1、1第一章 质点力学1.1 甲乙两人同时观察正在飞行的直升机，甲看到它匀速上升，乙却看到它匀加速下降，这样的现象有吗？答：有，这是由于甲乙所处的参照系不同。1.2 设质点作曲线运动的方程为 在计算质点的速度和加速度时，)(),(tytx有两种方法；（1）先求出 ，再根据 和 求出 和 a2yxrdtr2tra（2）先求出速度和加速度的各分量， ， ， dtxdty 2tx2dty然后再用 及 求出 和 ，你认为哪一种方法正确？为什么？2yx2yxa答：后一种正确，这是因为 代表径向坐标的时间变化率，而并非位移的变化率dtr（也不是位移大小的变化率） ，当然在此基础上的 就不是加速度的大小。2dt
2、r1.3（1）匀速圆周运动的速度和加速度都恒定不变吗？（2）在什么情况下会有法向加速度？在什么情况下会有切向加速度？（3）以一定加速度 ，抛射角 抛出的物体，在轨道上哪一点时的法向加速度最大？0在哪一点时切向加速度最大？答：（1）匀速圆周运动的速度和加速度都在改变（方向变化）（2）速度的方向改变（受力与速度方向不在一条直线上）时会有法向加速度；当有速度方向的分力，速度的大小改变时，会有切向加速度。（3）在运动过程中，物体只受重力作用，在最高点全部重力充当了法向力，这时法向加速度最大。在抛出点和落点位置，重力沿切向的分力最大，此时，切向加速度的数值最大。1.4 有人说：“鸡蛋碰石头，鸡蛋破了，石
3、头无损，说它们受力相等，让人难以置信”，你如何向他们作出正确的解释？答：这是由于两者本身的性能不同，鸡蛋易破，而石头不易破损。21.5 （1）一人从原点出发，25 秒内向东走 30 米，又 10 秒内向南走 10 米，再 15 秒内向西北走 18 米。试求合位移的大小和方向；（2）求每一份位移中的平均速度；求合位移中的平均速度；求全路程的平均速度；（3）位移和路程有何区别？在什么情况下两者相当？平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下两者的量值相当？解1如图 OA 、AB 和 BC 分别是题中三段时间发生的位移所求即为 OC，对此可用多种方法（坐标、几何等）现过 C 点作 X 轴的垂线交 X
4、轴于 D 点，设 BC 交 X 轴于 E 由于 045ABCAE=AB=10m m212108CEABDEBD有10292108mCDAOCO5.7)(2 即方向东偏北 093arctgDrct 09（2）平均速度分别为 方向向东sm/.2151方向向南s/0方向向西北.21583，方向东偏北sm/.357东 09合程路程的平均速率 s/.1608（3）位移是矢量，是位置始点指向末点的矢量，路程是标量，是物体所经历实际路径的长度。在单向直线运动时位移的大小与路程相等。平均速度是矢量，是一段时间的位移与时间之比，而平均速率是标量，是一段时间经过的路程与时间之比。在单向直线运动X东OBCAo45E
5、D3的情况下平均速度的量值与平均速率相等。1.6 质点的运动方程为 ，式中以秒计，以米计。试求：jttir)3(2（1）质点在前 2 秒内的位移；（2）质点在前 2 秒内的平均速度；（3）质点在第 2 秒末的速度？解（1） )(243)4(0 mjijir（2） /(2sjijit（3） )/()3(jijtitdrt它与时间无关，所以在 2 秒末的速度边为 2(sm.质点的运动方程为 ，式中 t 以秒计，r 以米计，试求：jttir)19（）质点的轨道方程；（）质点在到内的位移及平均速度；（3）质点在到内的平均加速度以及 的瞬时加速度。st2解：（1）由题知 219tyx从中消去参数 t 得
6、轨迹方程 2x（2） m72jirmjir142则位移 平均速度 jir)(61 smji/)(62（3） jti4ji182)/22smjtta（ )/42sjdta（则在 t=2s 的瞬时加速度为 a41.8 跳伞运动员的速度为 铅直向下， 为常数，求其加速度。讨论qte1q,时间足够长 时，速度和加速度)(t即 的变化趋势？4解： 方向向下。22)1()1()(qtqtqttqt eeedta 讨论： 时， 0a1.9 一质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 ， ，x26xa2sma/东的单位是 m.质点在 x=0 处的速度为 ，试求质点在任一坐标处的速度值1sm。)( dxtdt
