Gauss公式与Stokes公式.doc

1、第七节 Gauss 公式与 Stokes 公式一 Gauss 公式Green 公式建立了沿平面封闭曲线的线积分与二重积分的关系. 类似地,沿空间闭曲面的第二类曲面积分和三重积分之间也有类似的关系. 下面的 Gauss 公式建立了这种关系.定理 13.3(Gauss 公式) 设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 所围成. 若函数在 上连续, 且有一阶连续偏导数, 则(,)(,(,PxyzQRxyz)PdvPyzQdxRyA或 ()(coscos)RvdSxyz其中 是整个边界曲面的外侧, 是 上点 处的法向量的方向余cs,(,xyz弦.证明 设闭曲面 在面 上的投影区域为 . xoyxyD由 三

2、部分组成 , 123,1:()z, 是以 的边界曲线为准线而:()zxyxy母线平行于 z 轴的驻面上的一部分，取外侧.根据三重积分的计算法可得 21(,)xyzDRRdvdxyz图 13-19 21,(,),(,).xyDz根据曲面积分的计算法( 取下侧 , 取上侧, 取外侧)可得1231 1(,),(,xyDRxyzdRzydx2 2(,),(,),xy3,0.Rxyzd于是 21(,),(,),(,),xyDzzxyRzxyd xyzo123xyD因此 (,).RdvxyzdzA同理 (,),Pvxyzx(,),QddyA合并以上三式可得. ()PRvPyzQxRyxyz由两类曲面积分之

3、间的关系可知证毕.()(coscos)QdvdSxyzAGauss 公式的实质: 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.若 Gauss 公式中 , 则有,PxyRz(1) .dxdyzxzdyA于是得到应用第二类曲面积分计算空间区域 的体积公式的体积 .3xyzxzy例 13.21 计算曲面积分 , 其中 为柱面 及()()dd21xy平面 , 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧.0z3解 对应于 Gauss 公式 , , , 于是()pyzx0QRxy,Pz()()()xydzxdydxy A9sin.2rzr其中利用了柱面坐标变换.例 13.22 计算22(

4、)(),yxzdxzyxzdA其中 是一顶点在坐标原点、侧面平行坐标面位于第一卦限的边长为 的正立方体表面并 a取外侧.解 应用 Gauss 公式可得 22()()yxzdxzyxzd22yzz A00()()aayzdxdyx2201.a例 13.23 设函数 和 在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数, 证(,)uxyz(,)vz明,uvuvvdzdSdxyznxyzA其中 是闭区域 的整个边界曲面, 为函数 沿 的外法线方向的方向导数, 符v(,)z号 , 称为 Laplace (拉普拉斯)算子. 这个公式叫做 Green 第一公式.22xyz证明 因为方向导数 cosscos,vvnxy

5、z其中 、 、 是 在点 处的外法线向量的方向余弦。于是曲面积分coscs(,)zcosscosvvvudSdSnxyzA.uu 利用 Gauss 公式，即得 vudSnAuvvudxyzxyz ,vdzx将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式.二 通量与散度下面来解释 Gauss 公式的物理意义.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 )的速度场由1(,)(,(,)(,)AxyzPziQxyzjRxyzk给出,其中 假定具有一阶连续偏导数, 是速度场中一片有向曲面, 又PQRcoscosnijk是 在点 处的单位法向量, 由第 13.5 节可知, 单位时间内流体经过 流向指定侧()xy

6、z 的流体总质量 可用曲面积分来表示PdQzxRdy(coscos)S,nAS其中 表示流体的速度向量 在有向曲面 的法向coscosnPQRv量上的投影. 如果 是 Gauss 公式 中()PdPyzQdxRyxyzA闭区域 的边界曲面的外侧, 那么 Gauss 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域 的 流体的总质量. 另一方面 假定流体是不可压缩的 ,且流动是稳定的,因此在流体离开 的同时, 内部必须有产生流体的“源头”产生同样多的流体来进行补充，因此 Gauss 公式左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量.由于 是 上的向量函数, 对 上每一点 ,定义数量函数(,

7、)Axyz ()xyz,(,)PQRDxyz称为向量函数 在 处的散度(divergence), 且记作(,)xyz,.(,)(,)xyzdivAxyz把 Gauss 公式改写成.ndivAdS以闭区域 的体积 除上式两端可得V11nivV在 中任取一点 , 对上式中的三重积分应用中值定理,得(),(,)1nPQRAdSxyzV令 缩到一点 , 取上式的极限, 得()Myz.1limnMdSxyz这个等式可以看作是散度的另一种定义形式. 可以看作稳定流体的不可压缩流(,)ivAxyz体在点 的源头强度, 即在单位时间单位体积内所产生的流体质量. 若()Mxyz,说明在每一单位时间内有一定数量的

