1、苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 12008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 最小正周期为 ，其中 ，则 )6cos()(xf 02一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 3 的形式，则 = ),(Rbaii表 示 为 ba4 ，则集合 A 中有 个元素73)1(2xxAZ5 的夹角为 ， ，则 ba,01,356在平面直角坐标系 中，设 是横坐标与纵坐标的绝对值均不oyD大于 2 的点构成的区
2、域， 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区E域，向 中随机投一点，则落入 中的概率 D7某地区为了解 7080 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h） ，现随机地选择 50 位老人做调查，下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布表：序号（i）分组睡眠时间组中值（G i）频数（人数） 频率（Fi）1 4，5） 4.5 6 0.122 5，6） 5.5 10 0.203 6，7） 6.5 20 0.404 7，8） 7.5 10 0.205 8，9 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 8直线 是曲线 的一条切线，则实数 b 的值为 bxy21ln(
3、0)yx9在平面直角坐标系中，设三角形 的顶点分别为 ，点 P（0，p）在线段ABC),(0,),(cCBaAAO 上（异于端点） ，设 均为非零实数，直线 分别交 于点 ，一同学已正pca, PAFE,确算的 的方程： ，请你求 的方程： ( )OE011yaxbOF01yapx10将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10。 。 。 。 。 按照以上排列的规律，第 n 行（ ）从左向右的第 3 个数为 311 的最小值为 2*,20,yxyzRzx12在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 2，以 O 为圆心， 为半径的圆，)0(12baa过点 作圆的两切线互相垂直，则
4、离心率 = 0,2cae13若 ，则 的最大值 BCA2ABCS14 对于 总有 成立，则 = 13)(xxf 1,0)(xfa二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 ，它们的终边分别与,单位圆相交于 A、B 两点，已知 A、B 的横坐标分别为 52,10（1）求 的值； （2）求 的值。)tan(16 （14 分）在四面体 中， ，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点，ABCDBDA,求证：（1）直线 EF/面 ACD；（2）面 EFC面 BCD BC AFDExyOAB开始S 0输入 Gi，F
5、ii 1S SG iFii5i i1NY输出 S结束苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 217 （14 分）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A、B与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，将 y 表示成 的函数
6、关系式；设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。18 （16 分）设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 的图像与两坐标轴有三2()()fxbxR个交点，经过这三个交点的圆记为 C。求：（1）求实数 b 的取值范围；（2）求圆 C 的方程（3）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论。19 （16 分） （1）设 是各项均不为零的等差数列（ ） ，且公差 ，若将此数列删na,.21 4n0d去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当 时，求 的数值；求 的所有
7、可能a1n值；（2）求证：对于一个给定的正整数 ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，)4( nb,.21其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。BCDAOP苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 320. （16 分）若 ， ， 为常数，且1212()3,()3xpxpffR12,p)(),()(212xffxf（1）求 对所有实数 成立的充要条件（用 表示） ；（2）设 为两实数，f 1, ba,且 若 ，求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为ba,bapbff)(x
8、fba（闭区间 的长度定义为 ）2nmmn 附加题21 （选做题）从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分A选修 41 几何证明选讲如图，设ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC 交于点 D求证：2EDB选修 42 矩阵与变换在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵 A= 对应的变换作用下得到曲线 F，求 FxOy241xy2 00 1的方程C选修 44 参数方程与极坐标在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值xOy()Pxy， 213xySxyD选修 45 不等式证明选讲B C EDA苏州分部 邮箱:
9、至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 4设 a，b，c 为正实数，求证： 3312abca+必做题22记动点 P 是棱长为 1 的正方体 的对角线 上一点，记 当 为1-ABCD1BD1PBAC钝角时，求 的取值范围23请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，得：2cos1xxR，由求导法则，得 ，化简得等式：2(cos)(1) x(sin2)4cos(in) xAin2inA（1）利用上题的想法（或其他方法） ，试由等式（1x） n （ ，012CCnx R正整数 ） ，证明： ()n11nk（2）对
10、于正整数 ，求证：（i） 0；（ii） 0；（iii ）3n ()knk 21()nknk112Cnknk苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 52008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共 1 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = cos6fx0【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 215T【答案】102一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率 【解析】本小题考查古典概型基本事件共 66 个，点数和为 4
11、的有(1,3) 、(2,2)、(3,1)共 3 个，故316P【答案】 23. 表示为 ，则 = 1iabi,Rab【解析】本小题考查复数的除法运算 ， 0， 1，因此21iiab1ab【答案】14.A= ，则 A Z 的元素的个数 237xx【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由 得 ,2137x2580x0，集合 A 为 ，因此 A Z 的元素不存在【答案】05. ， 的夹角为 ， ， 则 ab120a3b5ab【解析】本小题考查向量的线性运算 22 2510abA= ， 7225349【答案】76.在平面直角坐标系 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区
