1、1第二章 曲面论第二节 曲面的参数方程一、 曲面的参数方程设曲面 是由显式Dyxyxfz ),(),(所表示。设 是曲面 上的点，),(zyx记向量 ，则它们可构成,r一一对应。于是曲面 上的点可以用向量值函数 Dyxyxfyxr ),(),(,(来表示，也可以写为参数形式。),(,yxfzy Dyx),(2一般地，设 ，3),(Rvur其中参数 ，),(vu这里 是 中的一个区域。2R我们称由， ，3),(vur ),(vu所构成的 中点集 为一张参数曲3R面， （即曲面 ，可以表示为参数方程表示的点集。 ）记为 ),(),(: vuvr， （1）把（1）用分量表示出来，就是， （2）),(
2、),(vuzyx ),(vu通常，我们称（1）是曲面 的向量方程，而（2）是曲面 的参数方程。3显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。二、 几个常见曲面的参数方程表示例 1 平面的参数方程设 3000),(Rzyxp是一个固定的点，与),(321aa是自 出发的两个不,b0p平行的向量。这时，由 与 张成b的平面可以用向量方程， 20 ),(Rvuaupr 来表示；4写成分量表示为，vbuax10，y2，z30即方程组，0)(1)(10vbuax，22y330z有非零解 ，),(所以，有。032100 bbaazyx例 2、 圆柱面 222:xy
3、a的参数方程为，(cos,in,)raz其中参数的变化范围是， 。02z5例 3、 球心在坐标原点，半径为的球面 ，a 2222: azyx有参数方程，(sincos,insi,cos)raaa其中参数的变化范围是，0,02参数 的意义，分别表示纬度和,经度，见图所示。例 4、 椭球面 ，1:22czbyax的参数方程表示为 ,cossinax,iiby,cosz这里 ， 。0 20例 5、考虑 平面上的一曲线xOz。:()0,(),xttatb把此曲线绕 轴旋转一周，z6则得一曲面 ，称 为旋转曲面。的参数表示为，()cosxt()in,yt(),zt或 。cos,()sin,()rxtxt
4、zt这里 ， 。02atb例 6、圆曲线 )0()( 222 baazbx 绕 轴旋转所得旋转曲面 称为圆z 环面， 的方程为；)0()( 222 bazbyx 的参数表示为：，cos)(abx，iny sinaz， ；20时曲面上的曲线称为经线，常 数7时曲面上的曲线称为纬常 数线。三、 曲面参数方程表示的几何意义。（曲线坐标）1. 平面到曲面的映射曲面 ， ),(),(:vuzyx ),(vu（2）即映射 ，)(:rr也就是说，任给定一点,代入方程（2）可算得),(0vu上的一点 ，),(000zyxp其中。),(),(),( 000000 vuzvuyvux 当然，不同的参数对可能对应着
5、上的同一点，这时曲面 出现自 交的现象。82. 曲线坐标网用分别平行于 轴和 轴的直线，uv将 分成网格，则在曲面 得到对应的曲线网。实例，切菜条（对菜体面的横切线、竖切） ，切土豆丝（土豆曲面的横切线、竖切） ，撑开的鱼网面上的网线，编织袋曲面上的网线，棉布面上的网线，军事伪装网面上的网线等。现在，令 ，在参数区域0u上，这是一段平行于 轴的直线，v这时，将 代入方程，得出0，),(),(),( 000 vuzvuyvux它是单参数 的方程，对应着曲面上的一段曲线，这类曲线被称为曲面 上的 曲线（因为只有参数v在变化） ，不同的 就对应着v 0u9不同的 曲线，所有的 曲线族就vv覆盖住了曲
6、面 。类似地，若令 ，那么曲面0v上的曲线 ),(),(),( 000 vuzvuyvux称为 上的 曲线（因为只有参数在变化） ，不同的 就对应着u 0v不同的 曲线，所有的 曲线族就uu覆盖住了整个曲面 。一般地说，曲面 上的一点，只有一条 曲线和一条 曲线通过。uv例如说，过曲面 上的点只有 曲线 （即 ）),(0vuru0v0(,)ruv和 曲线 （ ）通过。00(,)r我们说， 是曲面 上的v点 的曲线坐标，以后，我们),(0vur10干脆称 是曲面上的点。),(0vu让我们来看例 2，这时球面上的 曲线的方程是 ，它们是常 数球面上的经线；而球面上的 曲线的方程是 ，它们是球面上的
