均值,方差等.doc

1、样本均值样 本 均 值 又 叫 样 本 均 数 。 即 为 样 本 的 均 值 。 均 值 是 指 在 一 组 数 据 中 所 有 数 据 之 和 再 除 以 数 据 的 个数 。 它 是 反 映 数 据 集 中 趋 势 的 一 项 指 标 。 例 如 1、 2、 3、 4 四 个 数 据 的 均 值为 （ 1+2+3+4） /4=2.5。 样 本 （ sample） ， 是 指 从 总 体 中 抽 出 的 一 部 分 个 体 。 样 本 中 所 包 含 个 体数 目 称 样 本 容 量 或 含 量 ， 用 符 号 N 或 n 表 示 。 总 体 （ population） 是 指 客 观 存

2、 在 的 ， 并 在 同 一 性 质 的 基 础 上 结 合 起 来的 许 多 个 别 单 位 的 整 体 ， 即 具 有 某 一 特 性 的 一 类 事 物 的 全 体 ， 又 叫 母 体 或 全域 。 简 单 地 说 ， 总 体 也 就 是 我 们 所 研 究 的 性 质 相 同 个 体 的 总 和 。 样 本 是 受 审 查 客 体 的 反 映 形 象 或 其 自 身 的 一 部 分 。 按 一 定 方 式 从 总 体 中抽 取 的 若 干 个 体 ， 用 于 提 供 总 体 的 信 息 及 由 此 对 总 体 作 统 计 推 断 。 又 称 子 样 。例 如 因 为 人 力 和 物 力

3、 所 限 ， 不 能 每 年 对 全 国 的 人 口 进 行 普 查 ， 但 可 以 通 过 抽样 调 查 的 方 式 来 得 到 需 要 的 信 息 。 从 总 体 中 抽 取 样 本 的 过 程 叫 抽 样 。 最 常 用的 抽 样 方 式 是 简 单 随 机 抽 样 ， 按 这 种 方 式 抽 样 ， 总 体 中 每 个 个 体 都 有 同 等 的机 会 被 抽 入 样 本 ， 这 样 得 到 的 样 本 称 简 单 随 机 样 本 。 样 本 的 平 均 值 称 样 本 均值 ， 样 本 偏 离 样 本 均 值 的 平 方 的 平 均 值 称 为 样 本 方 差 ， 在 数 理 统 计

4、 中 ， 常 常用 样 本 均 值 来 估 计 总 体 均 值 ， 用 样 本 方 差 来 估 计 总 体 方 差 。样本方差样 本 方 差 定 义样 本 方 差 样 本 关 于 给 定 点 x 在 直 线 上 散 布 的 数 字 特 征 之 一 ， 其 中 的 点 x 称 为 方差 中 心 。 样 本 方 差 数 值 上 等 于 构 成 样 本 的 随 机 变 量 对 离 散 中 心 x 之 方 差 的 平 方 和 。 设X、 ， ， 各 是 同 分 布 实 随 机 变 量 ， 点 x 是 选 定 的 方 差 中 心 (x R)。 那 么 ， 量 s。 (x)=艺 (x 一 x)z 称 为

5、关 于 点 x 的 样 本 方 差 (sample variance)， 由 于 s。 (x)=s。 (见 )+n(无 一 x)，)s。 (无 )二 s。 ， 其 中 了 二 (X、 +十 戈 )加 ， 可 见 当 x 二 了 时 关 于 x 的 样 本 方 差 取 最 小值 .较 小 的 S。 说 明 样 本 元 素 关 于 见 集 中 ； 相 反 ， 较 大 的 S。 说 明 样 本 元 素 分 散 ， 样 本方 差 的 概 念 ， 可 以 自 然 地 推 广 到 多 维 样 本 的 样 本 协 方 差 矩 阵 。 方差定义，设 X 是一个随机变量，若 EX-E(X)2存在，则称 EX-E

6、(X)2为 X 的方差，记为 V（X） ，是衡量一组数据的离散程度的统计量编 辑 本 段 样 本 方 差 计 算 方 法设 X1 ,X2,Xn 是 一 个 样 本 ， S2=sum(xi-E(x)2)/(n-1)称 为 样 本 方 差 ， 其 中 E(x)是 样 本 均 值 。 例 如 ， 一 样 本 取 值 为 3,4,4,5,4， 则 样 本 均 值 =（ 3+4+4+5+4） /5=4， 样 本方 差 S2=(（ 3-4） 2+0+0+(5-4)2+0)/4=0.5。 样 本 方 差 是 常 用 的 统 计 量 之 一 ， 是 描 述 一 组数 据 变 异 程 度 或 分 散 程 度 大