8、流体流出这一点,则称这一点为源.相,0divA反,若 ,说明流体在这一点被吸收,则称这点为汇.若在向量场 中每一点皆()xyz A有 0,divA则称 为无源场.A例 13.24 求向量场 的散度.222()()()Axyzixzjxyk解 2,PxyzQRy.22()divxzxz例 13.25 设 , 是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续偏导数的函()uxyz(,)v数, , 依次表示 , 沿 的外法线方向的方向导数. 证明nvxyz() .vuuvddSnA其中 是空间闭区域 的整个边界曲面. 这个公式叫做 Green 第二公式.证明 由第一 Green 公式(例 13.23)知22vv

9、udxyzxy ,uuvdSdxyznzA22vdxyxyz ,uvuvdSdxyznz将上面两个式子相减, 即得2222vvvu xyzxyzxyz .dSnA例 13.26 利用 Gauss 公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力( 即浮力) 的方向铅直向上, 其大小等于这物体所排开的液体的重力 .证明 取液面为 面, 轴沿铅直向下,设液体的密度为 , 在物体表面 上取元素xoyz上一点,并设 在点 处的外法线的方向余弦为 , 则 所受液dS()coscsdS体的压力在坐标轴 上的分量分别为,cos,s,zdSzz利用 Gauss 公式计算 所受的压力可得,()0x

10、FvA,cosyzdS,()()|z v其中 为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力 , 其方向铅直向下, 大|小等于这物体排开液体的所受的重力, 即阿基米德原理得证. 三 Stokes (斯托克斯)公式右手规则: 设 是分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时, 拇指所指的方向与 上法向量的指向相同. 这时称 是有向曲面 的正向边界曲线.Stokes 公式是 Green 公式的推广. Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系, 而 Stokes 公式则把曲面 上的曲面积分与沿着 的

11、边界曲线的曲线积分联系起来. 下面的公式就叙述这种关系.定理 13.4 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 , , 在包含曲面 在内()Pxyz()Qz(,)Rxyz的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式()()()RQRdyzdzdxxyPA上式叫做 Stokes 公式.证明 设 与平行于 轴的直线相交不多于一点, z并 取上侧,有向曲线 C 为 的正向边界曲线 在的投影.且所围区域 . 如右图.xoyxyD证明的思路是: 设法把曲面积分化为闭区域 上的二重积分,然Pdzxy xy后通过 Green 公式使它与曲线

12、积分相联系. 图 13-20根据对面积的和对坐标的曲面积分间的关系,有(coss)PPdzxydSzy当 为 ， 时，有向曲面 的法向量的方向余弦为(,)zfy,xyD, , 2cos1xyf2cos1yxf21cosxyf因此 , 于是yf()cosyPPdzxyfdz即 ()yzxyfxz上式右端的曲面积分化为二重积分时, 把 中的 用 来代替. 因为由复合,)Px(,f函数的微分法,有 ,(,)yyffzxyzo:(,)fxyxyDCn所以, 我们得到(13-7-1),(,)xyDPdzxPfxydy根据 Green 公式,上式右端的二重积分可化为沿闭区域 的边界 的曲线积分:xyC,(

13、,),(,)xy cDfxydfdxA于是立即可得 ,(,)cPzxyPxfyx因为函数 在曲线 上点 处的值与函数 在曲线 上对应点,(,)PxyfC(,),z处的值是一样的,并且两曲线上的对应小弧段在 轴上的投影也一样,根据曲线积分()z x的定义,上式右端的曲线积分等于曲线 上的曲线积分 . 因此()Pyzd. (13-7-2)(,)PdzxyPxzdA同理可证 (,),QdxyzQxyzd(,),RzRA于是立即可得. 证毕.()()()QPQPdyzdzxdxyQdyRz A注: 1. 如果 取下侧, 也相应地改成相反的方向, 那么(13-7-2) 式两端同时改变符号, 因此(13-

14、7-2)式仍成立.2. 如果曲面与平行于 轴的直线的交点多于一个, 则可作辅助曲线把曲面分成几部分, z然后应用公式(13-7-2)并相加 . 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积分相加时正好抵消,所以对于这一类曲面公式(13-7-2)也成立.3. 为了便于记忆, 把 Stokes 公式写成dyzxdyPxQdyRzzPQRA另一种形式 coscosdPxQdyRzxyzPQR其中 .cos,csn4. Stokes 公式的实质 : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.5. 当 是 面的平面闭区域时,Stokes 公式就变成 Green 公式. 因此, 格林公式是xy

15、Stokes 公式的一个特殊情形 .例 13.27 计算曲线积分 ,其中 是平面 被三坐标面所zdxyzA1xyz截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解 根据 Stokes 公式, 有zdxyzdyzxdyA由于 的法向量的三个方向余弦都为正, 再由对称性知:3xyDzx于是32zdzA例 13.28 计算曲线积分222()()()yzdxyxA其中 是平面 截立方体: , 301, 的表面所得的截痕,若从01y01z轴的正向看去,取逆时针方向.ox解 取 为平面 32xyz的上侧被 所围成的部分. 则1,n 0xyDn11xyon图 13-21即 因此

