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类型正弦定理.docx

  • 上传人:jinchen
  • 文档编号:6930801
  • 上传时间:2019-04-27
  • 格式:DOCX
  • 页数:12
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    1、正弦定理教学设计陕西师范大学附属中学 张 辉一、教学目标分析1、知识与技能:通过对锐角三角形中边与角的关系的探索,发现正弦定理;掌握正弦定理的内容及其证明方法;能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。2、过程与方法:让学生从实际问题出发,结合以前学习过的直角三角形中的边角关系,引导学生不断地观察、比较、分析,采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理,使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用;让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。3、情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,发现并证明正弦定理。从

    2、发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性,让学生体验成功的喜悦,激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力,并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。二、教学重点、难点分析重点:通过对锐角三角形边与角关系的探索,发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点:正弦定理的发现与证明过程;已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。三、教法与学法分析本节课是教材第二章解三角形的第一节,所需主要基础知识有直角三角形的边角关系,三角函数相关知识。在教法上,根据教材的内容和编排的特点,为更有效的突出重点

    3、,突破难点,教学中采用探究式课堂教学模式,首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手,设计恰当的问题情境,将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系,通过学生自己的亲身体验,使学生经历正弦定理的发现过程,激发学生的求知欲,调动学生主动参与的积极性,引导学生尝试运用新知识解决新问题,即在教学过程中,让学生的思维由问题开始,通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践,通过对定理的推导、解读、应用,引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律,形成一般结论。在学法上,采用个人探究、教师讲解,学生讨论相结合的方法,让学生在问题情境中学习,自觉运用观察、类比

    4、、归纳等思想方法,体验数学知识的内在联系,重视学生自主探究,增强学生由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。四、学情分析对于高一的学生来说,已学的平面几何,解直角三角形,三角函数等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。同时,由于学生目前还没有学习平面向量,因此,对于正弦定理的证明方法向量法,本节课没有涉及到。根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的联系,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。五、教学工具多媒体课件六、教学过程创设情境,导入新课兴趣是最好

    5、的老师。如果一节课有个好的开头,那就意味着成功了一半。上课一开始,我先提出问题:工人师傅的一个三角形模型坏了,只剩下如图所示的部分, ,AB的长为 1m,但他不知道 AC 和 BC 的长是多少而无法去截料,你能告诉师傅这两边的长度吗?教师:请大家思考,看看能否用过去所学过的知识解决这个问题?(约 2 分钟思考后学生代表发言)学生活动一:(教师提示)把这个实际问题抽象为数学模型那就是“已知三角形中的两角及夹边,求另外两边的长”,本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程,我们把它习惯上叫解三角形,要求边的长度,过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中,利用勾股定理或三角函数进

    6、行求解,即本题的思路是:“把一般三角形转化为直角三角形”,也就是要“作高”。学生:如图,过点 A 作 BC 边上的高,垂直记作 D然后,首先利用题目中的已知数据求出角 C 的大小,接着把题目中的相关数据和角 C 的值代入上述等式,即可求出 b,即 AC 的值,然后可利用 AC、AB、角 B、角 C 的值和三角函数知识可分别求出 CD 和 BD 的长度,把所求出的 CD 和 BD 的长度相加即可求出 BC 的长度。教师:这位同学的想法和思路非常好,简直是一位天才(同时再一次回顾该同学具体的做法)教师:能否像求 AC 的方法一样对 BC 进行求解呢?学生:可以教师:那么具体应该怎么做呢?学生:过点

    7、 B 向 AC 作高,垂直记作 E,如图:接下来,只需要将相关的数据代入即可求出 BC 的长度教师:总结学生的做法通过作两条高线后,即可把 AC、BC 的长度用已知的边和角表示出来接下来,只需要将题目中的相关数据代入,本题便迎刃而解。定理的发现:教师:如果把本题目中的有关数据变一下,其中 A50 o,B80 o大家又该怎么做呢?学生 1:同样的做法(仍得作高)学生 2:只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度教师:还需要再次作高吗?学生:不用教师:对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边,求其他两边的长”的问 题是否都可以用上述两个等式进行解决呢?学生:可以教师:既然这两个等式适合于任意

    8、的锐角三角形,那么我们只需要记住这两个等式,以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题,直接应用这两个等式并进行代入求值即可。教师:大家看看,这两个等式的形式是否容易记忆呢?学生:不容易教师:能否美化这个形式呢?学生:美化之后可以得到: (定理)教师:锐角三角形中的这个结论,到底表达的是什么意思呢?学生:在锐角三角形中,各边与它所对角的正弦的比相等教师:那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢?那么接下来就让我们分别来验证一下,看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否成立。定理的探索:教师:大家知道,在直角三角形 ABC 中:若则:所以:故:即: 在直角三角形中也成立教师:那么这个等式在

    9、钝角三角形中是否成立,我们又该如何验证呢?请大家思考。学生活动二:验证 在钝角三角形中是否成立教师(提示):要出现 sinA、sinB 的值必须把 A、B 放在直角三角形中即就是要作高(可利用诱导公式将 转化为 )学生:学生可分小组进行完成,最终可由各小组组长汇报本小组的思路和做法。(结论成立)教师:我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立,接下来,用类比的方法对 它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证,结果发现,这个等式对于任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立,那么我们此时能否说:“这个等式对于任意的三角形都成立”呢?学生:可以教师:这就是我们这节课要学习的正弦定理(引出课题)定理的证

    10、明 教师:展示正弦定理的证明过程证明:(1)当三角形是锐角三角形时,过点 A 作 BC 边上的高线,垂直记作 D,过点 B 向 AC 作高,垂直记作 E,如图:同理可得:所以易得(2)当三角形是直角三角形时;在直角三角形 ABC 中:若因为:所以:故:即:(3)当三角形是钝角三角形时(角 C 为钝角)过点 A 作 BC 边上的高线,垂直记作 D故:所以,对于任意的三角形都有 成立。教师:这就是本节课我们学习的正弦定理(给出定理的内容)(解释定理的结构特征)思考:正弦定理可以解决哪类问题呢?学生:在一个等式中可以做到“知三求一”定理的应用教师:接下来,让我们来看看定理的应用(回到刚开始的那个实际

    11、问题,用正弦定理解决)(板书步骤)随堂训练学生:独立完成后汇报结果或快速抢答教师:上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用,其实正弦定理的应用相 当广泛,那么它到底可以解决什么问题呢,这里我送大家四句话:“近测高塔远看山,量天度海只等闲;古有九章勾股法,今看三角正余弦.”以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮)课堂小结:1、知识方面:正弦定理:2、其他方面:过程与方法:发现 推广 猜想 验证 证明(这是一种常用的科学研究问题的思路与方法,希望同学们在今 后的学习中一定要注意这样的一个过程)数学思想:转化与化归、分类讨论、从特殊到一般作业布置:书面作业:P 527 查找并阅读“正弦定理”的其他证明方法(比如“面积法”、“向量法”等)思考、探究:若将随堂训练中的已知条件改为以下几种情况,结果如何?板书设计: 1、定理:板书:例题2、探索:3、证明:4、应用:检测评估:

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