7、 小 的 指 标 。 S 称 为 样 本 标 准 差 。 如 在 上 例 中 ， S=0.7071。 称 （ S/ X） 100%为 样 本 变 异 系 数 。由 于 S 与 X 都 是 从 同 一 个 样 本 资 料 中 求 得 ， 两 者 的 单 位 相 同 ， 故 变 异 系 数 为 一 纯 数 。 当两 种 样 本 资 料 所 用 的 单 位 不 同 时 ， 只 要 计 算 出 变 异 系 数 ， 就 可 以 比 较 它 们 的 变 异 程 度 。标准差标准差（Standard Deviation） ，也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，

8、它是离均差平方和平均后的方根，用 表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。简介 标准差的意义 离散度 极差 离均差的平方和 1.方差（S2） 2.标准差（SD） 3.变异系数（CV） 解释 标准差与标准误的区别 1.标准误 Excel 函数 外汇术语 样本标准差 应用实例 1.选基金 2.股市分析中 3.标准差在确定企业最优资本结构中的应用 展开 简介 标准差的意义 离散度 1.极差 2.离均差的平方和 3.方差（S2） 4.标准差（SD） 5.变异系数（CV） 解释 标准差与标准误的区别 1.标准误 Excel 函数 外汇术语 样本标准

9、差 应用实例 1.选基金 2.股市分析中 标准差在确定企业最优资本结构中的应用 编 辑 本 段 简 介标 准 差 （ Standard Deviation） ， 在 概 率 统 计 中 最 常 使 用 作 为 统 计 分 布 程 度（ statistical dispersion） 上 的 测 量 。 标 准 差 定 义 为 方 差 的 算 术 平 方 根 ， 反 映 组 内 个 体 间的 离 散 程 度 。 测 量 到 分 布 程 度 的 结 果 ， 原 则 上 具 有 两 种 性 质 ： 为 非 负 数 值 ， 与 测 量 资 料 具 有 相 同 单 位 。 一 个 总 量 的 标 准 差

10、 或 一 个 随 机 变 量 的标 准 差 ， 及 一 个 子 集 合 样 品 数 的 标 准 差 之 间 ， 有 所 差 别 。 标 准 计 算 公 式 假 设 有 一 组 数 值 X1,X2,X3,Xn（ 皆 为 实 数 ） ， 其 平 均 值 为 ， 公 式 如 图 1. 图 1标 准 差 也 被 称 为 标 准 偏 差 ， 或 者 实 验 标 准 差 ， 公 式 如 图 2。 图 2简 单 来 说 ， 标 准 差 是 一 组 数 据 平 均 值 分 散 程 度 的 一 种 度 量 。 一 个 较 大 的 标 准 差 ， 代表 大 部 分 数 值 和 其 平 均 值 之 间 差 异 较

11、大 ； 一 个 较 小 的 标 准 差 ， 代 表 这 些 数 值 较 接 近 平 均值 。 例 如 ， 两 组 数 的 集 合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其 平 均 值 都 是 7 ， 但 第 二 个 集合 具 有 较 小 的 标 准 差 。 标 准 差 可 以 当 作 不 确 定 性 的 一 种 测 量 。 例 如 在 物 理 科 学 中 ， 做 重 复 性 测 量 时 ， 测 量数 值 集 合 的 标 准 差 代 表 这 些 测 量 的 精 确 度 。 当 要 决 定 测 量 值 是 否 符 合 预 测 值 ， 测 量 值 的标 准 差 占 有 决 定 性 重 要

12、 角 色 ： 如 果 测 量 平 均 值 与 预 测 值 相 差 太 远 （ 同 时 与 标 准 差 数 值 做比 较 ） ， 则 认 为 测 量 值 与 预 测 值 互 相 矛 盾 。 这 很 容 易 理 解 ， 因 为 如 果 测 量 值 都 落 在 一 定 数值 范 围 之 外 ， 可 以 合 理 推 论 预 测 值 是 否 正 确 。 标 准 差 应 用 于 投 资 上 ， 可 作 为 量 度 回 报 稳 定 性 的 指 标 。 标 准 差 数 值 越 大 ， 代 表 回 报远 离 过 去 平 均 数 值 ， 回 报 较 不 稳 定 故 风 险 越 高 。 相 反 ， 标 准 差 数

13、值 越 细 ， 代 表 回 报 较 为稳 定 ， 风 险 亦 较 小 。 例 如 ， A、 B 两 组 各 有 6 位 学 生 参 加 同 一 次 语 文 测 验 ， A 组 的 分 数 为95、 85、 75、 65、 55、 45， B 组 的 分 数 为 73、 72、 71、 69、 68、 67。 这 两 组 的 平 均 数都 是 70， 但 A 组 的 标 准 差 为 17.078 分 ， B 组 的 标 准 差 为 2.16 分 （ 此 数 据 是 在 R 统 计软 件 中 运 行 获 得 ） ， 说 明 A 组 学 生 之 间 的 差 距 要 比 B 组 学 生 之 间 的 差

