OM 所需时间相等为 0.15s，所以质点第 3 次通过 M 点所需时间为ttsO207.2. 巧用加速度的对称性例 2. 如图 2 所示，小球从竖直立在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，全过程中弹簧为弹性形变。试比较弹簧压缩到最大时的加速度 a 和重力加速度 g 的大小。图 2解析：小球和弹簧接触后做简谐运动，如图 2 所示，点 B 为弹簧为原长时端点的位置。小球的重力与弹簧的弹力的
3、大小相等的位置 O 为平衡位置。点 A 为弹簧被压缩至最低点的位置（也就是小球做简谐振动的最大位移处），点 A为与 A 对称的位移（也是最大位移处）。由对称性可知，小球在点 A 和点 A的加速度的大小相等，设为 a，小球在点 B 的加速度为 g，由图点 B 在点 A和点 O 之间，所以 。 快乐学习，尽在苏州中学网校2例 3. 如图 3 所示，质量为 m 的物体放在质量为 M 的平台上，随平台在竖直方向上做简谐运动，振幅为 A，运动到最高点时，物体 m 对平台的压力恰好为零，当 m 运动到最低点时，求 m 的加速度。图 3解析：我们容易证明，物体 m 在竖直平面内做简谐运动，由小球运动到最高点
4、时对 M 的压力为零，即知道物体 m 在运动到最高点时的加速度为 g，由简谐运动的对称性知道，物体 m 运动到最低点时的加速度和最高点的加速度大小相等，方向相反，故小球运动到最低点时的加速度大小为 g，方向竖直向上。例 4. 如图 4 所示，轻弹簧（劲度系数为 k）的下端固定在地面上，其上端和一质量为 M 的木板 B 相连接，在木板 B 上又放有一个质量为 m 的物块 P。当系统上下振动时，欲使 P、B 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多大？图 4解析：从简谐运动的角度看，木板 B 和物块 P 的总重力与弹簧弹力的合力充当回复力，即；从简单连接体的角度看，系统受到的合外力产生了系统的加速度
5、a，即Fkx合 ，由以上两式可解为 。当 P 和 B 在平衡位置下方时，系统处于Mma合 ()kxMma()超重状态，P 不可能和 B 分离，因此 P 和 B 分离的位置一定在上方最大位移处，且 P 和 B 一起运动的最大加速度 。由加速度的对称性可知弹簧压缩时最大加速度也为 ，所以轻g gm弹簧的最大压缩量应满足关系式 ，即得 。kxgmm()()xMk2()3. 巧用速度的对称性例 5. 如图 5 所示是一水平弹簧振子在 5s 内的振动图象。从图象中分析，在给定的时间内，以0.5s 为起点的哪段时间内，弹力所做的功为零。 快乐学习，尽在苏州中学网校3图 5解析：由速度的对称性可知，图 5
6、中与 0.5s 具有相同速率的时刻为 1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。结合动能定理可知，从 0.5s 到以上时刻所对应的时间内弹力所做的功均为零。4. 巧用回复力的对称性例 6. 如图 6 所示，在质量为 M 的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为 的mM()A、B 两物块，箱子放在水平地面上，平衡后剪断 A、B 间细线，此后 A 将做简谐运动。当 A 运动到最高点时，木箱对地面的压力为（ ）图 6A. Mg B. ()MmgC. D. ()Mmg2解析：剪断细线后的瞬间，弹簧对 A 的弹力为 ，所以 A 受到向上的合外力（回复kxg2力）为 mg。当 A 运动到上方最大位移处时，由
7、于简谐运动的回复力的对称性，A 将受到竖直向下的合外力（回复力），其大小仍为 mg，也就是说，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力为 Mg。选项 A 正确。例 7. 如图 7 所示，质量为 m 的木块放在弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动，当振幅为 A 时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的 1.5 倍，则物体对弹簧的最小压力是_；欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅不能超过_。图 7分析与解答：物体对弹簧压力最大应是物体振动到最低点时，最小应是物体振动到最高点时。对物体进行受力分析，在最低点受两个力：重力和弹簧弹力，根据题中信息可知这两个力的合力大小为 0.5mg，方向向上，充当回复力
8、。根据力大小的对称性可知，物体振动到最高点时，回复力大小也应为 0.5mg，方向向下，则物体在最高点所受弹簧的弹力应为 0.5mg，方向向上，根据牛顿第三定律物体对弹簧的最小压力为 0.5mg；物体脱离弹簧时应是弹簧恢复到自由伸长时，根据弹力 F 可知，在原来的基础上弹簧再伸长一个振幅 A 就可恢复到原长，所以欲使物体不kx离开弹簧，其振幅不能超过 2A。例 8. 如图 8，用质量不计的弹簧把质量为 3m 的木板 A 与质量为 m 的木板 B 连接组成如图所示的装置，B 板置于水平地面上，现用一竖直向下的力 F 向下压木板 A，撤消 F 后，B 板恰好被提离地面，由此可知力 F 的大小是（ ）
9、 快乐学习，尽在苏州中学网校4图 8A. 7mg B. 4mgC. 3mg D. 2mg解析：没撤去力 F 时，物体 A 静止，所受合力为零，把力 F 撤去，物体 A 受合力大小为F，方向向上，开始向上振动，所以最大回复力为 F，根据力大小的对称性，A 振动到最高点时，回复力大小也为 F，对物体 A 在最高点进行受力分析：重力 3mg 和弹簧的弹力 F，合力为 F。即；再对物体 B 进行受力分析，B 恰好被提离地面可得： ，所以力 F 的大小mg3 mg为 4mg。选项 B 正确。5. 巧用能量的对称性例 9. 如图 91，原长为 30cm 的轻弹簧竖立于地面，下端固定于地面，质量为 m0.1
10、kg 的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为 26cm。如果物体从距地面 130cm 处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距地面 22cm 时（不计空气阻力，取 g10m/s 2）有：图 9-1 图 9-2A. 物体的动能为 1J；B. 物块的重力势能为 1.08JC. 弹簧的弹性势能为 0.08JD. 物块的动能与重力势能之和为 2.16J解析：由题设条件画出示意图 92，物体距地面 26cm 时的位置 O 即为物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体距地面 22cm 时 A位置的动能与距地面 30cm 时 A 位置的动能相等。因此只需求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律得。物体从 A 到 A的过程中弹性势能的增加为EmghJkA011.，所以选项 A、C 正确。p 8.可见，熟练掌握并准确应用简谐运动的对称性，能使解题有理有据，简捷明了，达到事半功倍的效果。
