1、13 函数的概念基础知识导学1函数的概念(1)函数的定义定义 1 设 和 是两个变量, 是一个给定的数集,如果对于每个数 ,变量 按xyDDxy照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称 是 的函数,记作 .数集 称为yx)(fy该函数的定义域, 称为自变量, 称为因变量.y当自变量 取数值 时，因变量 按照法则 所取定的数值称为函数 在点0 f f处的函数值，记作 .当自变量 遍取定义域 的每个数值时,对应的函数值的全体0x)(xfx组成的数集 = 称为函数的值域.Wy,定义 2 设 与 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则 ，使得对 中任何一DBfD个实数 ，在 中都有惟一确定的实数 与
2、 对应，则对应规则 称为在 上的函数，记y为,BDfxf : :或称为 对应的函数值，记为yx,xfy),(其中， 称为自变量， 称为因变量.由定义 2 知, 函数是一种对应规则，在函数 中， 表示函数， 是对应)(xfyf)(xf于自变量 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以x习惯上常把在 处的函数值 称为函数，并用 的形式表示 是 的函数.但应正y y确理解，函数的本质是指对应规则 .例如 就是一个特定的函数，f 104(23f）确定的对应规则为f10)(4)(23就是一个函数(2) 函数的两要素函数 的定义域 是自变量 的取值范围，而函数值 又是由对应规则
3、 来确定)(xfyDxyf的，所以函数实质上是由其定义域 和对应规则 所确定的，因此通常称函数的定义域和f对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如 ，就是相2vzxy与同的函数.（3）反函数的定义函数 ， D 的值域为 ，若映射 ： 是一一映射则由它y)(xf)(ff)(Df的逆映射 ： 所给出的函数 = ， ，称为函数1x)(1yy，)(xfD 的反函数。x2 函数的三种表示方法(1)图像法 用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根
4、据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2)表格法 将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3)公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法. 这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： 分段函数 在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间 上的分段函数. 5,( 用参数方程确定的函数用
5、参数方程 （ ）)(tyx表示的变量 与 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程 表示.)1,(12xy )0(sincotty 隐函数如果在方程 中，当 在某区间 I 内任意取定一个值时，相应地总有满足0),(yFx该方程的惟一的 值存在，则称方程 在区间 I 内确定了一个隐函数.例如方程0),(yF就确定了变量 是变量 之间的函数关系01exyx注意 能表示成 (其中 仅为 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把)fyf一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如 可以化成显函数01exy,52,ln0,1)(xxf.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如 .
6、xye1 xye0重点难点突破1、 关于函数概念（1） 在理解函数的定义时抓住定义域：自变量的变化范围 D对应规律：因变量与自变量的对应规律（对应法则或对应关系） f ：值域：因变量的取值范围 f(D)因为是随着、的确定而完全确定，所以定义域和对应法则是确定函数的两要素。例如： ，由于定义域是空集，因此它不表示函数关系。xxf13)(对于对应规律 f，一般要求一个 x 有唯一确定的 y 与之对应，即给一个 x 只有一个y 值与之对应，这样的函数称为单值函数。这也是我们主要讨论的函数。例如： y=x2,与 y=4 对应的 x 值有 x1=2， x2=2 两个值y=sin2x+cos2x，对于 ，
7、都只对应于 1),(以上两例都是满足函数定义要求的。如果有两个或两个以上的 y 值与 x 对应，称为多值函数。（2）判断两个函数相等，必须满足以下条件： 两个函数的定义域相同 对应法则相同以上两条只要有一条不满足，两个函数就是不同的函数。例如： 与 是不同的函数，因为 的定义域是2lnxl 2lnx),0(),(而 的定义域是 。l2),0(与 是两个相同的函数，虽然字母不同，但定义域和对应法则完全相baxy同，因此是相同的函数（3）在函数的定义中，对函数的表示方式没有任何限制，（4）注意 f (x)和 f (x0)的不同。 f (x)是函数记号，表示一个变量， f (x0)是函数值记号，表示
8、函数在 x = x0处的值，表示一个数2、 关于求函数的定义域在微积分中，所讨论的量（常量和变量）一般都限制在实数范围内，自变量与应变量都只能取实数值。求函数的定义域，就是在实数范围内求使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，应注意以下几点：（1） 分式函数的分母不能为零；（2） 偶次根式内的量不能为负值；（3） 对数符号内的量必须取正值；（4） 正切函数 中 ， ；tgxy2k,21,0（5） 反正弦 、反余弦 中 ；xyarcsinxyarcos1（6） 函数的表达式是由有限项通过四则运算组成的。可先分别求出参加运算的各个函数的定义域，然后取它们的交集（即取它们的公共部分）
9、 。（7） 对于分段函数，可取各个段的定义域的并集。（8） 对于复合函数，自变量的取值不仅使中间变量有意义，还必须使与中间变量有关的所有的函数有意义。3、 关于反函数（1） 对于函数 的反函数概念的理解)(xfy设函数 的定义域为 Df，值域为 Rf，如果对于每一个值 yR f,由关系)(xfy可确定唯一值 xD f，则得到一个以 y 为自变量， x 为因变量的函数，记作：)(f，称 为函数 的反函数。1yx)(1y)(xf一般习惯上把 x 作为自变量，把 y 作为因变量，因此，把反函数 改写成)(1yfx)(1f函数 与反函数 的图形是同一条曲线；xfy)(1yfx函数 与反函数 的图形在同
10、一坐标系中关于直线 对称)( xy（2） 求函数 的反函数的步骤：)(xfy 解出 x，得 （要求单值，否则认为此函数在其定义域内无反函数）1 将字母 x、 y 交换位置，得反函数 )(1xfy反函数的定义域、值域分别是给定函数的值域、定义域。解题方法指导1求函数定义域的方法例 1 求下列函数的定义域:(1) = + ，y26xsinl(2) = .)1arc(32解 (1) 由所给函数知,要使函数 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大y于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得,0sin162x2,10)2(4nxn这两个不等式的公共解为 与4x0x所以函数的定义域为 .),(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得,1203,x,403x即 ,30因此，所给函数的定义域为 .)3,0小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以上八条原则。