14、 距 大 得 多 。 如 是 总 体 ， 标 准 差 公 式 根 号 内 除 以 n 如 是 样 本 ， 标 准 差 公 式 根 号 内 除 以 （ n-1) 因 为 我 们 大 量 接 触 的 是 样 本 ， 所 以 普 遍 使 用 根 号 内 除 以 （ n-1) 公 式 意 义 所 有 数 减 去 其 平 均 值 的 平 方 和 ， 所 得 结 果 除 以 该 组 数 之 个 数 （ 或 个 数 减 一 ， 即 变 异 数 )，再 把 所 得 值 开 根 号 ， 所 得 之 数 就 是 这 组 数 据 的 标 准 差 。 深 蓝 区 域 是 距 平 均 值 小 于 一 个 标 准 差 之

15、 内 的 数 值 范 围 。 在 正 态 分 布 中 ， 此 范 围 所占 比 率 为 全 部 数 值 之 68% 。 根 据 正 态 分 布 ， 两 个 标 准 差 之 内 （ 深 蓝 ， 蓝 ） 的 比 率 合起 来 为 95% 。 根 据 正 态 分 布 ， 三 个 标 准 差 之 内 （ 深 蓝 ， 蓝 ， 浅 蓝 ） 的 比 率 合 起 来 为 99% 。 正 态 分 布 图标 准 差 的 意 义标 准 计 算 公 式 假 设 有 一 组 数 值 （ 皆 为 实 数 ） ， 其 平 均 值 为 ： . 此 组 数 值 的 标 准 差 为 ： 样 本 标 准 差 在 真 实 世 界 中

16、 ， 除 非 在 某 些 特 殊 情 况 下 ， 找 到 一 个 总 体 的 真 实 的 标 准 差 是 不 现 实 的 。大 多 数 情 况 下 ， 总 体 标 准 差 是 通 过 随 机 抽 取 一 定 量 的 样 本 并 计 算 样 本 标 准 差 估 计 的 。 从 一 大 组 数 值 当 中 取 出 一 样 本 数 值 组 合 ， 常 定 义 其 样 本 标 准 差 ： 样 本 方 差 s 是 对 总 体 方 差 的 无 偏 估 计 。 s 中 分 母 为 n- 1 是 因 为 的 自 由 度 为 n 1 ， 这 是 由 于 存 在 约 束 条 件 。 这 里 示 范 如 何 计 算

17、 一 组 数 的 标 准 差 。 例 如 一 群 儿 童 年 龄 的 数 值 为 5, 6, 8, 9 ： 第 一 步 ， 计 算 平 均 值 第 二 步 ， 计 算 标 准 差 编 辑 本 段 离 散 度标 准 差 是 反 应 一 组 数 据 离 散 程 度 最 常 用 的 一 种 量 化 形 式 ， 是 表 示 精 确 度 的 重 要 指 标 。说 起 标 准 差 首 先 得 搞 清 楚 它 出 现 的 目 的 。 我 们 使 用 方 法 去 检 测 它 ， 但 检 测 方 法 总 是 有误 差 的 ， 所 以 检 测 值 并 不 是 其 真 实 值 。 检 测 值 与 真 实 值 之 间

18、 的 差 距 就 是 评 价 检 测 方 法 最有 决 定 性 的 指 标 。 但 是 真 实 值 是 多 少 ， 不 得 而 知 。 因 此 怎 样 量 化 检 测 方 法 的 准 确 性 就成 了 难 题 。 这 也 是 临 床 工 作 质 控 的 目 的 ： 保 证 每 批 实 验 结 果 的 准 确 可 靠 。 虽 然 样 本 的 真 实 值 是 不 可 能 知 道 的 ， 但 是 每 个 样 本 总 是 会 有 一 个 真 实 值 的 ， 不 管 它究 竟 是 多 少 。 可 以 想 象 ， 一 个 好 的 检 测 方 法 ， 其 检 测 值 应 该 很 紧 密 的 分 散 在 真

19、实 值 周 围 。如 果 不 紧 密 ， 与 真 实 值 的 距 离 就 会 大 ， 准 确 性 当 然 也 就 不 好 了 ， 不 可 能 想 象 离 散 度 大 的方 法 ， 会 测 出 准 确 的 结 果 。 因 此 ， 离 散 度 是 评 价 方 法 的 好 坏 的 最 重 要 也 是 最 基 本 的 指标 。 一 组 数 据 怎 样 去 评 价 和 量 化 它 的 离 散 度 呢 ?人 们 使 用 了 很 多 种 方 法 ： 极 差最 直 接 也 是 最 简 单 的 方 法 ， 即 最 大 值 最 小 值 （ 也 就 是 极 差 ） 来 评 价 一 组 数 据 的 离散 度 。 这

