1、几个常用组合数公式 nnnC2210 1112 153142 knkn mnmmn nC 常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如： )!1()!(!432n （利用 !1)(!1nn）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用 mnmnC1递推）如： 4133543 nCC .vi. 构造二项式. 如： nn2220 )()()( 证明：这里构造二项式 nxx211其中 的系数，左边为 22120210 )()(nnnnnnn CCCC ，而右边 nC2四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法. 排除法.捆绑法：在
2、特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题” ，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某 )(nm个元素必相邻的排列有 mA1个.其中 1mn是一个“整体排列” ，而 A则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为 2n21. 有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有 21An.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有 1n.注：区别在于是确定的座位，有 2种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待
3、定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mnA1（插空法） ，当 n m+1m, 即 m 21n时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有nA种， )(nm个元素的全排列有 mA种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作
4、用，即若 n 个元素排成一列，其中 m 个元素次序一定，共有 mnA种排列方法 .例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法） （m+1） （m+2）n = n！/ m！；解法二：（比例分配法） mnA/.平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k 组，每组 n 个，共有 knnAC)1(.例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有 3!24（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将 200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（ !2/108CP）注意：分组与插空综合. 例
5、如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有 mmA/1，当 n m+1 m, 即 m 21n时有意义.隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如： 24321x的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为 4321,显然 12421x，故（ 321,x）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解 ),(y，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 31C
6、.注意：若为非负数解的 x 个数，即用 na,.21中 i等于 1ix，有AaAxn 21321，进而转化为求 a 的正整数解的个数为1nAC.x24定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内，并且都排在某 r 个指定位置则有 rnrA.例如：从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上： 1mn；不在某一位置上： 1mn或 1mnA（一类是不取出特殊元素 a，有 A1，一类是取特殊元素 a，有从 m-1 个位置取一个位置，然后再从 n-1 个元素中取 m-1，这
7、与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都包含在内 。先 C 后 A 策略，排列 rnAC；组合 rknC.ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定某 r 个元素都不包含在内。先 C 后 A 策略，排列 rn；组合 krn.iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列（或组合） ，规定每个排列（或组合）都只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略，排列 ksrnsrAC；组合skrnsrC. II. 排列组合常见解题策略：特殊元素优
8、先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列） ；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.2. 组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，假定其中 r 组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为 rA/（其中 A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以 k.例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为 157/
9、248210AC.若分成六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为 42469非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为 mA例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：358210C种.若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有3458210AC种均匀编号分组：n 个不同元素分成 m 组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为 mr/.例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为324810AC非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为 1nCA21- km)m.(-n1-k21例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为 50380若从 10 人中选出 6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为 12679.