12、域， E 是到原xoy点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入 E 中的概率 【解析】本小题考查古典概型如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部（含边界） ，区域 E 表示单位圆及其内部，因此2146P【答案】 167.算法与统计的题目8.直线 是曲线 的一条切线，则实数 b 12yxbln0yx【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ，令 得 ，故切点（2，ln2） ，1yxx代入直线方程，得，所以 bln2 1【答案】ln219 在平面直角坐标系中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点 P（0，p）在线段 AO
13、 上（异于端点） ，设 a,b,c, p 均为非零实数，直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ，一同学已正确算的 OE 的方程： ，请你求 OF 的方程： 10xycba（ ） .xyp【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜想填 事实上，由截距式可得直1cb线 AB： ，直线 CP： ，两式相减得 ，显然直线 AB1xyba1xycp0xypa与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程【答案】 c10将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第 n 行（n 3）从左向右的
14、第 3 个数为 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1 行共有正整数 12（n1）个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3 个，即为 2n 26【答案】 611.已知 ， ，则 的最小值 ,xyzR230xyz2yxz【解析】本小题考查二元基本不等式的运用由 得 ，代入 得30z32xzy2yx，当且仅当 3 时取“” 296344xzxz【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， 为半径的圆，过点2yaba苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版
15、权所有 严禁未经授权的任何商业用途 6作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ? ?2,0ac e【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故，解得 22cea【答案】13若 AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ?2ABCS【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC ，则 AC ，x2x根据面积公式得 = ，根据余弦定理得ABCS 21sin1cosxB，代入上式得2224cos4=ABCS 218416xx由三角形三边关系有 解得 ，2x22x故当 时取得 最大值2xABCS【答案】14. 31fa对于 总有 0 成
16、立，则 = ,1fxa【解析】本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论 取何值， 0 显然成立；当fxx0 即 时， 3fxa0 可化为，,231x设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上231g 412gg,1,2单调递减，因此 ，从而 4；maxa当 x0 即 时， 31fx0 可化为 ，1, 231x 41xg0在区间 上单调递增，因此 ，从而 4，综上 4g0manga【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相xoyx交于 A,B 两点，已知 A,B 的横坐标分别为
17、25,10（）求 tan( )的值；（）求 的值2【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 =25cos,cs10sin725,si10因此 tan7,t（）tan( )= ant3（） ，所以24ta1ttant2tan211 为锐角， ， =,0416在四面体 ABCD 中，CB= CD, ADBD，且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点，求证：（）直线 EF 面 ACD ；（）面 EFC面 BCD 【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定（） E,F 分别是 AB,BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EF
18、AD，EF 面 ACD ，AD 面 ACD ，直线 EF面 ACD （） ADBD ，EFAD ， EF BD.CB=CD, F 是 BD 的中点， CFBD.又 EF CF=F， BD面 EFCBD 面 BCD，面 EFC面 BCD 17某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 kmy（）按下列要求写出函数关系式：设BAO= (rad)，
19、将 表示成 的函数关系式；设 OP (km) ，将 表示成 x 的函数关系xy式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad) ，则 , 故10cosAQO，又 OP 1010ta ，10cosOB10tan CBPOAD苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 7所以 ， 1010tancosyOABP所求函数关系式为 2iny4若 OP= (km) ，则
20、 OQ10 ，所以 OA =OB=xx22100xx所求函数关系式为 20（）选择函数模型， 2 21cos0sinsin1cscoiyA令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ，y246当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当,60y,40y= 时， 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边min13km 处。10318设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，xoy2fxbxR经过这三个交点的圆记为 C求：（）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论【解析】本
21、小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 0，得抛物线与 轴交点是（0，b） ；xy令 ，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b02f（）设所求圆的一般方程为 2xDEyF令 0 得 这与 0 是同一个方程，故 D2，F y2DF令 0 得 0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1xEy所以圆 C 的方程为 .2(1)（）圆 C 必过定点（0，1 ）和（2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆 C 的方程，得左边0 1 20（b1）b0，右边0，所以圆 C 必过定点（0，1） 同理可证圆 C 必过定点（ 2，1） 19.（）设 是各项均不为零的等差数列（ ） ，且公差 ，若将此数