7、a东解： 可变形为26xdxd)62(两边积分 0)(0解之得 32)(1smx/53有1.10 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 的速率行驶，3min 后以190hkm的速率向北偏西 方向行驶，求列车的平均加速度。170hkm03解：据题意画出示意图如右，由图可得速度增量的大小为： 12011 7452379709 hkm.cos则列车的平均加速度大小为： 29460/ta平均加速度的方向确定如下：设其与正北夹角为 ，则有：428.02)cos(12由此可以确定平均加速度的方向与正北的夹角 =130 01.11 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 ，求在下2scmax
8、5列两种情况下质点的运动学方程；出发后 6s 时质点的位置，在此期间所走过的位移及路程。（1）初速度 ；0（2）初速度 的大小为 ，方向与加速度方向相反。19scm解：（1） 由此可解得： =2t022tx ddta东再由 并积分得： ttx从开始到 t = 6s 的时段内，位移为：x=6 2-0=36cm 路程为： s = x = 36cm（2）由题知，初始速度与加速度方向相反，则 0 = -9cms-1 仿（1）有：解得： =2t-9902tdx00 29t txtd东)(由此可得从开始 t=0 到 t=6s 时段内，其位移为：x = 6 2 - 96=-18cm 由 = 2t- 9 知，
9、当 t = 4.5s 时，速度 =0，可见 t = 4.5s 前质点向 X 轴负向运动，t = 4.5s 后质点向 X 轴正向运动，所以从开始到 t = 6s 时段内质点所走的路程为： cmS 55.0).495.(95.4. 222 1.12 一质点作一维运动，其加速度与位移的关系为 ，k 为正常数。已知 t=0 时xa质点瞬时静止于 处，试求质点的运动规律。0x解： 即 此微分方程的通解为kdta2 02kxdt tkBtAtBAx cossinsinco由初条件 t=0 时， 得 B=00tkxcs再由 t=0 时， x=x0 得： A=x06则质点的运动方程为： tkxcos01.13
10、 一质点沿半径为 0.1m 的圆周运动，其角位移 ，式中 的单位为弧度，342tt 的单位是秒，问：在 t=2s 时，此点的法向加速度和切向加速度各是多少？)(a当 角等于多少时，其总加速度和半径成 角？b045解:(a)角速度为 ： ，秒弧 度 /12td角加速度为： 4东t由线量和角量的关系得 t = 2s 时，质点的切向和法向加速度分别为：282104 smtRa 22 4.30)(sn(b)因为切向加速度与半径垂直，法向加速度沿半径方向，要使合加速度与半径成450 角，即切向加速度与法向加速度恰好相等，即 由此可得:ansttRt 5.06/12413即与 t=0.55s 对应的 角为
11、: radt 7.25.0331.14 任意个质点从某一点以同样大小的速率，沿着同一铅直面内不同的方向同时抛出。试证明：（1）在任意时刻这些质点是散处在某一圆周上；（2）各质点彼此的相对速度的方向始终不变。证明：（1）由抛射体的运动方程知：（1） txcos0（2）ingy对不同方向抛出的物体， 是各不相同的，将(2)式变换后得：（3）ttsi2107对（1）与（3）式两边平方相加得：2022)1(tgtyx此等式即为圆的方程。其 圆心：(0， )，半径： 1gttR0不同时刻，其圆周不同（因半径与时间 t 有关） ，但在同一时刻 t ，这些沿不同方向抛出的质点就位于半径为 的同一圆周上。tR
12、0（2）对于任意两个满足上述条件的质点 1 和 2，设其抛射角分别为 1 和 2 ，其速度分量为： gtyx 202202111 sincos那么 1 质点相对于 2 质点的速度分量为：20102010 siniyx由此可得 1 质点相对于 2 质点的速度与 X 轴的夹角 的正切为：212010 cosiincossiinxytg由此可见 1 质点相对于 2 质点的速度与 X 轴的夹角 与时间 t 无关，所以 1 质点相对于 2 质点的速度方向始终不变。又 1、2 是满足上述条件的任意两个质点，所以各质点彼此的相对速度的方向始终不变。1.15 在同一竖直面内的同一水平线上 A、B 两点分别以
