1、书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库2009 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三1 （本小题满分 13 分）如图，已知双曲线 C：的右准线 与一条渐近线xaybab20()， l1交于点 M，F 是双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点.l2（I）求证： ；（II）若 且双曲线 C 的离心率 ，|F1e62求双曲线 C 的方程；（III）在（II）的条件下，直线 过点 A（0，1）与双曲线 C 右支交于不同的两点l3P、Q 且 P 在 A、Q 之间，满足 ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明 .PQ解：（I） 右准线 ，渐近线l12： xacl2： ybax，Macb
2、F()()2 220， ， ， ， OMacb()2，Facbac()()22， ，3 分OOF 220（II） ebaeab621222， ，书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库|()MFbcabac111422222， ，双曲线 C 的方程为： 7 分xy21（III）由题意可得 8 分0证明：设 ，点l3： ykxPQxy()()12， ， ，由 得x21()240k与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Ql3201620412210221kkxkk()11 分，得APQxyxy， ， ，()()121x12()()14246112122kk，20422kk， ， ()
3、()14102书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库的取值范围是（0，1 ） 13 分2（本小题满分 13 分）已知函数 ，fxxnfnnxnN()()(*)011，数列 满足anfN()*（I）求数列 的通项公式；（II）设 x 轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为ayfx()，求 ；Sa()0SnN()(*1（III）在集合 ，且 中，是否存在正整数MkZ|2， 1050kN，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，则这样的正整aSnn5()数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数 N；若不存在，请说明理由 .（IV ）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在
4、，并求nbnlim()nnb12出这个极限值.解：（I） n*ffnfn()()()()111 分f()1023fnn()1将这 n 个式子相加，得书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库fnn() ()012312f()23 分anN(*)1（II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底S()n1边的长分别为 ，高为 1fnf()1，fan()()2216 分n（III）设满足条件的正整数 N 存在，则nnn()12052105210又 M 8298， ， ， ， ， ， ， 均满足条件N019， ， ，它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列.设共有
5、m 个满足条件的正整数 N，则 ，解得01298()mm495中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个， 9 分Min01（IV ）设 ，即ban1n21()()则 nnn12 34121 ()()显然，其极限存在，并且 10 分lim()limnnb122书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库注： （c 为非零常数） ， 等都能使banbbqnanan()(|)120121，存在.lim()nn1219. （本小题满分 14 分）设双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率为 2.yax231F12、（I）求此双曲线的渐近线 的方程；l12、（II）若 A、B 分别为 上的点，
6、且 ，求线段 AB 的中点 M 的轨、 512|AB迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点 能否作出直线 ，使 与双曲线交于 P、Q 两点，且N()10， l.若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由 .OPQ解：（I） eca242，ca31， ，渐近线方程为 4 分双 曲 线 方 程 为 yx2 yx3（II）设 ，AB 的中点AB()()12， ， ， M，书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库2521033233101122112121122|()()()()()ABFcxyyxxyyyx又 ， ， ，10753222()()y， 即则 M 的轨迹是中心在原
7、点，焦点在 x 轴上，长轴长为 ，短轴长为 的椭圆.103103（9 分）（III）假设存在满足条件的直线 l设 lykxlPxyQxy： ， 与 双 曲 线 交 于 ， 、 ，()()()112OPQxkxi010112212()()由 得则 ，yxkxki ()()()36306112221222由（i） （ii）得 k0k 不存在，即不存在满足条件的直线 . 14 分l3. （本小题满分 13 分）书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库已知数列 的前 n 项和为 ，且 对任意自然数都成aSNn()*Smann()1立，其中 m 为常数，且 .1（I）求证数列 是等比数列；
8、n（II）设数列 的公比 ，数列 满足：aqfm()bnabfn113， ()，试问当 m 为何值时，()*nN2， li(lg)lim(1234成立？bn1解：（I）由已知 San11()()（2）mnn()由 得： ，即 对任意 都成立2amn11()amnn1N*man为 常 数 ， 且即 为 等 比 数 列 分 51（II）当 时， ama11()abIqfbfbnNn11132， 从 而由 （ ） 知 ，()*1321911bnbnNnnnn， 即为 等 差 数 列 ， 分()()*书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库amnn1 li(lg)lilgl)limbnm
9、nbnn12131451223由题意知 ， 13 分lgm009，4 （本小题满分 12 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，过点 与 垂直的直)(12bayxFAF线分别交椭圆和 轴正半轴于 ， 两点，且 分向量 所成的比为 85PQQ（1）求椭圆的离心率；（2）若过 三点的圆恰好与直线 ： 相切，求椭圆方程FA, l03yx解：（1）设点 其中 ),0(),0cx),(2bAa由 分 所成的比为 85，得 ， 2 分PQ)135,0xP ， 4 分aax21)3()18(0220而 ，AQFbxAbcF),0 ， 5 分Qc2020,由知 3,222acab 6 分1.03ee书利华教育
10、网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库（2）满足条件的圆心为 ，)0,2(cbO， 8 分),(,2cacb圆半径 10 分acr2由圆与直线 ： 相切得， ，l03yxac2|3|又 椭圆方程为 12 分,21,2baca 142yx5 （本小题满分 14 分）（理）给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有无穷等差数列nban21，试求 的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公na1221naay yna差（文）给定正整数 和正数 ，对于满足条件 的所有无穷等差数列bban21，试求 的最大值，并求出 取最大值时 的首项和公na1221nnaay yna差（理）解：设 公差为 ，则
11、3 分nd11,andndaaynn)21()()114 分)2)(12)(11anann书利华教育网 【www.ShuLiH 】您的教学资源库 7 分)3(211ann又 211,nab ，当且仅当49)3(3221 bnn 时，等号成立 11 分231a 13 分8)49()(1bayn当数列 首项 ，公差 时， ，bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)(（文）解：设 公差为 ，则 3 分na 11,adann)2)(12)()1( )(1122 ndadnanynn， 6 分)3()( 111 nn又 21121,nnaba 49)(33 22 bn 当且仅当 时，等号成立 11 分1 13 分8)49(1)(21bayn当数列 首项 ，公差 时， bnd38)49(1bny 的最大值为 14 分y)(6 （本小题满分 12 分）