20、一 方 法 在 日 常 生 活 中 最 为 常 见 ， 比 如 比 赛 中 去 掉 最 高 最 低 分 就 是 极 差 的 具 体应 用 。 离 均 差 的 平 方 和由 于 误 差 的 不 可 控 性 ， 因 此 只 由 两 个 数 据 来 评 判 一 组 数 据 是 不 科 学 的 。 所 以 人 们 在要 求 更 高 的 领 域 不 使 用 极 差 来 评 判 。 其 实 ， 离 散 度 就 是 数 据 偏 离 平 均 值 的 程 度 。 因 此将 数 据 与 均 值 之 差 （ 我 们 叫 它 离 均 差 ） 加 起 来 就 能 反 映 出 一 个 准 确 的 离 散 程 度 。 和

21、越 大离 散 度 也 就 越 大 。 但 是 由 于 偶 然 误 差 是 成 正 态 分 布 的 ， 离 均 差 有 正 有 负 ， 对 于 大 样 本 离 均 差 的 代 数 和为 零 的 。 为 了 避 免 正 负 问 题 ， 在 数 学 有 上 有 两 种 方 法 ： 一 种 是 取 绝 对 值 ， 也 就 是 常 说的 离 均 差 绝 对 值 之 和 。 而 为 了 避 免 符 号 问 题 ， 数 学 上 最 常 用 的 是 另 一 种 方 法 平 方 ，这 样 就 都 成 了 非 负 数 。 因 此 ， 离 均 差 的 平 方 和 成 了 评 价 离 散 度 一 个 指 标 。 方

22、差 （ S2）由 于 离 均 差 的 平 方 和 与 样 本 个 数 有 关 ， 只 能 反 应 相 同 样 本 的 离 散 度 ， 而 实 际 工 作 中做 比 较 很 难 做 到 相 同 的 样 本 ， 因 此 为 了 消 除 样 本 个 数 的 影 响 ， 增 加 可 比 性 ， 将 标 准 差 求平 均 值 ， 这 就 是 我 们 所 说 的 方 差 成 了 评 价 离 散 度 的 较 好 指 标 。 样 本 量 越 大 越 能 反 映 真 实 的 情 况 ， 而 算 数 均 值 却 完 全 忽 略 了 这 个 问 题 ， 对 此 统 计学 上 早 有 考 虑 ， 在 统 计 学 中

23、样 本 的 均 差 多 是 除 以 自 由 度 （ n-1)， 它 的 意 思 是 样 本 能 自 由选 择 的 程 度 。 当 选 到 只 剩 一 个 时 ， 它 不 可 能 再 有 自 由 了 ， 所 以 自 由 度 是 n-1。 标 准 差 （ SD）由 于 方 差 是 数 据 的 平 方 ， 与 检 测 值 本 身 相 差 太 大 ， 人 们 难 以 直 观 的 衡 量 ， 所 以 常 用方 差 开 根 号 换 算 回 来 这 就 是 我 们 要 说 的 标 准 差 。 在 统 计 学 中 样 本 的 均 差 多 是 除 以 自 由 度 （ n-1)， 它 是 意 思 是 样 本 能

24、自 由 选 择 的 程 度 。当 选 到 只 剩 一 个 时 ， 它 不 可 能 再 有 自 由 了 ， 所 以 自 由 度 是 n-1。 变 异 系 数 （ CV）标 准 差 能 很 客 观 准 确 的 反 映 一 组 数 据 的 离 散 程 度 ， 但 是 对 于 不 同 的 检 目 ， 或 同 一 项目 不 同 的 样 本 ， 标 准 差 就 缺 乏 可 比 性 了 ， 因 此 对 于 方 法 学 评 价 来 说 又 引 入 了 变 异 系 数CV。 一 组 数 据 的 平 均 值 及 标 准 差 常 常 同 时 做 为 参 考 的 依 据 。 在 直 觉 上 ， 如 果 数 值 的 中

25、 心以 平 均 值 来 考 虑 ， 则 标 准 差 为 统 计 分 布 之 一 “自 然 ”的 测 量 。 定 义 公 式 ： 其 中 N 应 为 n-1， 即 自 由 度 标 准 差 与 平 均 值 定 义 公 式1、 方 差 s2=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2/(n) （ x 为 平 均 数 ） 2、 标 准 差 =方 差 的 算 术 平 方 根 error bar。 在 实 验 中 单 次 测 量 总 是 难 免 会 产 生 误 差 ， 为 此 我 们 经 常 测 量 多 次 ， 然 后 用测 量 值 的 平 均 值 表 示 测 量 的 量 ， 并 用 误 差 条 来

