1、判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。1、若有 a=b 或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则ABC 为等腰三角形。2、若有(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)2=0,则ABC 为等边三角形。3、若有 a2+b2c 2，则ABC 为锐角三角形；若有 a2+b2c 2，则 ABC 为直角三角形；若有 a2+b2c 2，则 ABC 为钝角三角形。4、若有（a 2-b2）（ a2+b2-c2）=0，则ABC 为等腰三角形
2、或直角三角形。5、若有 a=b 且 a2+b2=c2，则ABC 为等腰直角三角形。以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。6、若有 sin2A+sin2B=sin2C 或 sinA=sinB,则ABC 为直角三角形或等腰三角形。7、若有 cosA0，或 tanA0,(其中A 为ABC中的最大角) 则 ABC 为锐角三角形。8、若有 cosA0，或 tanA0,(其中A 为ABC中的最大角), 则 ABC 为钝角三角形。9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如tanA=tanB）,则ABC 为等腰三角形（或等边三角形）。10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如cosA=， b=c,则
3、ABC 为等边三角形。以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质：例 1：若方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有一个相同的根，且 a、b、c 为一个三角形的三条边，则此三角形为（ ）（A） 锐角三角形；（B）钝角三角形；（C）以 c 为斜边的直角三角形；（D）以 a 为斜边的直角三角形；(“缙云杯” 初中数学邀请赛)解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b 2=0,显然ac，否则 b=0，与题设矛盾，故 x= ,将两个方程相加，得 2ax+2cx+2b2=0，x0, 否则 b=0，与题设矛盾，x=-（ a+c），两个方程有一个相同的根， =-（a+c），即
4、 b2+c2=a2，故ABC 是以 a 为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例 2：已知 a、b 、c 是ABC 的三边，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0 没有实数根，试判断ABC 的形状。解：整理原方程，得：（c+b）x 2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：=4a 2-4(c+b)(c-b)=4(a2+b2-c2)0 ，a 2+b2-c20,即 a2+b2c 2,故ABC 是钝角三角形。三、利用根与系数的关系例 3、在ABC 中，a、b 、c 分别为A、B 、C 的对边，已知方程 x2+axcosB-bcosA=0 的两根之和等于两根之积，试判断ABC 的形
5、状。解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得：acosB=bcosA，如图：作 CDAB 于 D，则AD=bcosA，BD=acosB ，AD=BD ，又CD AB，ABC 为等腰三角形。四、利用非负数的性质例 4：已知 a、b 、c 是ABC 的三边，且a3+b3+c3=3abc，求证：ABC 是等边三角形。证明：a 3+b3+c3=3abc，（a+b） 3+c3-3a2b-3ab2-3abc=0，即（a+b+c）（a 2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，a+b+c0，a 2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a 2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即（a-b） 2+（b-c
6、） 2+（c-a ） 2=0，a-b=b-c=c-a=0，故 a=b=c，ABC 是等边三角形。五、利用三角形的面积例 5：设ABC 的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的 9 倍，则ABC 是等边三角形。证明：设ABC 的面积为 S，三个内角平分线交点为0，到一边的距离为 h，三边上的高分别为 ha、h b、h c，由三角形面积公式，得：h a=，h b=，h c=，h=，由已知，ha+hb+hc=9h，即，c（a-b） 2+a（b-c ） 2+b（c-a） 2=0，又 a、b、c 均为正数，（a-b） 2+（b-c） 2+（c-a ） 2=0，a=b=c，故ABC 是等
