1、12008-2009 年广东省高考数学模拟题精编解答题汇编1已知： 140,cos,sin()2435（1）求 的值；（2）求 的值sin1 （1）方法 1：由 ，得 ，1cos43 1cossin43即 ，两边平方，得 cosin32i97i9方法 2： ，2cos2coscos144又 ， 1cos437in9（2） ， ， ，0234432 ， sin4cos0 ， ， 1co,in()35sin433cos5 scoscoinsi4 44 1248253512设函数 图像的一条对称轴是直线 )(),0( )sin() xfyxf 8x（1）求 ；（2）求函数 的单调增区间；（3）画出函
2、数 在区间 上的图像fy )(fy,02 （1） 的图像的对称轴，)(8x是 函 数,182sin(,.4kZ30,.4（2）由（1）知 ).2sin(43xy因 此由题意得 2,.kkZ所以函数 5sin,.8yxk Z的 单 调 增 区 间 为（3）由 知)432(x 0 387y 21 0 1 0 2故函数 上 图 像 是在 区 间 ,)(xfy23设 ，在线段 上任取两点（端点 除外） ，将线段 分成了三条线段，AB6AB,ABAB（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率3 （1）
3、若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为： ； ， 共 3 种情况，1,4,23,其中只有三条线段为 时能构成三角形，则构成三角形的概率 2, 3P（2）设其中两条线段长度分别为 ，则第三条线段长度为 ，则全部结果所构成的区域为: ，,xy6xy06x， ，即为 ， ， ，所表示的平面区域为三角形 ；06y6xy06y0OAB若三条线段 ， 能构成三角形，则还要满足 ，即为 ，所表示的平面区域为三, 6xy3xy角形 ，由几何概型知，所求的概率为 DEF14DEFAOBSP4一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球（每次摸
4、1 个） ，求两球恰好颜色不同的概率；（2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球（每次摸 1 个） ，求摸得白球的个数的期望和方差（方差： ）21()nipE4 （1）解法 1：“有放回摸两次，颜色不同”指“ 先白再黑 ”或“ 先黑再白”，记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 ， A“两球恰好颜色不同” 共 种可能， 24+=16164()9P解法 2：“有放回摸取” 可看作独立重复实验， 每次摸出一球得白球的概率为 3P“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 124()()9Cp（2）设摸得白球的个数为 ，则 的取值为 0，1，2，依题意得：， ， 432(0)65P48()65P21()
5、65P ， 181E222130353554D5某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 ，一旦发生，将造成 400 万元的损失现在甲、乙0.两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 万元和 30 万元，采用相应预防措453施后此突发事件不发生的概率分别为 和 ，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，0.985请确定预防方案使总费用最少（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）5 （1）不采取预防措施时，总费用即损失的期望值为 （万元） ；40.312（2）若单独采取预防措施甲，则预防措施的总费用为 万元，发生突发事
6、件的概率为 ，损失期望值为10.9，所以总费用为 万元；40.4508（3）若单独采取预防措施甲，则预防措施的总费用为 万元，发生突发事件的概率为 ，损失的期望85值为 ，所以总费用为 万元；560369（4）若联合采用甲乙两种预防措施，则预防措施的总费用为 万元， ，发生突发事件的概率为45307，损失的期望值为 万元，所以总费用为 万元，(1.9).8).14.1661综上可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最 少6图 1 是某储蓄罐的平面展开图，其中 GCD，且 ，EDC0FAE若将五边形 看成底面， 为GDA高，则该储蓄罐是一个直五棱柱（1） 图 2 为面 的直观图，请以
