1、e.g. 反函数应用,某人从内地去香港旅游，他将人民币换成港币时，币面数值减少9%，回内地后，他发现把港币换成人民币，币面数值增加9%。（1）试表示出这两个函数关系，并说明这两个函数不互为反函数；（2）此人先将5000元人民币换成港币，但因故未去香港。于是他又将港币换成人民币，问他是否亏损？,解,说明什么?,?,反函数必须满足性质,?,（2）此人先将5000元人民币换成港币，但因故未去香港。于是他又将港币换成人民币，问他是否亏损？,（2） 由（1）,时，,5000-4959.5=40.5（元）,集合论悖论,一、何为悖论,“悖论”（paradox）主要有三种形式, 论断看起来好象是错的，但实际上
2、却是对的, 似非而是的论断（佯谬）, 论断看起来好象是对了，但实际上却是错的, 似是而非的论断, 导致逻辑上自相矛盾的论断,Arrow（阿洛）选举悖论,假定有张、王、李三个同学竞选学生会主席。民意测验表明，两两比较，选举人中有 2/3 愿意选张不愿选王，有 2/3 愿意选王不愿选李。问：关于张和李我们应该得出什么结论？是不是愿选张而不愿选李的人多呢？,答案 未必！,张有两次排在王的前面，而王只有一次排在张的前面,Remark, 进行两两比较时，往往就会出现上述矛盾, 悖论说明：不存在公平合理的选举系统 天下竟然无公,Arrow在其它成果中应用了此结果，因此分享了1972年的Nobel经济学奖,
3、二、说谎者悖论（liar paradox),假设（A）“说谎者总是说谎，不说谎者总是讲真话”,改造过的“说谎者悖论”,（P2） “这句话是错的” or “我是说谎者”,分析,它假定了一个总体，而自己又作为这个总体的一个元素，即所谈论的问题包含了“自身”。用集合语言即：一个集合又以该集合本身作为自己的元素 犯了逻辑上“反身自指”的毛病,思考,根据以上原则，自己说出几个悖论,三、Russel(罗素)悖论,1Russel悖论,从“不属于自身条件”出发构造一个新的集合,（元素 是集合）,？, Russel 悖论,2理发师悖论(barber paradox),一理发店门口招牌上写道：本理发师“给所有不给
4、自己刮脸的人刮脸”(1919年),问：理发师的脸由谁刮？,设此理发师的顾客组成集合,矛盾！,给不为自己刮脸的人刮脸,3Russel悖论的意义,Russel悖论主要讨论一个集合是否属于自身的问题，它要求集合形成时满足：概括原则普遍有效；推理的逻辑法则“排中律”成立,Russel悖论直接动摇了两个自古以来分别被认为是“最可靠”和“最严格”的学科：数学和逻辑。而且还在这两个学科的最基本的地方一个是整个数学的基础“集合论”，一个是严格逻辑推理中须臾不可离的“排中律”,4Russel悖论的解决方案,排除Russel悖论的根本途径是不承认是一个集合 禁谈一个集合是自己的元素，即不许谈, 可以展开全部或者至少是主要的数学理论 不可能构造出所有已知的集合论悖论,朴素集合论和公理集合论,Cantor,Zermelo, Fraenkel,