13、300、60 0 为抛射角同时抛出两小球（图 1.19） ，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求 A、B 两点的距离。已知小球在 A 点的发射速度 。189smA.解:要求两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，故其最高点位置相同，即： ggBA260in230sin由此可解得 B 点小球的速度为： 107.5/318.96sinsmA由抛出点到最高点所需的时间为: sgtA.08.92/ii00则 A、B 两点间的距离为：8mxBABA 8.2)17.5238.950)6cos30cs( 1.16 抛射体的水平射程为 。东东020,ingS（1）试证如果重力加速度的数值改变无限小的微分量
14、dg，则水平射程就改变无限小的微分量 ds，两者的关系为 。ds（2）在 g 的改变和 s 的改变足够小的情形下，可以认为 ，如果一跳远运动员gs的竟技状态不变，其初速率 与仰角 为一定值；试问如果他在北京 的0 )8.9(2sm跳远记录为 8.00m，那么他在昆明 的记录应该改变多少？是增大了？还)78.9(2smg是减小了？试说明增大或减小的原因。证明：（1）据题意知，式 是变量，其余为常量。 对 求导可得：s中in20 sg由上式就可得：20singd ddgsd)2in/(2in00（2）利用近似关系 可得跳远记录改变为：gs/msg016.80.97由式 可知，重力加速度减小时，水平
15、射程将增大，所以跳远记录增大。 2in01.17 一辆卡车在平直路面上以恒速度 行驶，在此车上抛一个抛体，要求在车130s前进 60m 时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛射体抛出时相对于地面的初速度的大小和方向，空气阻力不计。解：卡车是匀速运动，它可作为惯性参照系。以卡车为惯性参照系，取水平方向为 x 轴，竖直向上为 y 轴正向，据抛体运动的方程9， txcos0201singty知，要抛体仍落会到车上原抛出点，则 x=0 从而 09抛射体从抛出到落会原处所需时间 sgti20从而得 10 8.9362mgs从地面参照系看，抛射体的初速还有随车一起沿水平方向的速度。所以相对于地面，抛射体的初速
16、大小为 1220 6.30. s地方向为与水平夹角 0018639arcsinrcsi东1.18 设物体的运动过程可以用 v-t 图中的折线 ABCD表示出来，如图 1.20 所示：（1） 和 这两线段各表示什么？OABC（2）相应于 线段和 线段的加速度的方向怎样？D（3）面积 OABCD 表示什么？解：（1） 线段代表初速度的大小。OA线段代表在 t1 到 t2 这段时间物体的运动为匀速运动。BC（2） 线段相应地加速度方向与运动方向相同，而 线段相应地加速度方向与运动CD方向相反。（3）面积 OABCD 表示物体运动的路程（位移大小）1.19 如图 1.21 所示，设 ， ，试问：分别当
17、摩擦,20gmAB30gmc10系数 ，或 时，此系统的加速度 及各段绳中张力 T（绳之质量不计） 。05. a解：设 B 与 A 间绳的张力为 T1，A 与 C 间绳子的张力为T2，当 时，对各物体应用牛顿第二定 律得ABCDot1t2图 1.20ABC图 1.2110)1(21amTgCABB对方程组（1）求解便得2948103smgaCBA .NT49102amA721 .当 时，各物体同样应用牛二得：5.amgTCABB21对上方程组求解便得： 268.391032)(5.0)( smaCBA NamgTA 4.1.28.5.61069.211.20 如图 1.22 所示桌上有一质量
18、m=1kg 的板，板上放一质量 M=2kg 的物体，物体和板之间、板和桌面之间的滑动摩擦系数均为 ，静摩擦系数均为.030.（1）以水平力拉板，物体与板一起以加速度 运动，计21sma算物体和板以及和桌面的相互作用力； （2）现在要使板从物体下抽出，须用的力 F 要加到多大？解（1） 、对于物体 M 应用牛二得物 M 与板间的摩擦力方向沿水平方向，.21Naf正压力 方向沿竖直向上的方向。g6.98板相对于桌面滑动，则板与桌面间的相互作用力（动摩擦力）为Mm图 1.2211方向沿水平方向，NgMmf 35.789)21(5.0)(2 正压力 方向沿竖直方向N4.3（2） 、F 较小时，板与物的
