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1、概率公式整理1随机事件及其概率吸收律： AB)( AB)(反演律： niiA1niiA12概率的定义及其计算 )()(PA若 B)(APB对任意两个事件 A, B, 有 )(B加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()(P )()1)()()()( 211111 nnnkjikjinjijiniini APAPAA 条件概率 BP)(乘法公式 0)( AA)(121 1221 nnnPAP 全概率公式niiAB1)()( )()1iniiBBayes 公式)(Pk)(kni iikkAP1)()3随机变量及其分布分布函数计算 )()()()( aFbaXPbXaP4.维随机变量及其分

2、布二维随机变量( X ,Y )的分布函数xydvufF,(),边缘分布函数与边缘密度函数 xXf),()(dvfyYufF),()(f5. 连续型二维随机变量(1) 区域 G 上的均匀分布， U ( G )其 他,0)(1),(yxyxf(2) 二维正态分布 yxeyxf yyxx,( 221122)()()(21 6. 二维随机变量的条件分布 0)()(),( xffyxf XXYyxY dffdyfxf XX )(),()(xyxyYY)(xfX)(,yfY)(fYX)(fY)(,xfX)(xfyX7. 随机变量的数字特征数学期望随机： 1)(kpxXE连续： df)(X 的方差 )()(

3、 22XEXEDa =b+ a) =b+ED；有 ： X 的 k 阶原点矩 (kX 的 k 阶绝对原点矩 )|XX 的 k 阶中心矩 (kEX ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )lYX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 lkYEX)(X ,Y 的二阶混合原点矩 )(XYEX ,Y 的协方差(X ,Y 的二阶混合中心矩)(),covY)(Y)(21DXD协方差与方差之间有如下关系： Y)）COV(X+)(=Y)）X+COV(3 b,aaba2 = 1 )2()( 2121 是 常 数X ,Y 的相关系数 )()(,covDEEDY随机变量 概率密度 分布函数 期望 方差01 分布 其 他,

4、01)(bxabxf p p(1-p)二项分布 ),(pnB若 P ( A ) = p nkCXkk,1)(其 中 ： * Possion 定理 0limnp有 ,21!)1(likeCknkn np np(1-p)Poisson 分布 )(P,210,!)kekX均匀分布 ),(baU其 他,01)(bxabxf 1,0)(abxF2b)+(a 1)a-(2指数分布 )(E其 他,0)(xexf 0,)(xex1/1/ 2正态分布 N ( , 2) ,21(2)(xf tFd21)(2)( 2*N(0,1)标准正态分布,)(2xex ,2xtex0 1线性代数公式1. 行列式1. 代数余子式

5、的性质：、 和 的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；A2. 代数余子式和余子式的关系： (1)(1)ij ijiji ijiMAM 3. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；副对角行列式：副对角元素的乘积 ；(1)2n、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 和 ：副对角元素的乘积 ； (1)2n、拉普拉斯展开式： 、AOCABB(1)mnOABC:、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值：|E-A|=O4. 证明 的方法：0A、 ；、反证法；、构造齐次方程组 ，证明

6、其有非零解；0Ax、利用秩，证明 ；()rAn、证明 0 是其特征值；2. 矩阵5. 是 阶可逆矩阵：An（是非奇异矩阵）；0（是满秩矩阵）()r的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 有非零解；0x， 总有唯一解；nbRAb与 等价；E可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；是正定矩阵；T的行（列）向量组是 的一组基；nR是 中某两组基的过渡矩阵；nR6. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩： ；*()()110nrAnr、伴随矩阵的特征值： ；*1*(, )AXX 7. 对于 阶矩阵 ： nA、 无条件恒成立； 、*E*1A1*n、 1*111 *()()()TT、 ；*11TBBBA()

7、(TrrA8. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：若 ，则：、 ；12sA 12sA、 ；121sAA、 ；（主对角分块） 、 ；（副对角分块）11OB 11OABBO、 ；（拉普拉斯） 、 ；（拉普拉斯）11ACCB 111CC3. 矩阵的初等变换与线性方程组9. 一个 矩阵 ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： ；mnA rmnEOF10. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、 ，左乘矩阵 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素； 12nAiiA、对调两行或两列，符号 ，且 ，例如： ；(,