7、此为底面将该储蓄罐的B 直观图画完整；（2） 已知该储蓄罐的容积为 ，求制作该储蓄罐所31250cmV 需材料的总面积 （精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）S 6 （1） 该储蓄罐的直观图如右图所示 （2） 若设 ，则五边形 的面积为 ，得容积 ，解得 ，ADaCDEFG24a351204Va10a其展开图的面积 ， 221550(1)691Sa因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为 692cm7如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC =90，AB=BC= AA1=2，D 是 AB的中点（1）求证：AC 1平面 B1DC；（2）已知 E 是 A1B1 的中点，点 P
8、为一动点，记 PB1=x 点 P 从 E 出发，沿着三棱柱的棱，按照 EA 1A 的路线运动到点 A，求这一过程中三棱锥 PBCC1 的体积表达式 V（x ） 7 （1）如图，取 的中点 ，连结 DF，在ABC 1 中，1BCFD、 F 分别为 AB、BC 1 的中点，DFAC 1又 DF 平面 B1DC，AC 1 平面 B1DC，AC 1平面 B1DC （2）PB 1=x， .2S 平面 ， 平面 APC当点 P 从 E 点出发到 A1 点，即 时，2,x .323111 xPBsVCBP当点 P 从 A1 点运动到 A 点，即 时， 411AS三棱锥 PBCC1 的体积表达式,23()4,
9、.xVx8如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形，PABCD /,90,ADBCAPABCDFGE图 1ABCD图 2APB CDMNABCDFGE4底面 ， ， 分别为 的中点ABCD2PABC,MN,PCB（1）求证： ；M（2）求 与平面 所成的角的正弦值N8 （1）解法 1： 是 的中点， ， PBABP 平面 ，所以 PACD又 ， ， ， BA平 面 D又 ， 平面 NMN ， M解法 2：如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，Axyz1BC可得， 0, 12,0,(,2)(,)(0,2)PBC因为 ，所以 3,1,BD PBDM（2）因为 (0)(,A所以 ，又 ，所以 ，
10、PPBMAN因此 的余角即是 与平面 所成的角,CCD因为 10cos5|所以 与平面 所成的角的正弦值为 DAN9右图是一个直三棱柱（以 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 已知 ，1BCABC11BC， ， ， 10BC14213（1）设点 是 的中点，证明： 平面 ；（2）求此几何体的体积；OA/O1AB（3）求二面角 的大小9解法 1：（1）作 交 于 ，连 则 1/D1CD1/OC因为 是 的中点，所以 OAB11()32OAB则 是平行四边形，因此有 1C/ 平面 且 平面 ，则 面 1C1/1A（2）因为 ，所以 2H22 21()332BAACVSH1211ABCABCV
11、S所求几何体体积为 212ACBAC（3）如图，以 为原点建立空间直角坐标系，1则 ， ， (04)， ， ()， ， (03)， ， ， ，AB， ， ， ，设 是平面 的一个法向量，则mxyz， ，则 ， 得： ，C20yzx取 ，则 是平面 的一个法向量1(21)， ， ABCO1AB1yAPB C DMNx z BCOA1H22D5易知 为平面 的一个法向量(10)l， ， 1AC，结合图形可知所求二面角为锐角203cos6ml， 所以，二面角 的大小是 1B10数列 中， ， （ 是常数， ） ，且 成公比不为 的等比数列na2nac 123n， ， ， 123a， ， 1（1）求
12、的值； （2）求 的通项公式c10 （1） ， ， ，c3因为 ， ， 成等比数列，所以 ，解得 或 23 2()()cc0c当 时， ，不符合题意舍去，故 01a（2）当 时，由于n， 1c， 3, ，1()na所以 (1)2()2nc又 ， ，故 1c (23)nan， ，当 时，上式也成立，n所以 2(1)a， ，11已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 ，数列 的前 n 项和为 ，点yfx()62fxanS均在函数 的图像上(,)nSN()（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， 是数列 的前 项和，求使得 对所有 都成na13nabTnb20nmTN立的最小正整数 m11 （1
