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《线性代数》章节6.2和6.3.ppt
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- 《线性代数》章节6.2和6.3.ppt
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1、2 配方法化二次型 为标准形,1、二次型的标准形的定义,所变成的平方和形式,注:1)由定理1任一二次型的标准形是存在的.,2)可应用配方法得到二次型的标准形.,则,解:作非退化线性替换,或,最后令,则,或,再令,所作的非退化线性替换是,即,则,例2 根据定理2,求例1中二次型的标准形.,情形3),情形1),令,情形1),令,令,为对角矩阵.,作非退化线性替换XCY,,则,即得 的标准形,3 合同的变换法二次型的标准形,矩阵的第 i 列.,2. 合同变换法化二次型为标准形,又,,设对称矩阵A与对角矩阵D合同,则存在可逆矩阵,基本原理:,C, 使.,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,
2、就相当于对A作s次合同变换化为D.,所以,在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时,,又注意到,所以,,基本步骤:,对A作合同变换化为对角矩阵D,对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C, 作非退化线性替换X=CY,则,即,为标准形.,D为对角阵,且,注意:,i)若a110,作合同变换:将A的第一行的 倍,加到第 j 行,再将所得矩阵的第一列的 倍加到,合同变换化对称矩阵 为对角阵D时,ii) 若a11=0,而有某个aii 0,作合同变换:,互换1, i 两行,再互换1, i 两列,所得矩阵的第1行,第1列处元素为aii 0,转为情形i),即,iii) 若aii=0, i=1,2,n.则必有某个aij0(i j),作合同变换:,iv) 对 i)中A1重复上述做法.,将第 j 行加到第 i 行,再将第 j 列加到第 i 列,所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij 0. 转为情形ii).,例3 用合同变换求下面二次型的标准形,(同例1),作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形,令,则,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.(因为合同变换保持矩阵的对 称性可利用这一点检查计算是否正确.),对A作合同变换时,无论先作行变换还是 先作列变换,结果是一致的.,可连续作n次初等行(列)变换后,再依次作n次相应的初等列(行)变换.,说明:,
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