1、1,第2章 整数规划,例1、集装箱运货,2.1 数学模型,2,解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数,maxZ = 20 X1 + 10 X2,3,一般形式：,整数,4,2.2 整数规划解法,(一)、整数规划的解： 可行域为其相应线性规划问题的可行域的子集(图1),例1、,LP:X=(4.8,0) maxZ=96 ILP:X=(4,1) maxZ=90,(4,1),5,(1)、四舍五入法可估近似解，例中X=(4,0), Z=8080 Z* 960Z*- 8016,(2)、穷举法当100个01变量，计算机，几亿年,6,【例2】求解下面的规划问题： max z= 2x1+ 3x2 x1+x
2、2 4.95 2 x1 + x2 400 x1 0， x2 0 x1,x2都是整数 我们用图解法求解。在图2中，阴影部分是上述规划问题的可行域，其最优点为A（0，4.95），最优值为14.85。图中画“号的点是整数规划的可行点，其最优点为B（0，4），最优值为12。若将A点四舍五入“凑整“为（5，0），则对于原问题而言已不是可行解。,7,由上例可以看出，舍入化整的方法有时是行不通的，对于这一类问题必须进行专门的研究，即整数规划。,8,所谓整数规划，就是在一般的线性规划模型中再加上全部变量或部分变量只能取整数值的要求所得到的一类规划。其中，要求全部的变量都为整数的问题称为纯整数规划（Pure I
3、nteger Programming）或称为全整数规划（All Intger Programming）；而仅要求一部分变量为整数的问题称为混合整数规划。整数规划中的一种特殊情形是0-1规划，它的变数取值仅限于0或1。 显然，整数线性规划的可行解集是相应的线性规划的可行解集的一个子集。很多实际问题都可以归结为整数规划问题，而解整数规划问题通常比解相应的线性规划问题困难得多，因而研究整数规划的问题解法是很有意义的。本章介绍几种基本的解法。,9,分枝定界法割平面法隐枚举法,(二)、常用方法,10,(三)、分枝定界法,基本思路,(B)为(A)的松弛问题。,11,12,maxZ=40X1 + 90X2,
4、例3：,13,解：先解问题(1)的松弛问题,选X1分枝,14,选问题(2)继续分枝,问题(2),问题(3),15,16,分枝定界法一般步骤：,(1)、问题(A), 先解(A)的松弛问题(B),(2)、 (B)无可行解(A)无可行解。 (B)最优解符合(A)要求，停。 (B)最优解不符合(A)要求，转(3)。,(3)、估整数解S0 ，作下界,(4)、选(B)解中不符合整数条件的分量Xj (Xj = bj )分枝，作(B)的后续问题(C)、(D)。(C)： (B）加约束Xj bj (D)：(B)加约束Xj bj +1,17,(6)、全部枝剪完，停,18,优点：,(1)、任何模型均可用；,(2)、思
5、路简单、灵活；,(3)、速度快；,(4)、适合上机。,19,分枝定界法注意事项：,(1)、分枝变量选择原则： 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变 量先分。对目标值升降影响最大。 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。 按使用者经验，对各整数变量排定重要性的优先顺序。,20,(2)、分枝节点选择：, 广探法： 选目标函数当前最大值节点，找到的整数解质量高。慢。, 深探法(后进先出法)：最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。整数解质量可能不高。,21,01问题的分枝定界法（背包问题),松弛问题(B)为,22,解:“单位重量价值大的先放”,23,24,隐枚举法,25,26,(二)、简单隐枚举法(max),原则： (1)、用试探法，求出一个可行解，以它的目标值作为当前最好值Z0 (2)、增加过滤条件Z Z0 (3)、将xi 按ci由小大排列,27,解：观察得解(x1 , x2 , x3 )=(1 ,0 ,0) Z0 =3 过滤条件：3x1 - 2x2+5x3 3 将(x1 x2 x3 ) (x2 x1 x3 ),28,