22、列删去某2,na 4nd一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当 n =4 时，求 的数值；求 的所有可能值；1d（）求证：对于一个给定的正整数 n(n4) ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列12,nb 【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用（）当 n4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，1234,a则推出 d0若删去 ，则有 即2a23,A2113dadA化简得 0，因为 0，所以 =4 ；1若删去 ，则有 ，即 ，故得 =13214a2111ad综上 =1 或41ad当 n5 时， 中同样不可能
23、删去首项或末项12345,若删去 ，则有 ，即 故得 =6 ；25aA111423adadAA1a若删去 ，则 ，即 3124化简得 3 0，因为 d0，所以也不能删去 ；3若删去 ，则有 ，即 故得 = 2 4a15A23ag()()11142adad+=+g1a当 n6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列 ， ， ， ， ， 中，3nn由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 d0 矛盾；同样若删21nA32n去 也有 ，这与 d0 矛盾；若删去 ， 中任意一个，则必有2n1n32n ，这与 d0 矛盾1aA综上所述，n4，5（）略20.若 ， ， 为常数，11xpf22xpf
24、A12,Rp且 212,ff（）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示） ；x 12,（）设 为两实数， 且 ,若,abab12,pabffb求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ） f, a,mnnm【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用（） 恒成立1fxf12fxf123xpxpA123log3xp（*）23plog因为 11212p苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 8所以，故只需 （*）恒成立12p3log综上所述，
25、 对所有实数成立的充要条件是：fxf12p3log（）1如果 ，则的图象关于直线 对称因为 ，所以区间123l xfafb关于直线 对称,ab因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为1,p1,pb22如果 .123log（1）当 时. ，1113,xpbfa23log22,xpbf ap当 ， 因为 ，所以 ，1,xpb213log102 ,pfx20,fxf12fxf故 =ff13当 ， 因为 ，所以2,xa123log0,pxf12,fxf12fxf故 =f23l因为 ，所以 ，所以 即fb231logpab123log,bpa123logap当 时，令 ，则 ，所以 ，,x1
26、2fxf231logxpp123lpx当 时， ，所以 =1232l12f2ff23logx时， ，所以 =1og,pxpfx1x1px在区间 上的单调增区间的长度和f,ab1232logpb= 123l2ab（2）当 时. ，21p3log1113,xpf23log22,xpbf ap当 ， 因为 ，所以 ，2,xb213log02 ,pfx20,fxf12fxf故 =ff3l当 ， 因为 ，所以1,xap123log02 1,pfx120,fxf12fxf故 =ff13因为 ，所以 ，所以b231logbppa123logabp当 时，令 ，则 ，所以 ，12,xpfxf231logpxx
27、123lpx当 时， ，所以 =3log12f1ff1x时， ，所以 =121,xpfx2x23logpx在区间 上的单调增区间的长度和f,ab1321lpb= 123log2pab综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为fx, 2a苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 92008 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学附加题参考答案21：从 A，B，C，D 四个中选做 2 个，每题 10 分，共 20 分A选修 41 几何证明选讲如图，设ABC 的外接圆的切线 AE 与 B
28、C 的延长线交于点 E，BAC 的平分线与 BC 交于点 D求证：2E证明：如图，因为 是圆的切线，E所以， ,A又因为 是 的平分线，BC所以 D从而 AD因为 ,EE所以 ,故 .A因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,2CB而 ,所以D2AB选修 42 矩阵与变换在平面直角坐标系 中，设椭圆 在矩阵 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方xOy241xy2 00 1程解：设 是椭圆上任意一点，点 在矩阵 对应的变换下变为点0(,)P0(,)PA则有 ，即 ，所以002 1xxyy02xy02xy又因为点 在椭圆上，故 ，从而P20410()1所以，曲线 的方程是 FxC选修 44 参
29、数方程与极坐标在平面直角坐标系 中，点 是椭圆 上的一个动点，求 的最大值Oy()Py， 213xySxy解： 因椭圆 的参数方程为213xcos (in为 参 数 ）故可设动点 的坐标为 ，其中 .(3cs,） 02因此 1oi2(cosi)sin()3Sxy所以。当 是， 取最大值 26SD选修 45 不等式证明选讲设 a，b，c 为正实数，求证： 331abc+证明：因为 为正实数，由平均不等式可得, 33 311abcabcA即 331abca所以 ，cb而 223abcacA所以 331+B C ED A苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功
30、 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 1022 【必做题】记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1-ABCD的对角线 上一点，记 当 为钝角时，1BD1BAPC求 的取值范围解：由题设可知，以 、 、 为单位正交基底，A1D 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有 ,xyz(0) ,(0),(0)C(,)由 ，得 ，所以111,P 1(,)(1,0)(,1)PAD,C显然 不是平角，所以 为钝角等价于APAC，则等价于coscs,0PC 0PAC即 ，得2(1)()1()(1)313因此， 的取值范围是 ,323 【必做题】 请先阅读：在等式 （ ）的两边求导，得
31、： ，2cos1xxR2(cos)(cs1) xx由求导法则，得 ，化简得等式： (in)4cos(in) xAinoinA（1）利用上题的想法（或其他方法） ，结合等式 （ ，正01(1+=CCn xR整数 ） ，证明： 2 12()nk（2）对于正整数 ，求证：3n（i） ； （ ii） ； （iii ） 1()C0nkk1()0nknk112nnkk证明：（1）在等式 两边对 求导得02(+x)=Cnnxx1 12()nnC 移项得 （*）12()k（2） （i）在（*）式中，令 ，整理得 x1()0nknk所以 1()0nknkC（ii）由（1）知 12121(),3nnnxxCx 两边对 求导，得x 32() ()n xA在上式中，令 1x2320(1)(1)nnnCCA即 ，2()(0nkk亦即 （1） 2kknk又由（i）知 （2）0nkkC由（1）+（2）得 21()knk（iii ）将等式 两边在 上对 积分0(x)=n nxx 0,1x1120(C)ndd由微积分基本定理，得 1100)(nnknk所以 102nnkkCxyzCBADD1 C1B1A1P
