1、2008 年全国各地中考试题压轴题精选讲座二直角坐标下通过几何图形列函数式问题【知识纵横】以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。【典型例题】【例 1】 （黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点 (30)C， ，点 AB， 分别在x轴， y轴的正半轴上，且满足 2310OBA（1）求点 A，点 的坐标（2）若点 P从 C点出发，以每
2、秒 1 个单位的速度沿射线 B运动，连结 P设B的面积为 S，点 的运动时间为 t秒，求 S与 t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使以点 P， ， 为顶点的三角形与 AOB 相似？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1）注意坐标值与线段长度关系；（2）求得 90AC（3）分类讨论。【例 2】 （广东东莞）将两块大小一样含 30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB 重合，直角边不重合，已知 AB=8，BC=AD=4 ，AC 与 BD 相交于点 E，连结 CD(1)填空：如图 1，AC= ，BD= ；四边形 AB
3、CD 是 梯形.(2)请写出图 1 中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如图 2，若以 AB 所在直线为 轴，过点 A 垂直于 AB 的直线为 轴建立如图 10xy的平面直角坐标系，保持 ABD不动，将 ABC向 轴的正方向平移到 FGH的位置，FH 与xBD 相交于点 P，设 AF=t，FBP 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值值范围.图 1【思路点拨】 （2）有 9 对相似三角形. ；（3）用 t 的变量表示相关线段，利用面 积公式计算，注意自变量的取值范围。yxAOCD CBAEEDC HF GBAPyx图102【例 3】 （河北）如图，直角梯形 中
4、， , 为坐标原点，点 在 轴正半轴OABCOAy上，点 在 轴正半轴上，点 坐标为（2，2 ） ， = 60， 于点 .动点Cx3BCH从点 出发，沿线段 向点 运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，两点PHQ同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度.设点 运动的时间为 秒.Pt（1） 求 的长；O（2） 若 的面积为 （平方单位）. 求 与 之间的函数关系式.并求 为何值时，PQSSt的面积最大，最大值是多少？（3） 设 与 交于点 .当 为等腰三角形时，求（2）中 的值.BMOS探究线段 长度的最大值是多少，直接写出结论.【思路点拨】 （3）若 为等腰三角形，分三种情况讨论，再进行比
5、较，从而求出线段 长的最大值。图【例 4】 （甘肃兰州）如图 1， OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片， O为原点，点 A在 x轴的正半轴上，点 在 y轴的正半轴上， 5A， 4OC（1）在 OC边上取一点 D，将纸片沿 翻折，使点 落在 B边上的点 E处，求DE，两点的坐标；（2）如图 2，若 E上有一动点 P（不与 E， 重合）自 点沿 方向向 点匀速运动，运动的速度为每秒 1 个单位长度，设运动的时间为 t秒（ 0t） ，过 P点作 D的平行线交于点 M，过点 作 A的平行线交 于点 N求四边形 M的面积 S与时间 t之间的函数关系式；当 t取何值时， S有最大值？最大值是多少
6、？（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，以 A， ， 为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点 的坐标【思路点拨】 （1）折痕 D是四边形 OE的对称轴（2）四边形 PNE为矩形（3） A 为等腰三角形分类讨论。ABHQPyxMCyxBCO ADE图 1yxBCO ADE图 2PMNX=1OLPXYCBA【学力训练】1、(诸暨中学)如图，点 A 在 Y 轴上，点 B 在 X 轴上，且 OA=OB=1，经过原点 O 的直线 L 交线段 AB 于点 C，过 C 作 OC 的垂线，与直线 X=1 相交于点 P，现将直线 L 绕 O 点旋转，使交点 C 从 A向 B 运动，但 C 点必须在第一
7、象限内，并记 AC 的长为 t，分析此图后，对下列问题作出探究：（1）当AOC 和BCP 全等时，求出 t 的值。（2）通过动手测量线段 OC 和 CP 的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。（3）设点 P 的坐标为（1,b）,试写出 b 关于 t 的函数关系式和变量 t 的取值范围。求出当PBC 为等腰三角形时点 P 的坐标。2、 ( 湖北天门)如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，0)，B 点坐标为(0，4)动点 M 从点 O 出发，沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动；同时，动点 N 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 个单位长度的速度向终点 B
8、运动设运动了 x 秒35(1)点 N 的坐标为(_，_)；(用含 x 的代数式表示)(2)当 x 为何值时，AMN 为等腰三角形？(3)如图，连结 ON 得OMN，OMN 可能为正三角形吗？若不能，点 M 的运动速度不变，试改变点 N 的运动速度，使OMN 为正三角形，并求出点 N 的运动速度和此时 x 的值O M A xNBy图O MaaaaaA xNBy图3、 (吉林省长春市) 如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴，1(0)2yxbx轴于 两点，以 为边作矩形 ， 为 的中点以 ，yAB， OAB， OACBD4M，为斜边端点作等腰直角三角形 ，点 在第一象限，设矩形 与 重80N，
9、 PMNOACBPN叠部分的面积为 S（1）求点 的坐标 P（2）当 值由小到大变化时，求 与 的函数关系式bSb（3）若在直线 上存在点 ，1(0)2yxQ使 等于 ，请直接写出 的取值范围 OQM 90(4)在 值的变化过程中，若 为等腰三bPCD角形，请直接写出所有符合条件的 值 b4、 （湖北荆州）如图，等腰直角三角形纸片 ABC 中，ACBC4，ACB90，直角边AC 在 x 轴上，B 点在第二象限，A（1，0） ，AB 交 y 轴于 E，将纸片过 E 点折叠使 BE 与 EA 所在直线重合，得到折痕 EF（F 在 x 轴上） ，再展开还原沿 EF 剪开得到四边形 BCFE，然后把四边形BCFE 从 E 点开始沿射线 EA 平移，至 B 点到达 A 点停止.设平移时间为 t（s） ，移动速度为每秒 1 个单位长度，平移中四边形 BCFE 与AEF 重叠的面积为S.（1）求折痕 EF 的长；（2）是否存在某一时刻 t 使平移中直角顶点C 经过抛物线 的顶点？若存在，求243yx出 t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出 S 与 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围.ABDyOMNx