26、表 征 数 据 的 分 布 ， 其 中 误 差 条 的 高 度 为 标 准 误 。 这 里 即 标 准 差 standard deviation 和 标 准 误 standard error 的 计 算 公 式 分 别 为 标 准 差标 准 误编 辑 本 段 解 释从 几 何 学 的 角 度 出 发 ， 标 准 差 可 以 理 解 为 一 个 从 n 维 空 间 的 一 个 点 到 一 条 直 线 的距 离 的 函 数 。 举 一 个 简 单 的 例 子 ， 一 组 数 据 中 有 3 个 值 ， X1,X2,X3。 它 们 可 以 在 3 维空 间 中 确 定 一 个 点 P = (X1,X

27、2,X3)。 想 像 一 条 通 过 原 点 的 直 线 。 如 果 这 组 数 据 中 的 3个 值 都 相 等 ， 则 点 P 就 是 直 线 L 上 的 一 个 点 ， P 到 L 的 距 离 为 0, 所 以 标 准 差 也 为0。 若 这 3 个 值 不 都 相 等 ， 过 点 P 作 垂 线 PR 垂 直 于 L， PR 交 L 于 点 R， 则 R 的 坐 标 为 这 3 个 值 的 平 均 数 ： 公 式运 用 一 些 代 数 知 识 ， 不 难 发 现 点 P 与 点 R 之 间 的 距 离 (也 就 是 点 P 到 直 线 L 的 距离 )是 。 在 n 维 空 间 中 ，

28、 这 个 规 律 同 样 适 用 ， 把 3 换 成 n 就 可 以 了 。 编 辑 本 段 标 准 差 与 标 准 误 的 区 别标 准 差 与 标 准 误 都 是 心 理 统 计 学 的 内 容 ， 两 者 不 但 在 字 面 上 比 较 相 近 ， 而 且 两 者 都是 表 示 距 离 某 一 个 标 准 值 或 中 间 值 的 离 散 程 度 ， 即 都 表 示 变 异 程 度 ， 但 是 两 者 是 有 着 较大 的 区 别 的 。 首 先 要 从 统 计 抽 样 的 方 面 说 起 。 现 实 生 活 或 者 调 查 研 究 中 ， 我 们 常 常 无 法 对 某 类 欲进 行 调

29、 查 的 目 标 群 体 的 所 有 成 员 都 加 以 施 测 ， 而 只 能 够 在 所 有 成 员 （ 即 样 本 ） 中 抽 取 一些 成 员 出 来 进 行 调 查 ， 然 后 利 用 统 计 原 理 和 方 法 对 所 得 数 据 进 行 分 析 ， 分 析 出 来 的 数 据结 果 就 是 样 本 的 结 果 ， 然 后 用 样 本 结 果 推 断 总 体 的 情 况 。 一 个 总 体 可 以 抽 取 出 多 个 样 本 ，所 抽 取 的 样 本 越 多 ， 其 样 本 均 值 就 越 接 近 总 体 数 据 的 平 均 值 。 表 示 的 就 是 样 本 数 据 的 离 散

30、程 度 。 标 准 差 就 是 样 本 平 均 数 方 差 的 开 平 方 ， 标 准 差 通常 是 相 对 于 样 本 数 据 的 平 均 值 而 定 的 ， 通 常 用 MSD 来 表 示 ， 表 示 样 本 某 个 数 据 观 察值 相 距 平 均 值 有 多 远 。 从 这 里 可 以 看 到 ， 标 准 差 受 到 极 值 的 影 响 。 标 准 差 越 小 ， 表 明 数据 越 聚 集 ； 标 准 差 越 大 ， 表 明 数 据 越 离 散 。 标 准 差 的 大 小 因 测 验 而 定 ， 如 果 一 个 测 验 是学 术 测 验 ， 标 准 差 大 ， 表 示 学 生 分 数

31、的 离 散 程 度 大 ， 更 能 够 测 量 出 学 生 的 学 业 水 平 ； 如果 一 个 测 验 测 量 的 是 某 种 心 理 品 质 ， 标 准 差 小 ， 表 明 所 编 写 的 题 目 是 同 质 的 ， 这 时 候 的标 准 差 小 的 更 好 。 标 准 差 与 正 态 分 布 有 密 切 联 系 ： 在 正 态 分 布 中 ， 1 个 标 准 差 等 于 正 态分 布 下 曲 线 的 68.26%的 面 积 ， 1.96 个 标 准 差 等 于 95%的 面 积 。 这 在 测 验 分 数 等 值 上 有重 要 作 用 。 标 准 误表 示 的 是 抽 样 的 误 差 。

