1、,第四节,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,有理函数的积分,本节内容:,第四章,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,例2,例3,整理得,例4 求积分,解,例5 求积分,解,例6. 求,解: 原式,书例2,说明,将有理函
2、数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,解,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例8 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,例9 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,例10 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,例11. 求,解: 令,则,原式,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,关于三角代换与根代换说明：,（三角代换很繁琐）,令,解,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,作业,P218 3 , 6 , 8 , 9 , 17 , 18 , 20 , 21,