7、常 数纬线；当常数 属于 时，是北)2,0(纬线；当常数 属于 时，是南纬线。),2(很明显，除了南极和北极两点之外，球面上的其他点只有唯一的一条经线和唯一的一条纬线通过。四、 曲面的切平面和法向量0000(,)(,)(,)(,)ruvxuvyvzuv是曲面 上的 曲线，偏导向量 00000(,)(,)(,)(,)(,)ruvdruvxyzuvvuv11是曲面 上的 曲线 （ ）u0v0(,)ruv的切向量；类似地， 00000(,)(,)(,)(,)(,)ruvdrvxyzuvuv是曲面 上的 曲线 的切0(,)r向量。特别地，偏导向量 0(,)ruv0(,)ruv分别是曲面 上的点 处的0
8、(,)ruv曲线的切向量和 曲线的切向量。uv为了进一步认识这两个向量和几何意义，我们继续开展下面的讨论。设 是 中的一)(),(tvtu段曲线，并设，),(0v12。)(),(000tvtu这一段曲线在映射 之下，变成r曲面 上的一条曲线，它经过 上 的点 ，所以，我们可以),(00vurp直接称 是 上)(,tvt过 这一点的曲线，它的),(00vr向量方程是 ，)(,(tvur对 求导，由链式法则，可得t，)()(tvrturdt 将 代入上式，我们有0t )(,()(| 0000,0 tvuvrtuvrdtrt ，此式表示：曲面 上过点的任何一条曲线，它在),(00vurp处的切向量，
9、都是的线性组合，也就),(),(00, vurvur13是说，曲面 上过点 的),(00vurp任何一条曲线在 处的切),(0线在同一平面上，它就是由这两个向量张成的),(),(00, vurvur平面，当然要设这两个向量不共线。我们把这个平面定义为曲面在处 的切平面，切平),(00vurp面方程为，),()( 00,0 vurvurpr 其中 。2),(R也可以写出切平面方程的一般形式。而把向量 当成曲),()(00, vurvur面 在点 处的一个法向),(00rp量，因此，曲面 在点处有法向量),(00vurp14。),()(00, vurvur法线的方程亦可写出来。法向量的计算公式：，
10、(,)urxyzu，(,)vrxyzvvuvrvxxuzyukji（将此行列式按第一行展开）。kvuyxjvuxzivuzy ),(),(),( 五、 曲面的第一基本量由于 222|sin(,)uvuvuvrrr22222|cos(,)uvuvuvr15，222|()uvuvrrr记 ，2222|()()()uxyzEuuvFr),(zyx),(vzyvx，uyvxuvzuv。2222|()()()vxyzGrvvv我们把 ，称为曲面 的GFE和, 第一基本量。因此，。2|uvrEGF从而 21|uv uvr rEGF是曲面 上的单位法向量，用 来记，即 ；n|uvrn也是曲面 上的单位法向|
11、uvr16量。我们令 。|uvrn六、正则曲面设曲面 的参数方程为，),(),(: vuvr具有一阶连续偏导数，),(vur设 ，若 ，),(0 0(,)|uvuvr则称 为曲面的 上的正则0(,)ruv 点；否则，称为奇点；当曲面 上的所有点都是正则点时，称 为正则曲面。今后，凡是讲到曲面，都是指正则曲面。我们附加“正则”这一条件的原因，在于保证曲面上处处存在着切平面和法向量。17七、举例例 3 求球面 2222: azyx的法向量。解：方法一设 ，2222),( azyxzyxF曲面 ，0,(:法向量： ，),(2,zyxzFyx单位外法向量为 ；),(an方法二：，(sincos,ins,cos)raa，coiin ，(si,sis,0)r所以 ，22Era，0F称为正交曲线网）(,r即 与 正 交，22sinGra得出 ，si22FE18并且 2sin(icos,ins,cos)ra因此，球面的单位法向量是，(sincos,insi,cos)对照球面的参数方程，),(1, zyxazyax上 式这是球面上的点的径向量除以球的半径，正好是球的单位外法向量。