32、 因 为 从 一 个 总 体 中 可 以 抽 取 出 无 数 多 种 样 本 ， 每 一 个 样 本 的数 据 都 是 对 总 体 的 数 据 的 估 计 。 标 准 误 代 表 的 就 是 当 前 的 样 本 对 总 体 数 据 的 估 计 ， 标 准误 代 表 的 就 是 样 本 均 数 与 总 体 均 数 的 相 对 误 差 。 标 准 误 是 由 样 本 的 标 准 差 除 以 样 本 容 量的 开 平 方 来 计 算 的 。 从 这 里 可 以 看 到 ， 标 准 误 更 大 的 是 受 到 样 本 容 量 的 影 响 。 样 本 容 量越 大 ， 标 准 误 越 小 ， 那 么 抽

33、 样 误 差 就 越 小 ， 就 表 明 所 抽 取 的 样 本 能 够 较 好 地 代 表 总 体 。 编 辑 本 段 Excel 函 数Excel 中 有 STDEV、 STDEVP;STDEVA,STDEVPA 四 个 函 数 ， 分 别 表 示 样 本 标 准 差 、总 体 标 准 差 ； 包 含 逻 辑 值 运 算 的 样 本 标 准 差 、 包 含 逻 辑 值 运 算 的 总 体 标 准 差 （ excel 用的 是 “标 准 偏 差 ”字 样 ） 。 在 计 算 方 法 上 的 差 异 是 ： 样 本 标 准 差 =（ 样 本 方 差 /(数 据 个 数 -1)2； 总 体 标

34、准 差=（ 总 体 方 差 /(数 据 个 数 )2。 函 数 的 excel 分 解 ： （ 1） stdev（ ） 函 数 可 以 分 解 为 （ 假 设 样 本 数 据 为 A1： E10 这 样 一 个 矩 阵 ） ： stdev(A1： E10)=sqrt(DEVSQ(A1： E10)/(COUNT(A1： E10)-1) （ 2） stdevp（ ） 函 数 可 以 分 解 为 （ 假 设 总 体 数 据 为 A1： E10 这 样 一 个 矩 阵 ） ： stdev(A1： E10)=sqrt(DEVSQ(A1： E10)/(COUNT(A1： E10) 同 样 的 道 理 st

35、deva()与 stdevpa()也 有 同 样 的 分 解 方 法 。 编 辑 本 段 外 汇 术 语标 准 差 指 统 计 上 用 于 衡 量 一 组 数 值 中 某 一 数 值 与 其 平 均 值 差 异 程 度 的 指 标 。 标 准 差被 用 来 评 估 价 格 可 能 的 变 化 或 波 动 程 度 。 标 准 差 越 大 ， 价 格 波 动 的 范 围 就 越 广 ， 股 票等 金 融 工 具 表 现 的 波 动 就 越 大 。 在 excel 中 调 用 函 数 “STDEV“ 估 算 样 本 的 标 准 偏 差 。 标 准 偏 差 反 映 相 对 于 平 均 值 (mean)

36、 的 离 散 程 度 。 编 辑 本 段 样 本 标 准 差在 真 实 世 界 中 ， 除 非 在 某 些 特 殊 情 况 下 ， 不 然 找 到 一 个 总 体 的 真 实 的 标 准 差 是 不 现实 的 。 大 多 数 情 况 下 ， 总 体 标 准 差 是 通 过 随 机 抽 取 一 定 量 的 样 本 并 计 算 样 本 标 准 差 估 计的 。 编 辑 本 段 应 用 实 例选 基 金在 投 资 基 金 上 ， 一 般 人 比 较 重 视 的 是 业 绩 ， 但 往 往 买 进 了 基 金 的 算 法近 期 业 绩 表 现 最 佳 的 基 金 之 后 ， 基 金 表 现 反 而 不

37、 如 预 期 ， 这 是 因 为 所 选 基 金 波 动 度 太 大 ，没 有 稳 定 的 表 现 。 衡 量 基 金 波 动 程 度 的 工 具 就 是 标 准 差 (Standard Deviation)。 标 准 差 是 指 基 金 可 能 的变 动 程 度 。 标 准 差 越 大 ， 基 金 未 来 净 值 可 能 变 动 的 程 度 就 越 大 ， 稳 定 度 就 越 小 ， 风 险 就越 高 。 比 方 说 ， 一 年 期 标 准 差 是 30%的 基 金 ， 表 示 这 类 基 金 的 净 值 在 一 年 内 可 能 上 涨 30%，但 也 可 能 下 跌 30%。 因 此 ，

