1、1初 一 数 学（第 11 周）【教学内容】第四章 4.1 等式和它的性质 4.2 方程和它的解 4.3 一元一次方程的解法【教学目标】1、使学生了解等式、方程的意义，理解等式的两条性质，并能利用这两个性质对一些等式进行变形2、学会用移项法解简单的一元一次方程。【知识讲解】1、等式的意义和它的性质：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。如：1+2=3 a+b=b+a s=ab 4+x=7在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。问题下列各式中，哪些是代数式，哪些是等式？5x， 3(a+b)=3a+3b, 7x2x=5x, 2x+3=3x， a4ab1,解：5x2，7a
2、4ab1 是代数式3(a+b)=3a+3b, 7x 2x=5x, 2x+3=3x1 是等式。说明：要注意代数式与等式的区别，表示相等关系的式了叫做等式，其特征是式子中含有“=”号，所以代数式不是等式。我们在第一章中已经用在等式两边都加上（或减去）都乘以（或除以）同一个适当的数的方法来解方程，这种方法的根据是等式的性质。一般地，等式有以下两条性质：等式性质 1，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 。等式性质 2，等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为 0）所得结果仍是等式。例 1：填空：（1）在等式 5x6=9 的两边都_得到等式 5x=15（2）在等式 7=3
3、x+6 的两边都 _得到等式 1=3x 即 3x=1（3）在等式 x=5 的两边都_得到等式 x=15（4）在等式3x=6 的两边都_得到等式 x=2（5）在等式 5+x=5 的两边都_得到等式 x=0（6）在等式3x=0 的两边都_得到等式 x=0解：（1）在等式 5x6=9 的两边都 加上 6 得到等式 5x=15。（2）在等式 7=3x+6 的两边都 减去 6 得到等式 1=3x 即 3x=12（3）在等式 x=5 的两边都 乘以 3 得到等式 x=151（4）在等式3x=6 的两边都 除以3 得到等式 x=2（5）在等式 5+x=5 的两边都 减去 5 得到等式 x=0（6）在等式3x
4、=0 的两边都 除以3 得到等式 x=0例 2：填空：（1）如果 a+5=b+5 那么 a=b 这是根据等式性质_ ，在等式两边都_（2）如果5x=5y 那么 x=y 这是根据等式性质_，在等式两边都_（3）把 4x=3x+7 变形为 4x3x=7 的依据是_;（4）把 =x 变形为 2x3=6x 的依据是_;x1（5）把 变形为 的依据是_; 7.021702x解：（1）如果 a+5=b+5 那么 a=b 是根据等式性质 1 ，在等式两边都 减去 5 ；（2）如果5x=5y 那么 x=y 是根据等式性质 2 ，在等式两边都 除以5； （3）把 4x=3x+7 变形为 4x3x=7 的依据是
5、等式的性质 1，等式两边都减去3x ； （4）把 =x 变形为 2x3=6x 的依据是 等式的性质 2，等式两边都乘x21以 6 ;（5）把 变形为 的依据是 分数的基本性质，分子7.01702x与分母都扩大相同的倍数，商不变;说明：利用等式的两个性质，改变等式的形状而使等式仍能成立，是今后学习中不可缺少的基本技能，在变形的过程中一定要重视等式性质中的“两边” 、 “都” 、 “同” 、“不等于零”等这些关键字的意义。2、方程和它的解：我们知道上一小节中的方程 5x7=8 的解是 x=3，现在我们把有关方程的一些概念叙述一遍，其中大部分是已经学过的。在方程 5x7=8 中，5，7，8 这三个数
6、的值是已知的，像这样的数都叫做已知数。字母 x 也表示一个数，但相当于一个问号“？” ，在我们研究这个方程之前，它的值是未知的，像这样的数叫做未知数。方程就是含有未知数的等式。使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。因此方程 5x7=8 的解（或根）是 x=3。3求得方程的解的过程叫做解方程。例如，求得方程 5x7=8 的解（不管用什么方法）的过程，就是解方程 5x7=8。例 1：判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数，如果不是，说明为什么。（1）52x=1， （2）y 2+2=4y1（3）x2y=6， （4）2x 2+5x+8解：
