1、义务教育课程标准实验教科书,九年级 上册,人民教育出版社,24.3 正多边形和圆(第1课时),观察下列图形他们有什么特点?,问题1,什么样的图形是正多边形?,各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形.,三条边相等,三个角相等(60度)。,四条边相等,四个角相等(900)。,正三角形,正方形,正多边形定义,如果一个正多边形有n条边,那么这个正多边形叫做正n边形。,思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?,菱形, 矩形都不是正多边形,正多边形轴对称图形,一个正n边形共有条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的 。,都是,n,中心,正多边形的性质及对称性,边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形,它
2、的中心就是对称中心。,你知道正多边形与圆的关系吗?,正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.,探索新知,如图,把O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE., AB=BC=CD=DE=EA, A=B.,同理B=C=D=E.,又五边形ABCDE的顶点都在O上, 五边形ABCD是O的内接正五边形, O是五边形ABCD的外接圆.,我们以圆内接正五边形为例证明.,正n边形与圆的关系,1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.,A,B,C,D,2、把圆分成n(n3)等份:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内
3、接正多边形.这个圆叫这个正多边形的外接圆。,弧相等,弦相等(多边形的边相等),圆周角相等(多边形的角相等),多边形是正多边形,P105思考: 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例.,各边相等的圆内接多边形是正多边形.,多边形A1A2A3A4An是O的内接多边形,且A1A2=A2A3=A3A4=An1An, 多边形A1A2A3A4An是正多边形.,A1,A,A,A,A,A,A,An,O,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(即AOB ),我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心(即点O),外接圆的半径叫做正
4、多边形的半径(即OA),中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(即OM),引入新知,正多边形的外接圆,圆内接正多边形ABCDEF,O,O,圆心角,中心角,C,D,A,B,M,M,半径R,半径R,圆心,中心,弦心距r,边心距r,弦,边,外 接 圆 O,圆内接正多边形,圆心O,中心O,半径OA(R),半径OA(R),圆心角AOB,中心角AOB,弦心距OM(r),边心距OM(r),弦CD,边CD,思考:正多边形中每个图形的半径,分别将它们分割成什么样的三角形?它们有什么规律?,正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形,思考:作每个正多边形的边心距,又有什么规律?,边心距又把这n个等
5、腰三角形分成了2n个直角三角形,这些直角三角形也是全等的,想一想:将一个圆n等分,顺次连接等分点可得这个圆的内接正n边形,那么怎样得到这个圆的外切正多边形呢?,怎样找圆的外切正三角形?,怎样找圆的外切正方形?,怎样找圆的外切正n边形?,结论:经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。,思考:一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆?,类比联想,正三角形外接圆和内切圆有什么位置关系?,正方形外接圆和内切圆有什么位置关系?,那么,正n边形呢?,结论:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆。,1. O是正ABC的中心,它是ABC的_圆与_圆的圆心。
6、,2. OB叫正ABC的_,它是正ABC的_圆的半径.,3. OD叫作正ABC_ _, 它是正ABC的_圆的半径。,A,B,C,.O,D,外接,内切,半径,外接,边心距,内切,4. BOC是正ABC的_角;,中心,BOC=_度; BOD=_度.,120,60,P105思考:1、求半径为R的圆的内接正三角形的边心距、边长、面积。,A,B,C,D,.O,2、求半径为R的圆内接正方形的边长、边心距、周长和面积.,解:过O作OHAB于H,连接OA.,在RtAOH中OAH=450,3、求半径为R的圆内接正六边形的边长、边心距、周长和面积.,解:过O作OHAB于H,连接OA.,H,在RtAOH中,OH弦A
7、B边长a=AB=2AH=R 周长l=6a=6R,.,O,中心角,A,B,G,边心距把AOB分成2个全等的直角三角形,设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.,R,a,例2.一个正多边形的半径是2,边心距为 ,求它的边数.,解:设这个多边形边数是n,如图,AB是正多边形的 一边,O是正多边形的中心.ODAB于点D. 则AO=2,OD=,例3:如图,M,N分别是O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图中MON的度数; (2)图中MON= ;图中MON= ; (3)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.,.,.,.,A,B,C,M,N,M,N,M,N,O,O,O,思
8、考:如图,若正六边形的面积为6 ,求正六边形内切圆的内接正三角形的面积.,解:连接OM、OB.设正六边形的半径为R.,在RtBOM中,N,四、巩固提升 1等边ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG的面积为 2已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等,求它们的面积的比值 . 3:完成下面的表格,4、已知正三角形ABC的边长为4,则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积是多少?,练习,课前训练,5、有一边长为4的正n边形,它的一个内角为120,则其外接圆的半径为( ) A. B. 4 C. D.2,B,6.如图,正六边形与正三角形内接于同一个O中,已知外接圆的半径为2,则阴影部分的面积为,7、
9、一个正十边形至少绕其中心旋转_度,才能与原图形重合。,课前训练,36,8.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3、r4、r6,则r3:r4:r6等于( )B. C. 1:2:3 D. 3:2:1,边长比是多少?,A,9.如图,设正五边形的对角线AC和BE相交于点M。 (1)问四边形EMCD是怎样的四边形?试证明你的结论; (2)提出一个与点M有关的正确命题,并进行证明。,开放性题目,课前训练,10.一个正十边形至少绕其中心旋转_度,才能与原图形重合。,36,11.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,B=60,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为(
10、) A. m B.20m C.22m D.24m,B,11如图,正六边形ABCDEF的半径为2,以它的中心O为坐标原点,顶点B、E在x轴上,求正六边形ABCDEF的各顶点的坐标,A(-1, ),B(-2,0 ),C(-1, ),D(1, ),E(2,0 ),F( 1, ),课堂小结,1、正多边形:各边相等,各角相等的多边形是正多边形. 正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心. 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距. 2、把一个圆分成n条相等的弧,顺次连接各分点所得的多边形是圆的内接正n边形. 3、正多
11、边形都是轴对称图形,正n边形有n条对称轴,每条对称轴都经过正多边形的中心. 边数为偶数的正多边形都是中心对称图形.,.,O,中心角,A,B,G,它的周长为l=na.,R,a,r,课堂小结,4、正多边形的计算:,课本108页第7题:用48m的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有几种设计方案,正三角形、正方形、正六边形、圆,哪种场地的面积大(可以用计算器算)?,解:过O作OHAB于H,连接OA.,在RtAOH中OAH=300 AO=2HO=2r AO2=HO2+AH2 (2r) 2=r2+82,H,课本108页第7题:用48m的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有几种设计方案,正三角形、正方形、正六边
12、形、圆,哪种场地的面积大(可以用计算器算)?,解:AB=484=12,过O作OHAB于H,连接OA.,H,在RtAOH中AO=2AH=24=8,课本108页第7题:用48m的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有几种设计方案,正三角形、正方形、正六边形、圆,哪种场地的面积大(可以用计算器算)?,解:圆,答:圆形场地的面积最大.,课本108页第8题:如图圆O的半径是R,分别求它的外切正三角形,外切正方形,外切正六边形的边长.,解:连接OA,若AB与O切于H则OHAB.,在RtAOH中OAH=300,边长a=AB=2AH=,连接OA.若AB与O切于H则OHAB.,在RtAOH中OAH=450 AH=OH=R 边长a=AB=2AH=2R,课本108页第8题:如图圆O的半径是R,分别求它的外切正三角形,外切正方形,外切正六边形的边长.,解:连接OA,若O与AF切于H, 连接OH,则OHAF.,在RtAOH中AO=2AH AH2+OH2=AO2 AH2+R2=(2AH)2,边长a=AF=2AH=,