1、,一、矩阵的谱半径,第六章 解线性方程组的迭代法 3 迭代法的收敛性,二、迭代法的收敛条件,三、举例,复习：,1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；,设A为方阵，Au = u (u 0),即是方程 |E - A| = 0的根,2、矩阵的特征值与特征向量的性质,3、Ak = AAA的特征值是:,一、迭代法的谱半径,称迭代公式,中的矩阵 B 为迭代矩阵.,定义1：,定义2：,设A为n阶方阵，i (i = 1,n)为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为,称为矩阵A的谱.,性质：,若矩阵A的谱为,谱半径为,则 Ak = AAA,的谱为,( k = 1, 2, ),谱半径为,定理：设A
2、为任意n阶方阵，|.|为矩阵的任意诱导范数，则,证明：,对A的任一特征值i 及相应的特征向量 ui，都有,因为ui为非零向量，即|ui|0，于是有,由i 的任意性得,定理：设A为n阶方阵，则对任意正数，存在一种矩阵范数|.|，使得,（证明略）,注：对n阶方阵，一般不存在矩阵范数|.|，使得,但若A为对称矩阵，则有,下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.,定理：设A为n阶方阵，则,的充要条件为,证明：(必要性)若,则,而,于是由极限存在准则，有,故,(充分性)若,取,则存在一种矩阵范数|.|，使得,而,于是,所以,再由有限维空间范数的等价性知结论真。,定理：设A为n阶方阵，则,的充要条件为,
3、二、迭代法的收敛条件,定理：对任意初始向量 x(0)和右端项g，由迭代格式 x(k+1) = Mx(k) + g产生的向量序列收敛的充要条件为,证明：,设存在n维向量x*，使得,则 x* 满足,由迭代公式有,于是有,因为x(0)为任意向量，因此,即, 若,则=1不是M的特征值，所以,|I |0,于是对任意n维向量g，方程组(IM)x=g有唯 一解，记为x*，即,并且,此时考虑,故对任意初始向量x(0)，都有,即由迭代公式产生的向量序列x(k)收敛。,推论1：若迭代矩阵满足 |M|1，则迭代公式产生的向量序列x(k)收敛。,推论2：松弛法收敛的必要条件是 02,证明:,设松弛法的迭代矩阵M有特征
4、值,因为,由定理，松弛法收敛必有,而,又,于是有,所以,注：定理表明，迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右 端项无关。对同一方程组，由于不同的迭 代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。,举例：解方程组,讨论Jacobi法与Gauss-Seidel法的收敛性。,解：由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否，故应先求迭代矩阵。而,故A裂解后的各矩阵分别为,Jacobi迭代法的迭代矩阵为,其特征方程为,因此有,故Jacobi法收敛,如果用Gauss-Seidel迭代，由,可得,于是迭代矩阵为,其特征方程为,故,所以Gauss-Seidel迭
5、代法发散。,?,请思考: (1)试推导Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵。(2)试归纳判断迭代法收敛的方法。,答: (1)略(2)先用两个推论，再用充要条件，即,|M|1,迭代法收敛,松弛法收敛,02,迭代法收敛,下面对一些特殊的系数矩阵给出几个常用的判断收敛的条件（代数判据）。,定义：若n阶方阵 A=(aij)满足,且至少有一个 i 值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱对角占优阵。 若对所有 i，不等号均严格成立，则称A为严格对角占优阵。,例如：,矩阵,是严格对角占优,矩阵,不严格对角占优，是弱对角占优,定义：,如果矩阵A不能通过行的互换和相应列的互换成为形式,其
6、中A11，A22为方阵，则称A为不可约.,例如：判断下列矩阵是否可约？,矩阵,是可约的。,矩阵,是不可约的。,设有线性方程组Ax=b，下列结论成立： 若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 2.若A为严格对角占优阵，01，则松弛法收敛。 3. 若A为对称正定阵，02，则松弛法收敛.即：若A是对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为02。,归纳判断迭代法收敛的方法依次如下：,1. 首先根据方程组的系数矩阵A的特点判断；,2. 可根据迭代矩阵的某范数判断；,3. 只好根据迭代矩阵的谱半径判断；,三、举例,例1：设有方程组Ax=b，其中,讨
7、论用三种迭代法求解的收敛性。,解：首先不是对角占优阵，但是对称阵，且其各阶顺序主子式均大于，故为对称正定阵，由判别条件可得,Gauss-Seidel法与松弛法(02)均收敛。,由因为Jacobi迭代法的迭代矩阵为,故|B|1=|B|=1，因此不能用范数判断。,下面计算Jacobi迭代矩阵的谱半径。,解特征方程,可得谱半径,故Jacobi迭代法不收敛。,值得注意的是：改变方程组中方程的顺序，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。,例2：设方程组Ax=b的系数矩阵为,则Jacobi法与Gauss-Seidel法的迭代矩阵分别是,其谱半径分别为,故这两种迭代法均不收敛。,但若交换两个方程的次序
8、，得原方程组的同解方程组,显然A是严格对角占优阵，因此对方程组,用Jacobi法和Gauss-Seidel法均收敛。,例3*：设A=(aij)是二阶方阵，且a11a220.试证 求解方程组Ax=b的Jacobi法与Gauss-Seidel法同时收敛或发散。,证明：,Jacobi迭代矩阵为,其谱半径为,而Gauss-Seidel法的迭代矩阵为,其谱半径为,则有,显然,同时小于1、等于,1或大于1，因此有相同的敛散性。,例4：设线性方程组Ax=b的系数矩阵为,试求能使Jacobi方法收敛的a的取值范围,解：当a 0时，Jacobi法的迭代矩阵为,解特征方程,得,故,由,得,故当,时，Jacobi迭代法收敛。,作业： 习题 1，2（2）,