38、如 果 有 两 只 收 益 率 相 同 的 基 金 ， 投 资 人 应 该 选 择 标 准 差 较 小的 基 金 (承 受 较 小 的 风 险 得 到 相 同 的 收 益 )， 如 果 有 两 只 相 同 标 准 差 的 基 金 ， 则 应 该 选 择收 益 较 高 的 基 金 (承 受 相 同 的 风 险 ， 但 是 收 益 更 高 )。 建 议 投 资 人 同 时 将 收 益 和 风 险 计 入 ，以 此 来 判 断 基 金 。 例 如 ， A 基 金 二 年 期 的 收 益 率 为 36%， 标 准 差 为 18%； B 基 金 二 年期 收 益 率 为 24%， 标 准 差 为 8%，

39、 从 数 据 上 看 ， A 基 金 的 收 益 高 于 B 基 金 ， 但 同 时 风 险也 大 于 B 基 金 。 A 基 金 的 “每 单 位 风 险 收 益 率 “为 2(0.36/0.18)， 而 B 基 金 为 3(0.24/0.08)。因 此 ， 原 先 仅 仅 以 收 益 评 价 是 A 基 金 较 优 ， 但 是 经 过 标 准 差 即 风 险 因 素 调 整 后 ， B 基金 反 而 更 为 优 异 。 另 外 ， 标 准 差 也 可 以 用 来 判 断 基 金 属 性 。 据 晨 星 统 计 ， 今 年 以 来 股 票 基 金 的 平 均 标准 差 为 5.14， 积 配

40、 型 基 金 的 平 均 标 准 差 为 5.04； 保 守 配 置 型 基 金 的 平 均 标 准 差 为4.86； 普 通 债 券 基 金 平 均 标 准 差 为 2.91； 货 币 基 金 平 均 标 准 差 则 为 0.19； 由 此 可 见 ， 越是 积 极 型 的 基 金 ， 标 准 差 越 大 ； 而 如 果 投 资 人 持 有 的 基 金 标 准 差 高 于 平 均 值 ， 则 表 示 风险 较 高 ， 投 资 人 不 妨 在 观 赏 奥 运 比 赛 的 同 时 ， 也 检 视 一 下 手 中 的 基 金 。 股 市 分 析 中股 票 价 格 的 波 动 是 股 票 市 场 风

41、 险 的 表 现 ,因 此 股 票 市 场 风 险 分 析 就 是 对 股 票 市 场 价格 波 动 进 行 分 析 。 波 动 性 代 表 了 未 来 价 格 取 值 的 不 确 定 性 ,这 种 不 确 定 性 一 般 用 方 差 或标 准 差 来 刻 画 (Markowitz,1952)。 下 表 是 中 国 和 美 国 部 分 时 段 的 股 票 统 计 指 标 ,其 中 中 国证 券 市 场 的 数 据 由 “钱 龙 ”软 件 下 载 ,美 国 证 券 市 场 的 数 据 取 自 ECI 的 “World Stock Exchange Data Disk”。 表 2 股 票 统 计

42、指 标 年份 业绩表现 波动率 上证综指 标准普尔指数 上证综指 标准普尔指数1996 110.93 16.46 0.2376 O.0573 1997 -0.13 31.01 O.1188 O.0836 1998 8.94 26.67 O.0565 O.0676 1999 17.24 19.53 O.1512 0.0433 2000 43.86 -10.14 0.097 0.0421 2001 -15.34 -13.04 O.0902 O.0732 2002 -20.82 -23.37 O.0582 O.1091 通 过 计 算 可 以 得 到 ： 上 证 综 指 业 绩 期 望 值 (110

43、.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67 上 证 波 动 率 期 望 值 0.1156 标 准 普 尔 业 绩 期 望 值 6.7214 标 准 普 尔 波 动 率 期 望 值 0.0680 而 标 准 差 的 计 算 公 式 则 根 据 公 分 析 图 2式 (2)计 算 ： 上 证 综 指 的 业 绩 标 准 差 上 证 波 动 率 标 准 差 0.0632 标 准 普 尔 指 数 业 绩 标 准 差 21.71 标 准 普 尔 波 动 率 标 准 差 0.02365 因 为 标 准 差 是 绝 对 值 ， 不 能 通 过 标 准 差 对