19、静摩擦力还较小，板 m 与物 M 无相对运动，当 F 大到一定值时，板 m 就可以从物 M 中抽出，它们之间就有相对运动。因此，当 M 在 m 上将滑而未滑，未滑而即将滑的临界状态时，还可以看成物 M 与板 m 加速度相同。但它们之间的摩擦系数是静摩擦系数 ，这时对于物 M 竖直方向上受力平衡，水平方向上只受板3.0对它的摩擦力 则这状态下的加速度Ngf 8.592 4.8.5smMa受拉力为 NgF 2.168.9)2(5.094.2)1()()( 1.21 如同 1.23 所示，质量为 M 的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角 ，质量为m 的木块与斜面间亦无摩擦。现欲使木块 m 在斜面上
20、（相对斜面）静止不动，问对 M 需作用多大的水平力 F，此时，m 对 M 的正压力为多大？M 与水平面间的正压力为多大？解：设 M 和 m 相对于地面参照物的加速度均为 a。方向与 F 相同对于 M、m 系统 a)(gN1对于 m： sin0coa由式得：M 与 m 间的正压力为： amgNcos将 N 值代入式得： gt将 a 代入式得水平力及 M 和地间的正压力： gmMNgtaMF)(,)(11.22 在图 1.24 所示的装置中，两物体的质量分别为 ，物体与物体间及物体与21m、桌面间的摩擦系数均为 ，求在 F 作用下两物体的加速度及绳内张力（滑轮和绳的质量及轴的摩擦忽略不计，绳不可身
21、长）解：对 m1 进行受力分析，根据牛顿第二定律列方程：mF图 1.2312F图 1.2412水平方向： ， 垂直方向： amfT101gmNgN1对 m2 进行受力分析，根据牛顿第二定律列方程：水平方向： ，垂直方向：afTF210212ggmf )(122联立求解： 212121 3)(mFFfa 2121113gmggfT 1.23 质量为 M 的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面的倾角为 ，在力 F 作用下，一质量 m 的滑块与斜面间无摩擦。求滑块 m 相对于斜面的加速度及其对斜面的正压力。解：对斜面 M 作受力分析如图（a） ，在竖直方向没有运动，对水平方向，若以加速度 a 向左运动则
22、有（据牛顿第二定律） )1(sin1MaNF对滑块 m 作受力分析如图（ b） ，这里 ma 是在斜面这个非惯性系中，引入的惯性力，设m 以加速度 相对于斜面向下运动，则有 )2(cosimg3ncos1am（1） 、 （2） 、 （3）式联立求解可得2sinicoMFmgFa1N 2sinco)(MFga1.24 质量为 m 的摆挂于架上、架固定于小车上，如图 1.25 所示。在如下情况下，求摆线与竖直线所成的夹角 及细线中的张力 T。（1）小车沿水平方向匀速运动；（2）小车以加速度 a 沿水平方向向右运动。解：对摆作受力分析：如图所示：（）由于小车匀速运动，故 mgTTcos0sin图 1
23、.25m13由图可知 所以只有0TmgTsin（）小车以加速度运动)2(cos1iTa由（） ， （）式可解得2gamgat11.25 升降机内有一如图 1.26 所示装置，悬挂的两物体的质量各为 m1、m 2， 且 ，21若不计绳及滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长，当升降机以加速度 a 向下运动时，求两物体相对于升降机的加速度各是多少？绳内的张力是多大？两物体相对于地面的加速度又各是多大？解：取竖直向下为正方向，设 和 相对于升降机的加速度分别为 在升降机上21和要应用牛顿第二定律，必须引入惯性力 （这是由于升降机是非惯性系）东f对 应用牛顿第二定律得 （）22maTg对 应用牛顿第二定律得 （）11又绳不可身长，所以有 （）2a对（） ， （） ， （）式联立求解可得21212 )(mga )(2)(12 agmagT进一步可得 和 相对于地面的加速度分别为21211 )(a 21222 )(a21图 1.26