7、边三角形。例 6、设 P、Q 为线段 BC 上的两定点，且BP=CQ，A 为 BC 外的一个动点，当 A 运动到使BAP=CAQ 时，ABC 是什么三角形？试证明你的结论。（全国初中数学邀请赛）答：ABC 为锐角三角形或钝角三角形。很显然，BP=CQ，BAP=CAQ， ABP 与ACQ 的外接圆是两个等圆，过点 A 作 BC 的垂线 AD，垂足为D， 点 P、Q 为线段 BC 上的两定点，P、Q 两点不可能与点 D 重合，否则两点均与点 D 重合，与题设矛盾。ABP 与ACQ 的外接圆 01 与 02 必相交，故ABC不可能为直角三角形，ABC 为锐角三角形或钝角三角形。六、利用几何知识例 7
8、：ABC 的三条外角平分线相交成一个PQR，则PQR（ ）（A） 一定是直角三角形；（B）一定是锐角三角形；（C）一定是钝角三角形；（D ）以上结论都不对。解：可以证明PQR 的任意一个内角小于 90O，如可证明R90 O，只需证明 +90 O，因为 2=2+3，2=1+2，2+2=1+22+3180 0，所以+ 90 0，故R 90 0，也就是说，R 、P、Q 均为锐角，所以PQR 为锐角三角形。应选（C）七、利用三角函数例 8：在ABC 中，已知：sinAtanB0，那么这个三角形是（ ）（A）直角三角形；（B）锐角三角形；（C）钝角三角形；（D）以上结论都不对。解：因为 sinAtanB
9、0，所以 sinA 和 tanB 异号,又 00A180 0， 00B180 0,所以sinA0，tanB0，所以B 为钝角，故ABC 为钝角三角形。应选（C）八、利用余弦定理例 9：已知一个三角形的三边为 4、5、6，试判断此三角形的形状。解：设最长边 6 所对的角为A，由余弦定理，得：cosA=，所以A90 0，由于A 为最大角，故此三角形为锐角三角形。九、利用正弦、余弦定理例 10：ABC 中，试判断该三角形的形状。解：由已知，得：sinAcosA=sinBcosB（1）,由正弦、余弦定理，得：sinA=，sinB=，（这里，r 为ABC 的外接圆半径）， cosB=，分别代入（1），得
10、：a2b2+a2c2-a4=a2b2+b2c2-b4 即（a 2-b2）（c 2-a2-b2）=0，所以 a2=b2，或 c2=a2+b2 所以 a=b 或 a2+b2=c2故ABC 为等腰三角形或直角三角形。十、利用二次函数性质例 11：设二次函数 y=（a+b）x 2+2cx-（a-b），当时，函数有最小值时，若 a、b、c 为ABC 的三边的长，试判断ABC 的形状。解：因为 a、b 、c 为ABC 的三边的长，所以 a0，b0，c 0，a+b 0，由题意知： ，即 2c=a+b, ,因为 2c=a+b,a=b,故 a=b=c,所以ABC 是等边三角形。例 12:已知 a、b 、c 是锐
11、角ABC 的三条边，且LgsinA-LgsinC=Lg,求证: ABC 是等边三角形。证明:由 ,得由 LgsinA-LgsinC=Lg ,得由正弦定理,得所以所以 b=c;因为所以 c2=ab,可得因为C 为锐角,所以C=60 0,由余弦定理，得 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,故(a-b) 2=0,所以 a=b,故ABC 为等边三角形。例 13：设A、B、C 是ABC 的三个内角，C是锐角，若关于 x 的方程 x2-(2sin C)x+sin A sin B=0 有两个相等的实根，且 4sin2C+4cosC-5=0，求证:ABC 为等边三角形。证明：因为方程 x2-(
12、2sinC)x+sin A sin B=0 有两个相等的实根，所以=（2sinC） 2-4sinAsinB=0，根据正弦定理，得：c 2-ab=0,所以c2=ab,由 4sin2C+4cosC-5=0,得：4(1-cos 2C)+4cosC-5=0, 即：4cos 2C-4cosC+1=0,所以：(2cosC-1) 2=0,所以：cosC=又因为C 为锐角，所以：C=60 0 再根据余弦定理，得：c 2=a2+b2-2abcos600,即 c2=a2+b2-ab,所以 a2+b2-ab=ab,故(a 2-b)2=0,所以 a=b,所以ABC 为等边三角形。综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌握三角形边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目所给的条件与课本所学过的知识点之间的联系，从而正确使用所学知识，以达到解决问题的目的。