8、)Eij1(,)(,)ijEij1、倍乘某行或某列，符号 ，且 ，例如： ；()ik1()()iki 1(0)kk、倍加某行或某列，符号 ,且 ，如： ；()Eijk1()()ijkEijk1(0)k11. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）12. 若 ，则 可逆，且 ；(,)(,)rAEX:A1XA、对矩阵 做初等行变化，当 变为 时， 就变成 ，即： ；BEB1A 1(,),)cBEA、求解线形方程组：对于 个未知数 个方程 ，如果 ，则 可逆，且 ；nxb(,)rbx:1xb13. 矩阵秩的基本性质：、 ；0()mi(,)nrA、 ；T、若 A=B，则 ；()r

9、B、 ；（）()()rr、 ；（）min,ABB、 ；（）ax(),()()Ar、若 、 可逆，则 ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ()()()PArQPA、如果 是 矩阵， 是 矩阵，且 ，则：（）Anns0B、 的列向量全部是齐次方程组 解（转置运算后的结论）；X、 ()rB、若 、 均为 阶方阵，则 ；ABn()()rABrn14. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如 的矩阵：利用二项展开式；0acb； 注： 展开后有01 10()nnnmnnmnaCaCababCab ()nab项；1n、利用特征值和相似对角

10、化：15. 线性方程组： ，其中 为 矩阵，则：Axbn、 与方程的个数相同，即方程组 有 个方程；mAxb、 与方程组的未知数个数相同，方程组 为 元方程；n n16. 线性方程组 的求解：、对增广矩阵 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；B、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；、有解的充要条件： （ 为未知数的个数或维数）(),)rAn4. 向量组的线性相关性、向量组的线性相关、无关 有、无非零解；（齐次线性方程组）0x、向量的线性表出 是否有解；（线性方程组）b、向量组的相互线性表示 是否有解；（矩阵方程）AXB17. 矩阵 与 行向量组等价的充分必要条件是：齐次

11、方程组 和 同解；mnAlB 0AxB18. 维向量线性相关的几何意义：、 线性相关 ；0、 线性相关 坐标成比例或共线（平行）；,、 线性相关 共面；19. 线性相关与无关的两套定理：若 线性相关，则 必线性相关；12,s 121,s若 线性无关，则 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 维向量组 的每个向量上添上 个分量，构成 维向量组 ：rAnrnB若 线性无关，则 也线性无关；反之若 线性相关，则 也线性相关；（向量组的维数加加减减）BBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；20. 向量组 （个数为 ）能由向量组 （个数为 ）线性表示，且 线性无关，则rs rs21

12、. 向量组 能由向量组 线性表示，则 ； A()rA22. 向量组 能由向量组 线性表示 有解；BXB(),)rAB23. 向量组 能由向量组 等价 ()(,rr24. 方阵 可逆 存在有限个初等矩阵 ，使 ；A12,lP 12lP、矩阵行等价： （左乘， 可逆） 与 同解rBA0AxB、矩阵列等价： （右乘， 可逆）；cABQ、矩阵等价： （ 、 可逆）；P25. 对于矩阵 与 ：mnl、若 与 行等价，则 与 的行秩相等；、若 与 行等价，则 与 同解，且 与 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；AB0AxBAB、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵 的行秩等于列秩；26. 齐次方程

13、组 的解一定是 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；0x、 只有零解 只有零解；0x、 有非零解 一定存在非零解；BAB27. 线性相关12,s存在一组不全为 0 的数 ，使得 成立；（定义）12,sk 120skk有非零解，即 有非零解；1212(,)sx 0Ax，系数矩阵的秩小于未知数的个数；12(,)sr28. 设 的矩阵 的秩为 ，则 元齐次线性方程组 的解集 的秩为： ；mnArn0xS()rSnr29. 若 为 的一个解， 为 的一个基础解系，则 线性无关；*xb12,r A*12,r5. 相似矩阵和二次型30. 正交矩阵 或 （定义），性质：TAE1T、 的列向量都是单

14、位向量，且两两正交，即 ；1(,12,)0Tij ijan、若 为正交矩阵，则 也为正交阵，且 ；1TAA、若 、 正交阵，则 也是正交阵AB注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；31. 施密特正交化： 12(,)ra； ;1ba21,b: 1211,rrrr rbabab: :32. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；33. 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；、 与 等价 经过初等变换得到 ； ， 、 可逆； ， 、 同型；ABABPAQ()rAB、 与 合同 ，其中可逆； 与 有相同的正、负惯性指数；TCTxTBx、 与 相似 ；1P、相似一定合同、合同未必相似；34. 若 为正交矩阵，则 ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；CTCAB:35. 为对称阵，则 为二次型矩阵；A36. 元二次型 为正定：nTxA的正惯性指数为 ；n与 合同，即存在可逆矩阵 ，使EC；TC的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于 0；A；(必要条件)0,ia37. 方阵对应的二次型