1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考公式:样本数据 12,nx 的方差2211(),nni iisxx其 中一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若复数 1249,6zizi,其中 是虚数单位,则复数 12()zi的实部为.【答案】 0【解析】略2.已知向量 a和向量 b的夹角为 30, |2,|3ab,则向量 a和向量 b的数量积Ab .【答案】3【解析】32a。3.函数3()156fxx的单调减区间为 .【答案】 ,【解析】2()03(1)f x,由 1x得单调减区间为 ,。4.函数 sin(),yAx为
2、常数,0,)在闭区间 0上的图象如图所示,则 .【答案】3【解析】 2T,23,所以 3, 5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m )分别为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】0.2【解析】略1123O xy6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表:学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲班 6 7 7 8 7乙班 6 7 6 7 9则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流
3、程图,最后输出的 W .【答案】22【解析】略8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 .【答案】1:8【解析】略9.在平面直角坐标系 xoy中,点 P 在曲线3:0Cyx上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P的坐标为 .【答案】 (2,15) 【解析】略10.已知a,函数 ()xfa,若实数 ,mn满足 ()ffn,则 ,m的大小关系为 .【答案】 mn【解析】略11.已知集合 2|logAx, (,)Ba,若 AB则实数 a的取值范围是(,)c,其中
4、c .【答案】4【解析】由 2logx得 04, (0,;由 知 4a,所以 c4。12.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线,则 平行于 ;开始 0S1T2S02TWST输出 结束YN(2)若 外一条直线 l与 内的一条直线平行,则 l和 平行;(3)设 和 相交于直线 ,若 内有一条直线垂直于 ,则 和 垂直;(4)直线 l与 垂直的充分必要条件是 l与 内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号).【答案】 (1) (2) 【解析】略13如图,在平面直角坐标系 xoy中, 12,AB为椭圆21(0)xyab的
5、四个顶点, F为其右焦点,直线 12A与直线 1BF相交于点T,线段 O与椭圆的交点 M恰为线段 OT的中点,则该椭圆的离心率为 .【答案】 275e【解析】用 ,abc表示交点 T,得出 M 坐标,代入椭圆方程即可转化解得离心率.14设 n是公比为 q的等比数列, |1q,令1(,2)ba若数列 nb有连续四项在集合53,978中,则 6 .【答案】【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解.二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15 (本小题满分 14 分) 设向量 (4cos,in)(si,4c
6、o),(s,4in)ab(1)若 与 2b垂直,求 ta的值;(2)求 |的最大值;(3)若 tan16,求证: b.【解析】由 与 2bc垂直, (2)0acac,即 4si()8os0, tn()2;xyA1B2A2OTM(sinco,4sin)b2 2|ico16cs3s16si70inco75n,最大值为 32,所以 |bc的最大值为42。由 ta16得 si16cos,即cosn0,所以 b. 16 (本小题满分 14 分)如图,在直三棱柱 1ABC中, E,F分别是 1AB,C的中点,点 D在 1BC上,1D求证:(1) EF 乙(2) 11AB乙【解析】证明:(1)因为 E,F分
7、别是 1AB,C的中点,所以 EF/BC,又 面 , 面 ,所以 A乙;(2)因为直三棱柱 1,所以 11BA面 , 1BD,又1DB,所以 C面 ,又 DF面 ,所以ABCA1B1C1EFD11AFDBC乙 。17 (本小题满分 14 分) 设 na是公差不为零的等差数列, nS为其前 项和,满足223457aa,S(1)求数列 n的通项公式及前 项和 ;(2)试求所有的正整数 m,使得12ma为数列 na中的项. (1)设公差为 d,则2543,由性质得 4343()()da,因为 0,所 【解析】以 0a,即 150,又由 7S得1762a,解得 1,d所以 n的通项公式为 27na,前
8、 n项和26Sn。(2)12753m()(m)a,令 3t,1242ma(t)86t,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为 t是奇数,所以 t可取的值为 1,当 t, 2m时,863t,2573,是数列 na中的项; t, 1时,15t,数列na中的最小项是 5,不符合。所以满足条件的正整数 2m。18 (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xoy中,已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4C(1)若直线 l过点 ,0A,且被圆 1截得的弦长为 ,求直线 的方程;xyO 11.(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 12l乙,它们
9、分别与圆 1C和圆 2相交,且直线 1l被圆 C截得的弦长与直线 2l被圆 C截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.【解析】(1) 0y或7(4)x,(2)P 在以 C1C2 的中垂线上,且与 C1、C2 等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点 P坐标为31(,)2或5(,)2。 19.(本小题满分 16 分)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a元,如果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意度为ma;如果他买进该产品的单价为 n元,则他的满意度为na.如果一个人对两种交易(卖出或买进) 的满意度分别为 1h和 2,则他对这两种交易的综合满意度为 12h.现假设甲生产
10、A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 m元和 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h乙,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙求 h乙和 乙关于 Am、 B的表达式;当35时,求证: 乙= ;设35AB,当 、 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?记(2)中最大的综合满意度为 0h,试问能否适当选取 Am、 B的值,使得 0h乙和0h乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。求 乙和 乙关于 Am、 B的表达式;当35AB时,求证: h乙=
11、;设35AB,当 、 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?记(2)中最大的综合满意度为 0h,试问能否适当选取 Am、 B的值,使得 0h乙和0h乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。【解析】(1)=,=,125320ABABmh 乙甲 (3,125,0)ABm当35AB时, 2=,3(0)(5125BBmmh甲 2=,320(5)0)5BBhmm乙显然 乙甲 (2)当35AB时,2 211= ,205(0)()0()5BBBBBmhmm甲由15,2,5BB得,故当 即 ,1A时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为020(本小题满分 16 分)设 a为实数,函数2()|fxax.若 (0)1f,求 的取值范围;求 x的最小值;设函数 (),()hfxa,直接写出(不需给出演算步骤) 不等式 ()1hx的解集.【解析】 (1)若 (0)1f,则20|11a(2)当 xa时,22()3,fxax2min(),0,0()33faaf 当 时,22(),f 2in(),()00ffaa综上2min,0()3afx(3) ,时, ()1h得 2210xa,2241()8aa当62a或时, 0,(,);当62a时, 0,得2233()0aaxx1)(,)时, (,)xa2)2,a时,23,)3)6(,时,223(,)aax