13、）设这二次函数 ，则 ，由 ，得 ， 2()(0)fxab()2(0)fxba()6fx3,2ab所以 2()3fx又因为点 均在函数 的图像上，所以 ,)(nSN()yfnS23当 时， 221(31()65nan（当 时， ，所以 （ ） 165aN（2）由（1）得知 ，1nab()(1n1265n故 1niT2.73 6n因此，要使 （ ）成立，必须且仅须满足 ，即 6n0mnN210m16所以满足要求的最小正整数 m 为 1012已知数列 满足 na11,2naN（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，证明： nb是等差数列；nbnnbbba)1(441321 （3）证明： 2
14、31naa12 （1） ， 1nn)1(21nna故数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， naa（2） ， nnbbb )(4411321 nnbb24)(21 )(则 1121 2nn得 ，即 nn1( 1)(n 2)(b得 ，即 1n11nb所以数列 n是等差数列（3） 1122nnaa设 ，则 132naS 22311nSa 21nSa31na13已知圆 4:2yxC（1）若直线 过点 P（2，4） ，且与圆 C 相切，求直线 的方程；l l（2）由动点 M 向圆 C 引两条切线 MA、MB ，切点分别为 A、B，且AMB=60 0，求动点 M 的轨迹方程13 （1）点 P（2，
15、4）在圆 C 外，直线 有两条l当 的斜率不存在时， 的方程为 ，满足题意；ll2x当 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 )(4ky24kykx由 ，解得 的方程为 12k3kl 013综上所述，直线 的方程为 或 l2x（2）设 ，OAMA（其中 为圆 的圆心） ，且OMA =300，),(yxMOC ， 4OA4y点 M 的轨迹方程为 16214已知定圆 圆心为 A，动圆 M 过点 B（1，0）且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为,)(:xC（1）求曲线 C 的方程；（2）若点 为曲线 C 上一点，求证：直线 与曲线 C 有且只有一个交点),(0yP 243:0yxl714 （1）
16、圆 A 的圆心为 ，4),01(1r半 径设动圆 M 的圆心 .|,22MBryx依 题 意 有半 径 为由|AB|=2 ，可知点 B 在圆 A 内，从而圆 M 内切于圆 A，故|MA|=r 1r2，即 |MA|+|MB|=4，所以，点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 ，由12byax .3,4,42baca可 得故曲线 C 的方程为 .34（2）当 ，2,1,0020xyxy可 得由时 .134,2: ,431,0).02(, .,00000yxxylyCl xlxll联 立 方 程 组 的 方 程 为直 线时当 有 且 只 有 一 个 交 点与 曲 线直 线 的 方 程
17、 为直 线时当 有 且 只 有 一 个 交 点与 曲 线直 线 的 方 程 为直 线时当消去 .06482)(, 2002 yxy得由点 为曲线 C 上一点，0P.1.134202yx可 得得于是方程 可以化简为 解得 ，2xx0x00 03,4()Cx yyl P将 代 入 方 程 可 得故 直 线 与 曲 线 有 且 只 有 一 个 交 点综上可知，直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点，且交点为 ),(0yx15已知两定点 ，满足条件 的点 P 的轨迹是曲线 C，直线 与曲线 C)0,2(),(1F21F1kxy交于 A、B 两点（1）求实数 的取值范围；k（2）若 ，求实数 的值52k
18、15 （1）由双曲线的定义知，曲线 C 是以 为焦点的双曲线的右支21,F ， ，曲线 C 的方程为 ,ca1b )0(xyx由 ，消去 得 ，2yxky2()kk设 ，则 ，解),(),(21yxBA012)1(84012kx得 12k实数 的取值范围是 )1,8（2）由222211 2()4()411kABkxx，整理得 ，解得 或 5)(120362k3k ， 为所求k16已知函数 的图象经过原点)(log)(2axf（1）若 、 、 成等差数列，求 的值；3x14f x（2）若 ，三个正数 、 、 成等比数列， fgmnt )(2)(ngtmg求 证 ：16 （1）由 ，得 ， 0)(
