1、2005 年上海市高中数学竞赛试卷（2005 年 3 月 27 日 星期日 上午 8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分，供 60 分）1计算： 95+2i （ 表示虚数单位）0!12!10!i+ii i2设 是某三角形的最大内角，且满足 ，则 可能值构成的集合是sin2 （用列举法表示）9,33一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则 表示的复数是 x12i4如图，正四面体 的棱长为 6 ，在棱 、 上各有一点 、 ，若 ，ABCDcmABCDEF1Acm，则线段
2、 的长为 2CFcmEF235若关于 的方程 至少有一个实根在区间 内，则实数 的取值范围为 x4()50xxa1,2a8.,356 、 、 、 、 是从集合 中任取的 5 个元素（允许重复） ，则 为奇数的概率abcde1,234bcde为 17943257对任意实数 、 ，函数 满足 ，若 ，则对负整数 ，xy()fx()()1fyfxy()fn的表达式 ()fn23n8实数 、 、 满足 ，且 ，记 为 、 、 中最大者，则 的最xyz0xyz221xyzm2xy2zm小值为 12二、 （本题满分 14 分）设 ，求满足下列条件的实数 的值：至少有一个正数 ，使 的定义域和值域2()fx
3、abxab()fxix1 ADE相同解：若 a0，则对每个正数 b， 的定义域和值域都是 ，()fx0,故 a0 满足条件若 a0，则对每个正数 b， 的定义域2()fabxD ，但 的值域 A20,0,x2()faxb0,故 DA，即 a0 不合条件若 a0，则对每个正数 b， 的定义域 D ，2()fxabx0,a由于此时 ，故 的值域为maxff2()fbx,2ba所以，042ba综合所述，a 的值为 0 或4三、 （本题满分 14 分）已知双曲线 （ 、 ）的半焦距为 ，且 是双曲线上任意两点，21xyaba+Rc2bac,PQ为 的中点，当 与 的斜率 、 都存在时，求 的值MPQO
4、MPQkOMOMk解：M 是 PQ 的中点，设 M（x 0，y 0） ，P （x 0，y 0） ，Q（x 0，y 0）于是 0,OPQykxP、Q 都在双曲线上，所以22200220024OMPQbayabxyckxa相 减 得 ： 又由 2215cabc舍 负 根 2OMPQk四、 （本题满分 16 分）设 表示不超过实数 的最大整数求集合 的元素个数xx2|,104,05knkN解：由 21110505kkk， 解 得即当 2222,3, 10505kk 时 或22 21015,1,00k 当 时 能 取 遍 2222222223,4, 1,051134,050431,5kkkn 另 外
5、,当 时 由 于故 即各 不 相 同 ， 这 些 数 有 个注 意 到 就 知 集 合 ,04,50125030kN共 有 个 元 素 .五、 （本题满分 16 分）数列 的通项公式为 ， nf1512nnnf+Z记 ，求所有的正整数 ，使得 能被 8 整除12C+nnnSff nS解：记 51,则1000S511532nniiiini innniiiinCC 注意到 ，可得535,12因此，112135353535S2222nn nnnn Sn+2 除以 8 的余数，完全由 Sn+1、S n 除以 8 的余数确定，故由(*)式可以算出 各项除以 8 的余数依次是1122,3CffnS1,3，0,5，7,0，1,3，它是一个以 6 为周期的数列，从而 3n故当且仅当 38nS时 ，