16、图 13-221coscos,322213I dsxyzyzx4()3xzds因为在 上 , 所以2xyz4923.23xyDIdsd例 13.29 利用 Stokes 公式计算 ,其中 为圆周 , zA22xyza,若从 轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向.0xyzx解 设 为平面 上 所围成的部分, 则 上侧的单位法向量为0yz.1(cos,cs),3,n于是 ydxzdSxyzA.23dSa这其中用到 表示 的面积, 是半径为 的圆. dS四 空间曲线与路径的无关性定理 13.5 设 为空间单连通区域. 若函数 在 上连续,且有一阶连续偏3,PQR导数, 则以下四个条件是等价的:(1)

17、 对于 内任意按段光滑的封闭曲线 有L0;LPdxQyRzA(2) 对于对于 内任意按段光滑的封闭曲线 有ll d与路径无关;(3) 是 内某一函数 的全微分, 即PdxQyRzu;dPxQyRdz(4) 在 内处处成立.,yxzyz该定理证明类似于定理 13.3.2 的证明, 故略去.例 13.30 验证曲线积分 ()()()Lyzdxyxdz与路径无关, 并求被积表达式的原函数 .,uz解 由于 ,pyQxRy,1PPxzyz所以曲线积分与路径无关.下面求.0(,)()()()Muxyzyzdxyxdz如图取 ,从 沿平行于 轴的直线到 , 再沿平行于 轴的直线到10()xyzy, 最后沿

18、平行于 轴的直线到2 z. 于是 (,)Mxyz图 13-23 000(,)()()()xyzuyzdzxdyd0 0()()()zxyzxyoyx(,)Mxz2100(,)y,xyzc其中 是一个常数. 若取 为原点,则00C0M.(,)uxyzxyz五 环流量与旋度环流量的定义: 设向量场 (,)(,)(,)(,)AxyzPziQxyzjRxyzk则沿场 中某一封闭的有界曲线 上的曲线积分CCdsxdyzA称为向量场 沿曲线 按所取方向的环流量.A利用 Stokes 公式,有 CijkAdsdsxyzPQR 旋度的定义: 设向量场 (,)(,)(,)(,)xyzzixyzjxyzk在坐标轴

19、上的投影为 ,RpRPyzxy的向量叫做向量场 的旋度, 记作 rot , 即AArot RQpRQPijkyzxy于是, 可以写出 Stokes 公式的又一种形式()cos()cos()cosPdSyzzxxyQRdA其中 的单位法向量为 , 的单位切向量为coscosnijk . 这样我们又可得 Stokes 公式的向量形式costijk或rotAndSts()ntrotAdSs其中 ,()()ccs()conRQPRQProttyzzxxy. 所以csostAPtrotAds现在, Stokes 公式可叙述为 : 向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度A场通过 所张的曲面的通量

20、.( 的正向与 的侧符合右手法则)习题 13.71. 利用 Gauss 公式计算下列曲面积分:(1) . 其中 为平面 , , , , ,222xdyzxzdyA0xyzxay所围的立体的表面的外侧.za(2) . 其中 为上半球体 ,2232()()zdy22的表面外侧.0zxy(3) .其中 是单位球面 的外侧.333dzdxA221xyz(4) . 其中 是单位球面 的外侧.yzy(5) . 其中 是锥面 与平面 所围成的空间222xzx 22xyzh区域 的表面, 方向取外侧.(0)zh2. 利用 Gauss 公式计算椭球面 所围区域的体积 .221xyzabc3. 设某种流体的速度为

21、 , 求单位时间内流体流过曲面vijk 2:yxz的流量, 其中 取左侧.2(0)yh4. 应用 Gauss 公式计算三重积分 ()Vxyzdxyz其中 是由 , , 与 所确定的空间区域.V0xy1z215. 计算 . 其中 为一封闭曲面的外侧(曲面不经过坐标原点).223/()xdyzxzdyA6. 应用 Stokes 公式计算下列积分 :(1) . 其中 为平面 与各坐标面的交线, ()()()Lyzxzyxz 1xyz取逆时针方向为正向.(2) , 其中 为 与三个坐标面的交222()()()LdydAL线, 它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧.(3) . 其中 为以 , , 为顶

22、()()()Lzyxzyz (0)Aa()B(0,)Ca点的三角形沿 的方向.BC(4) . 其中 为圆: ,且从 轴正向看去取逆时针方向.23LdzAL220xyzz(5) . 其中 是曲线 ,且从 轴正向看去取逆时针方Lyzxyd2431y向.7. 证明沿曲线 的曲线积分 与路径无关, 只AB223()()2ABxzdxdyxz与起点 和终点 有关. 并求原函数.8. 计算 . 其中 为由点 至点222()()()Lxyzdy L(,0)Aa的螺线 , , ( ).(,)Baohcosainhz029. 证明: 由曲面 所围成的立体 的体积等于V1(csocs)3xyzdSA其中 , , 为曲面 的外法线方向余弦.coscos参考答案1. (1). (2). (3). (4). (5) 43a524a02. bc3. 42h4. 15. 当曲面 不包围含坐标原点时, 积分 ; 当曲面 包围坐标原点时, 积分为046. (1). (2). (3). (4) (5) 32023a618a7. 4(,)uxyzxyzC8. 提示: 此积分与路径无关, 积分值为 3h