19、lo2a)1(log)(2f， 1 )2(lg3xxf， 42又 成等差数列，41)(fff， )()(2x即： 3222logllog()即： ，解之得： 或 ， 3x14x经检验， 是增根， 14（2） )()(tfmft l()log()221mtlog2tntntR 、 、 成 等 比 数 列 ， 且 ， ，时等号成立，tt， 当，此时 )(21)(log2)1(l)(2 ngn即： gtmg17已知函数 ，在函数 图像上一点 处切线的斜率为 35)(23bxaxf )(xf )(,fP（1）若函数 在 时有极值，求 的解析式； y（2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围1,b
20、17由 求导数得 ，)(23f af23)(由在函数 图像上一点 处切线的斜率为 3，知 ，xf,(P3)1(f即 ，化简得 ba0ba（1）因为 在 时有极值，所以 ，即 )(y0)(f 04b由联立解得 ， 4,2523xx（2） ，由知 ， xxf32 f2在区间 上单调递增，依题意 在 上恒有 ，)(1, )(1,)(f即 在 上恒成立，下面讨论函数 的对称轴：0b yf 在 时， ， 6x 03)1()(min bfxf 6 在 时， ，无实数解22i 9 在 时， ， 162b012)(minbxf 6b综合上述讨论可知， 的取值范围是 18设关于 的方程 的两根分别为 、 ，函数
21、 x02a14)(2xaf（1）证明 在区间 上是增函数；)(f,（2）当 为何值时， 在区间 上的最大值与最小值之差最小？a)(xf,18 （1） ，2)()(1af由方程 的两根分别为 、 ，02x可知当 ， 恒成立，,02x所以当 时 ，所以 在区间 上是增函数()f)(f,（2）由（）知， 在区间 上是增函数，f,故 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，)(xf, )(f12(4)(14222 aa， ，可求得 ，2a，16124)()( 222 aaff所以当 时， 在区间 上的最大值与最小值之差最小，最小0axf, 值为19某上市股票在 30 天内每股的交易价 （元）与时间 （天）
22、组成有序数pt 对，点 落在如图中的两条线段上，该股票在 30 天内的日交易量(,)tp(,)t （Q万股）与时间 （天）的部分数据如下表所示：（1）根据提供的图像和表格，写出该种股票每股交易价格 （元）与时间p （天）t所满足的函数关系式以及日交易量 （万股）与时间 （天）的一次函数关Qt 系式（2）用 表示该股票日交易额（万元） ，写出 关于 的函数关系式，并求y y 在这30 天中第几天日交易额最大，最大值为多少？19 （1）依题意可得，每股交易价格 （元）与时间 （天）所满足的函数关系式pt为（ 为正整数） 2,058,31ttpt日交易量 （万股）与时间 （天）的一次函数关系式为Qt
23、（ 为正整数） 40,tt（2） 关于 的函数关系式为y（ 为正整数） 2(15),0264,30ttt1）当 时 =125 万元； t,maxy 第 天t4 10 16 22（万Q股） 36 30 24 18256 20 30 tpO102）当 ， 随 的增大而减小，即 0t3yty125综上所述，第 15 天日交易额最大，最大值为 125 万元 20已知函数 32,()ln.xf（1）求函数 的单调减区间；（2）若不等式 恒成立，求 c 的取值范围Rxcf对 一 切)(20 （1）32,1ln.xf2 2,(),()0,.31,.xfxxfx 当 时 令 可 得当 时 故所以函数 2()0
24、,.3的 单 调 减 区 间 为（2）设31ln,.xgxf21,() ,10,;33(),.11,(),().331,(),10.(,)(),xxgxgxgxxxg当 时令 可 得 或 即令 可 得可 得 为 函 数 的 单 调 增 区 间 为 函 数 的 单 调 减 区 间当 时故 当 时可 得 为 函 数 的 单 调 减 区 间又 函 数 在 ,11(), ,.335,279() ,xggfxcxR处 连 续于 是 函 数 的 单 调 增 区 间 为 单 调 减 区 间 为所 以 函 数 的 最 大 值 为要 使 不 等 式 对 一 切 恒 成 立(),5,.27cg即 对 一 切 恒 成 立又故 c 的取值范围为 ,.21已知函数 （ 且 ） 3(1)()xaf01a（1）试就实数 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；a