44、 中 美 直 接 进 行 对 比 ， 而 变 异 系 数 可 以 直 接比 较 。 计 算 可 得 ： 上 证 业 绩 变 异 系 数 45.2457/20.672 1889 上 证 波 动 率 变 异 系 数 0.0632/0.11560.5467 标 准 普 尔 业 绩 变 异 系 数 21.71/6.72143.2299 标 准 普 尔 波 动 率 变 异 系 数 0.02365/0.06800.3478 通 过 比 较 可 以 看 出 上 证 波 动 率 变 异 系 数 要 大 于 标 准 普 尔 波 动 率 变 异 系 数 ， 说 明 长 期来 讲 中 国 股 市 稳 定 性 相 对

45、 较 差 ， 还 是 一 个 不 太 成 熟 的 股 票 市 场 。 标 准 差 在 确 定 企 业 最 优 资 本 结 构 中 的 应 用资 本 结 构 指 的 是 企 业 各 种 资 金 来 源 的 比 例 关 系 ， 是 企 业 筹 资 活 动 的 结 果 。 最 优 资本 结 构 是 指 能 使 企 业 资 本 成 本 最 低 且 企 业 价 值 最 大 的 资 本 结 构 ； 产 权 比 率 ， 即 借 入 资本 与 自 有 资 本 的 构 成 比 例 ， 是 反 映 企 业 资 本 结 构 的 重 要 变 量 。 企 业 的 资 产 由 债 务 性 资 金和 权 益 性 资 金 组

46、 成 ， 但 其 分 析 图风 险 等 级 和 收 益 率 各 不 相 同 。 根 据 投 资 组 合 理 论 ， 投 资 的 多 样 化 可 以 分 散 掉 一 定 的 风 险 ，因 此 资 金 提 供 者 需 要 决 定 投 资 于 债 务 性 资 金 和 权 益 性 资 金 的 比 例 。 以 便 在 权 衡 风 险 和 收益 的 情 况 下 保 证 其 利 益 的 最 大 化 。 理 论 探 索 而 外 部 资 金 提 供 者 利 益 的 最 大 化 也 就 是 企 业 价 值 的 最 大 化 ， 这 一 投 资 比 例对 于 企 业 融 资 而 言 也 就 是 企 业 的 最 优 资

47、 本 结 构 比 例 。 假 定 某 企 业 的 资 金 通 过 发 行 债 券 和 股 票 两 种 方 式 获 得 ， 并 且 都 属 于 风 险 性 资 产 。 其 中 债 券 的 收 益 率 为 rD， 风 险 通 过 标 准 差 D 来 衡 量 ； 股 票 的 收 益 率 为 rE， 风 险 为E； 股 票 和 债 券 的 相 关 系 数 为 pDE， 协 方 差 为 COV(rD,rE)； 债 券 所 占 的 比 重 为 wD，股 票 所 占 比 重 为 WE(WD + WE = 1)。 根 据 投 资 组 合 理 论 ， 企 业 外 部 投 资 者 对 该 企 业 投 资所 获 的

48、 期 望 收 益 率 为 E(rp) = WDE(rD) + wEE(rE)， 方 差 为 方 差1、 企 业 债 务 性 资 金 和 权 益 性 资 金 完 全 正 相 关 ， 即 相 关 系 数 pDE 为 1。 企 业 外 部 投 资 者获 得 的 期 望 收 益 率 为 E(rp) = wDE(rD) + wEE(rE)， 风 险 标 准 差 为 = wDD + wEE,也就 是 组 合 的 标 准 差 等 于 各 个 部 分 标 准 差 的 加 权 平 均 值 ， 通 过 投 资 组 合 不 可 能 分 散 掉 投资 风 险 。 根 据 投 资 组 合 理 论 ， 投 资 组 合 的

49、 不 同 比 例 对 于 投 资 者 而 言 是 无 差 异 的 。 2、 企 业 债 务 性 资 金 和 权 益 性 资 金 完 全 负 相 关 ， 即 其 相 关 系 数 为 -1。 投 资 者 获 得 的报 酬 率 的 期 望 值 及 其 方 差 分 别 为 。 根 据 投 资 组 合 理 论 ， 只 有 当 投 资 比 例 大 于 E / (D + E)时 其 投 资 组 合 才 是 有 效 的 。 对 于 企 业 筹 资 而 言 ， 也 即 企 业 的 权 益 性 资 金 的 比 例 大 干E / (D + E)， 企 业 的 筹 资 比 例 才 是 有 效 的 ， 而 且 当 组 合 比 例 为 E / (D + E)时 ， 企业 的 筹 资 组 合 风 险 为 零 。 3、 企 业 债 务 性 资 金 和 权 益 性 资 金 的 相 关 系 数 大 于 -1 小 于 1。 理 论 上 ， 一 个 企 业 的两 种 筹 资 方 式 之 间 的 相 关 程 度 较 高 ， 一 方 面 两 种 筹 资 方 式 都 承 担 系 统 风 险 ， 另 一 方 面它 们 也 承 担 相 同