1、05/06 学年概率统计试卷 A一、单项选择题(本大题分 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分)1. 设 P(A) = a, P(B) = b, P(AB) = c, 则 P(A )为 ( )B(A) a b; (B) c b; (C) a(1 b); (D) b a.2. 在 1、2、3、4、5 中, 不放回地抽取两个数, 一次一个, 则第二次取到偶数的概率为 ( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .53521033. 设随机变量 X 的概率密度为 , 则常数 A = ( ),0)(xAxf(A) ; (B) 2; (C) 1; (D) 3.214. 对任意随机变量 X,
2、若 E(X)存在,则 E(E(E(X)等于 ( )(A) 0; (B) X ; (C) (E(X)3; (D) E(X).5. 设 X1、X 2、X n 是正态总体 N(, 2)的样本, S 2 为样本方差. 则在下列各式中, 正确的是 ( )(A) 2(n 1); (B) 2(n); (C) 2(n +1); (D) 2(n 1).Sn11SS16. 设总体 X , 其中 已知, 则总体均值 的置信区间长度 l 与置信度 1(00, 求: ,1,arcsin,0)( xaBAxF(1) 常数 A、B; (2) 概率 ; (3) 概率密度 f (x).2aP七、(8 分) 某宿舍有学生 900
3、 人, 每人在傍晚大约有 10%的时间要占用一个水龙头, 设每人需用水龙头与否是相互独立的, 问该宿舍至少需要安装多少水龙头, 才能以 95%以上的概率保证用水需要. ( 已知(1.645) = 0.95, (1.28) = 0.90, (1.96)=0.975).八、(10 分) 设二维随机变量 的联合概率密度为),(YX )1(),(2yxcyf.),(yx求: (1) 常数 c; (2) 落在以(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)为顶点的正方形内的概率 ; (3) 问 与 是否相互,(YX XY独立?九、(8 分) 已知总体 X 的概率密度为 其中未知参数 1.
4、设.,0,1)1()其 它xxf n,21为取自总体 X 的样本, (1) 求 的矩估计量; (2) 求 的最大似然估计量 .南京工程学院(05/06)概率统计试卷(A)解答一、单项选择题(本大题分 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分)1. B ; 2.C ; 3. A ; 4.D ; 5. A ; 6. A.二、填空题(本大题分 5 小题 , 每空 2 分, 共 20 分)1. , ; 2. 0.1, 0.3; 3. 8, 12; 4. , ; 613 )(21n215. , .),(22znXz),1( 22tSXntS三、解: 设 A、B 、C 、D 分别表示元件 a、b、c、d
5、 发生故障, (1 分)则线路中断可表示为 A( BC)D, (2 分)又 P(BC) = P(B) + P(C) P( BC) = , (2 分)所以所求概率为 P A(BC)D p= P(A) + P(BC)D P A(BC)D = p + = .(3 分)(22p42p四、解:设 A1 = 从第一只盒子中取两个红球 , A2 = 从第一只盒子中取一个红球, 一个白球, A3 = 从第一只盒子中取两个白球, B = 从第二只盒子中取一个白球 , 则, (1 分) , (1 分) , (1 分)85)(291CP80)291452CAP83)2943CP由全概率公式得所求概率为+ + (3
6、分)= = . (2 分)/()(11BA )/(22B )/(3AB 17836105 95五、解: X 的取值范围为 3, 4, 5. (1 分) , (1 分) , (1 分)352CXP 0435CXP. (1 分) 所以, X 的分布律为( 1 分)065324CPX 3 4 5Pk 10103106数学期望 EX = = 4.5. (4 分)10653410六、解:(1) 由 (2 分) 得 解得 (2 分)()(,aF,12,BA.1,A(2) = (2 分)= . (1 分)2aXP)( )arcsin1)arcsin(3(3) (2 分)= (1 分)(xFf,012axa七
7、、解:设 X 表示某时刻需占用的水龙头数, 应求出 k 使 P0 X k= 0.95. (2 分) 由中心极限定理知近似服从 N(0, 1), 其中 n = 900, p = 0.1(2 分), 因此有)1(pnP0 X k= (2 分)= = ()1)1()1(0pnkpnXpn 9090kP)9(k10). 由于 (10) 0, 所以, , , k 104.805. (2 分)95.0k645.从而至少需要 105 个水龙头, 才能以 95%以上的概率保证用水需要.八、解: (1) 由 (2 分)得1),(dxyf= = , 故 .(2 分)dydxc221yxcarctnart 12c(
8、2) 所求概率为 (2 分)= = .(1 分)10022dyxP 10102artnrtyx 6(3) 关于 X 的边缘概率密度为 = , (1 分)dyxfX)1()(22)(2(x关于 Y 的边缘概率密度为 = , (1 分)xyfY 1y因为 , 所以 与 相互独立. ( 1 分)(),(fxfyfYX九、解: 总体 X 的数学期望为 = = . (2 分)dxfXE)(01(dx设 为样本均值, 令 , (1 分)解得未知参数 的矩估计量为 .(1 分)nii12 X设 是相应于样本 的样本观测值, 则似然函数为nx,2 nX,1(2 分).,0,(,)()1)( 其 它ixLii 当 (i = 1, 2, , n)时, L 0, 且 , . 令10ix niixnL1l)l(lniixdL1ll, (1 分)解得 的最大似然估计值为 , 从而得 的最大似然估计量lndL niix1l.(1 分)niiX1l
