aov网和拓扑排序.ppt

1、第七章 图（续）,有向无环图 及应用,有向无环图的定义 有向图中是否有环的检查 有向无环图的应用:工程能否顺利进行拓扑排序估算完成工程的最短时间关键路径,有向无环图,有向无环图（DAG图）：没有回路(环)的有向图。,有向无环图,有向图（有环）,一、AOV-网(Activity On Vertices),表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动Vi 必须先于活动Vj 进行。这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络。 （用顶点表示活动，弧表示活动间的优先关系的有向图）,在AOV网络中不能出现有向回路（即有向环）。 若出现了有向环，则意味着某项活动应以自己作为先决条件。因此，对给定的AOV

2、网络，必须先判断它是否存在有向环。,检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序.。,何谓“拓扑排序”？,对有向图进行如下操作:,按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。,由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列.,拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序 。,拓扑排序 举例,课程编号 课程名称 先修课程 C1 高等数学 无C2 程序设计基础 无C3 离散数学 C1, C2 C4 数据结构 C3, C2C5 高级语言程序设计 C2C6 编译方法 C5, C4C7 操作系统 C4, C9C8 普通物理 C

3、1C9 计算机原理 C8,表示教学计划（课程之间）的优先关系有向图,对图进行拓扑排序, 得到的拓扑有序序列为C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7,或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6,构造拓扑有序序列，即将各个顶点 (代表各个活动)排列成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。,构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算称为拓扑排序。,如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中, 则该网络中必定不会出现有向环。,如果AOV网络中存在有向

4、环，此AOV网络所代表的工程是不可行的。,拓扑排序方法, 重复以上 、步, 直到全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；或图中还有未输出的顶点, 但已跳出处理循环。说明图中还剩下一些顶点, 它们都有直接前驱。这时网络中必存在有向环。, 输入AOV网络；, 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之;, 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边;,a,b,h,c,d,g,f,e,得到的拓扑有序序列满足图中给出的所有前驱和后继关系。,如何在计算机上实现 对有向图的拓扑排序？,？,在算法中需要用定量的描述替代定性的概念,没有前驱的顶点 入度为零的顶点,删除顶点及以它为尾的弧

5、弧头顶点的入度减1,拓扑排序算法,拓扑排序方法,拓扑排序过程中涉及的数据和操作：,（1） 选择一入度为0顶点v，输出；,（2） 将v邻接到的顶点的入度减1；,（3）重复（1）、（2）， 直到输出全部顶点，或，有向图没有入度为0的顶点。,数据：有向图、顶点的入度；,操作： （1） 选择一入度为0顶点v，输出； （2） 将v邻接到的顶点 u 的入度减1。,为算法的有关数据选择设计存储结构(图用邻接表表示),数组indegree：记录各顶点入度,对于入度为零的顶点即无前驱顶点，删除该顶点及以它为尾的弧的操作，则可换以弧头顶点的入度减1来实现。,栈S：存储入度为0的顶点的编号.,初始时，只有v2,v4

6、 两顶点的入度为0,为避免每次都要搜索入度为零的顶点，在算法中设置一个“栈”，以保存“入度为零”的顶点。,如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数, 则报告网络中存在有向环。,拓扑排序算法描述：,建立入度为零的顶点栈;,当入度为零的顶点栈不空时, 重复执行：,从顶点栈中退出一个顶点, 并输出之；,从AOV网络中删去这个顶点和它发出的边, 边的终顶点入度减1；,如果边的终顶点入度减至0, 则该顶点进入度为零的顶点栈。,Status TopologicalSort(ALGraph G) /若G无回路，则输出G的顶点的一个拓扑序列并返回OK，否则ERRORFindInDegree(G, indegr

7、ee); /求各顶点入度indegree0vexnum-1InitStack(S);for(i=0; iG. vexnum; +i)if (! indegreei) Push(S, i); /入度为0顶点的下标进栈count = 0; /对输出顶点计数,1 3 0 1 0 3,while(! StackEmpty(S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S,

8、k); /for /while,i=4,4, C4,count=1,p,k=0,0,0,k=1,2,k=5,2,p=NULL,while(! StackEmpty(S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /for /while,i=0,0, C0,count=2,p,k=1,1,3,k=3,0,p=NULL,while(! StackEmpty(

9、S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /for /while,i=3,3, C3,count=3,p,p=NULL,while(! StackEmpty(S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc)

10、 k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /for /while,i=2,2, C2,count=4,p,k=1,0,1,k=5,1,p=NULL,while(! StackEmpty(S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /for /while,i=1,1, C1,count=5,p,

11、k=5,0,5,p=NULL,while(! StackEmpty(S) Pop(S, i); printf(i, G. verticesi.data); +count; for (p=G.verticesi.firstarc; p; p=p-nextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /for /while,i=5,5, C5,count=6,p,p=NULL,拓扑序列：C4, C0, C3, C2, C1, C5,Status TopologicalSort(ALGraph G) FindInDegree(G, indegree); /求各顶点入度indegree0vexnum-1InitStack(S);for(i=0; inextarc) k = p-adjvex; if ( !(- -indegreek) ) Push(S, k); /对i号顶点邻接到的 每个顶点入度减1/若入度减为0，则入栈/for /whileif (countG.vexnum) return ERROR; /该有向图有回路else return OK; /TopologicalSort,/输出i号顶点的数据，并计数,/从零入度顶点栈S 栈顶，获得一入度为零的顶点i,count=6,自测题 AOV-网的拓扑排序,