7、（1）是，5、2、1 是已知数，x 是未知数（2）是，2、4、1 是已知数，y 是未知数（3）是，2、6 是已知数，x、y 是未知数（4）不是，因为它不是等式注意：（1）未知数的系数如果是 1，这个省写的 1 也可以看作已知数，但可以不说；（2）已知数应该包括它的符号在内。例 2：根据下列条件列出方程：（1）某数的 20%与 2 的差等于 17 （2）某数与 3 的和的 2 倍等于 10（3）某数比它的 大 （4）某数比它的 2 倍小 35416（5）某数的 4 倍比 30 大 10 （6）某数的 2 倍比某数的 5 倍小 40解：设某数是 x，那么所求的方程是：（1）20%x2=17 （2）
8、2（x+3）=10 （3） 也可以列成 或16x54116（4）2xx=3 也可以列成 x+3=2x 或 x=2x3（5）4x30=10 也可以列成 4x10=30 或 4x=30+10（6）5x2x=40 也可以列成 5x 40=2x 或 5x=2x+40注意：这里的条件表面上是“谁比谁大（小） ”，实际上说的是相等关系，在分析时要留心。例 3：检验下列各小题括号里的数是不是它前面的方程的解：（1）3x=x+3 （x=2， ）23x（2）y=104y （y=1 ， y=2， y=3）（3）(x)(x 3)=0 （x=0， x=2， x=3）解：（1）把 x=2 分别代入方程 3x=x+3 的
9、左边和右边得：左边=3x=32=6 右边=x+3=2+3=5左边右边x=2 不是方程 3x=x+3 的解把 分别代入方程 3x=x+3 的左边和右边得：23x4左边=3x=3 = = ，右边=x+3= +3=239142314左边=右边x= 是方程 3x=x+3 的解。（2）把 y=1 分别代入方程 y=104y 的左边和右边得：左边=y=1， 右边=10y=1041=6左边右边 y=1 不是方程 y=104y 的解把 y=2 分别代入方程 y=104y 的左边和右边得：左边=y=2，右边=10y=1042=2左边=右边 y=2 是方程 y=104y 的解把 y=3 分别代入方程 y=104y
10、 的左边和右边得：左边=y=3, 右边=104y=1043=2左边右边 y=3 不是方程 y=104y 的解（3）把 x=0 分别代入方程(x )(x3)=0 的左边和右边得：左边=(x)(x 3)=(02)(0)，右边=0左边右边 x=0 不是方程(x)(x3)=0 的解把 x=2 分别代入方程(x )(x3)=0 的左边和右边得：左边=(x)(x 3)=(22)(23)0，右边=0左边=右边 x=2 是方程(x)(x3)=0 的解把 x=3 分别代入方程(x )(x3)=0 的左边和右边得：左边=(x)(x 3)=(23)(33)0，右边=0左边=右边 x=3 是方程(x)(x3)=0 的
11、解3、一元一次方程的解法：我们先通过简单例子引入一种重要的变形。例如：解方程 x7=5为了去掉方程左边的已知数7，我们利用等式性质 1，在方程的两边加上 7，即x7+7=5+7，也就是变形为： x=5+7 把式与原方程（题目所给的方程 x7=5）相比较，这个变形相当于：x 7 = 5x =5 + 7又如，解方程 7x=6x4,5为了去掉方程右边的未知项（含有未知数的项）6x，我们利用等式性质 1，在方程的两边都减去 6x 即：7x6x=6x46x 也就是变形成 7x6x=4 把式与原方程相比较，这个变形相当于：7x = 6x 47x 6x = 4把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一
12、边，这种变形叫做移项。我们可以用口诀记忆为：移项要过桥，这桥要变号。例 1、用移项的方法解下列方程并检验：（1）x+8=21， （2） 3x=2x+7 （3）14x+5=8+13x （4）x+8=21解：移项得： x=218 合并同类项得：x=13把 x=13 分别代入方程 x+8=21 的左边和右边得：左边x+8=13+8=21右边=21左边=右边x=13 是方程 x+8=21 的解（2）3x=2x+7解：移项得： 3x2x7合并同类项得：x=7把 x=7 分别代入方程 3x=2x+7 的左边和右边得：左边=3x=21, 右边=2x+7=27+7=21左边=右边x=7 是方程 3x=2x+7
13、 的解（3）14x+5=8+13x解：移项得： 14x13x=85合并同类项得：x=3把 x=3 分别代入方程 14x+5=8+13x 的左边和右边得：左边=14x+5=143+5=47右边=8+13x=8+133=47左边=右边x=3 是方程 14x+5=8+13x 的解现在我们再举例说明一些方程的解法：例 2、解方程：5x=70分析：为了把未知数 x 的系数5 变成 1，我们利用等式性质 2，在方程的两边都除以 65，即5x（5）=70（5） （或 ）也就是 。570x570x解：把 x 的系数化成 1，得： 即 x=14570x检验：左边=5（14）=70， 右边=70 左边=右边所以
