1、无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究函数性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第九章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与基本性质,一、级数的概念,二、级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,一尺之椎，日取其半，永世不竭 .,一、级数的概念 1. 级数的定义:,称为(实)常数项无穷级数 . 简称(实数项)级数 .,(4) sn 称为级数的部分和数列 .,称为级数的前 n 项部分和 .,问题：上述级数定义中的“和式”只是形式上的， 该如何理解无穷多个数量相加呢？,2. 级数的收敛与发散:,(1) 若级数的部分和数列 sn 有极限 s ,(有限数),(2) 若部分和数列sn没有
2、极限 ,(不存在),(发散),(3) 余项,显然，级数收敛则其每个余项收敛；,级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和数列)的极限，本质上是一个极限.,讨论级数 的敛散性, 可以先求 sn , 再求 .,解,级数发散;,级数发散;,级数收敛;,级数发散.,综上,解,技巧 可利用将通项 an 拆项以求出 sn .,解,例3 判别无穷级数 的收敛性 .,技巧 可利用对数运算性质求出 sn .,例4 证明调和级数 发散.,课本 Page 230 例3,证明 假设调和级数收敛于 S , 则有,但,矛盾!,所以假设不真 .,故调和级数 发散.,解,练习： 判别无穷级数 的收敛性 .,技巧 可利用等
3、比数列求和公式求出 sn .,二、级数的基本性质,证明,在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.,结论: 级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.,思考:,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论 如果加括号后所成的级数发散 , 则原来级数也发散.,性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍然 收敛于原来的和.,例1 判断下列级数的敛散性 .,注 当级数的通项为若干项之和时, 可分别考虑以 其中每一项为通项的级数的敛散性, 再利用级数逐项相加(减)的性质.,(收敛),(发散),例2 判断下列级数的敛散性 .,解 考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散 .,三、级数收敛的必要条件,证明,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,级数发散.,注意,并非级数收敛的充分条件.,但此级数发散.,例1 判断下列级数的敛散性 .,(三个级数均发散),注,(4) 判断级数 的敛散性 .,(发散),四、小结,常数项级数的基本概念,级数的基本审敛法,3. 按基本性质.,杂例：,例3,例4,练习,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级数(1) 发散.,判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),练习题,练习题答案,