14、x=14 是方程 5x= 70 的解。例 3、解方程 8x分析：先移项，合并同类项，得 ，为了把这个新方程中未知数的系数化成953x1，我们在方程的两边都除以 （或乘以 ） ，即 也就是：359 359x解：移项得： 81x合并同类项得： 953系数化为 1 得： x即： x=15检验：左边= 右边=1 左边= 右边853所以 x=15 是原方程的解。例 4、解方程 5x+2=7x分析：方程两边都有未知数，都有常数项，一般地，把未知项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边。解：移项得：5x7x=82合并同类项得：2x= 10系数化为 1 得：x=5检验：把 x=5 代入方程左、右两边得：左边=
15、5x+2=55+2=27右边=7x8=758=27x=5 是方程 5x+2=7x8 的解。通过以上几个例题的分析与讲解，请同学们在解简单的一元一次方程时要注意：（1）移项时，先要分清不移的项和需移的项，方程两边未移的项不变号，要移的项在移项时要变号；（2）把未知数的系数化成 1 时，不要错把未知数的系数当作被除数。例 5、下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正？（1）解方程 解 5x052x7（2）解方程 2x1=x+5 解 2xx=5 1 x=4（3）解方程 解 157y57y152y52y答：（1）这种解法是错误的，把原方程变形后得到的新方程两边的值和原方程两边的值不相等，因此解方程不
16、是代数式运算，不能连等。正确的解法是： 2x解：系数化为 1 得：x=10（2）这种解法是错误的，移项都要变号。正确的解法是：2x1=x+5解：移项得：2x+x=5+1合并同类项得：3x=6系数化为 1 得： x=2 （3）这种解法是错误的，系数化为 1 时，方程两边都除以 ，即乘以 。52正确的解法是： 57y解：移项得： 合并同类项得： 12系数化为 1 得： 5y【一周一练】一、填空题：1、用“=”或“”填空：若 x= y 则（1）x5_y5 （2） x_ y314（3） x_ y, （4）3x2_3y241、如果 mn= 2 那么 n=_,如果 =3, 那么 y=_.52、如果 a6=
17、b6 那么 a= _,如果 x+ =y+ ，那么 x=_.313、如果12x=12y, 那么 x=_.4、在式子 3(x22)= ; 4y ; ; 615=716; 7x 中315)(60528_是等式_是方程。5、若 （a+1）=1 则 a+1_, a=_316、2=5x, 则 x=_, 若 则 x= _.26x7、已知 3y=1.8x, 根据等式的性质 x= _, y= _.二、直接写出下列各方程的解：1、 ，y= _, 2、12= x, x= _.3y3、 , x= _, 4、1=5x, x= _.7x5、15y=30, y= _, 6、3y=18, y= _.7、x9=7, x= _,
18、 8、5x=1+2x, x= _三、选择题：1、已知 x=y,下列各式中，不正确的是（ ）A.x6=y6 B.8x=8y C. = D.x6=y+63xy2、如果 x=2 是方程的解，那么这个方程是（ ）A.2x=5x+14 B. 1=02C.3(x1)=1 D.x21=53、根据等式的性质将等式 2x7=3x 变形，变形正确的是下列各式中的（ ）A.2x+3x= 7 B. 3x2x=7 C. 3x+2x=7 D. 3x2x=74、方程 3(y+1)=2y1 的解是（ ）A.y=0 B.y=2 C.y=4 D.以上全不是5、x 增加 3 倍后比它扩大 5 倍少 3，列得的方程是（ ）A. 3x
19、=5x+3 B. 3x=5x3 C. 4x=5x3 D. 4x=5x+3四、根据条件列方程：1、某数的一半比某数的 3 倍大 52、某数的 5 倍少 2 比它的一半大 13、x 的 15%与 y 的 的差等于 y 的 2 倍14、x 与 1 的和的 与 1 的差的 2 倍等于23五、解下列方程并写出检验过程：1、3x=2x+5 2、2y+3=y193、7y=43y 4、 =y52315、10x+7=12x53x 6、8x4+2x= 4x3【一周一练答案】一、1.(1) =, (2) , (3) =, (4) =2.m2, 15 ； 3.b, y； 4.y5.3(x22)= , ,615=716, 7x =0 是等式，3(x 22)= ,316)(52317x =0 是方程56.3, 2 7.x= , x=12 8.x= , y=0.6x52y3二、1.y=3 2.x=12, 3.x= 4.x=7515.y=2 6.y=6 7.x=16 8.x=三、D，B，D，C，C ，四、1、设某数为 x， x3x=5 2、设某数为 x，5x2= x+121 213、15%x y=2y 4、2 （x+1 ）1=25 31五、1)x=5 2)y=4 3)y= 4)y= 5)x=12 6)x=5656
