1、苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 1O 21 x O 21 x O 21 x O 21 x A B C D 2002 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。（1）函数 的最小正周期是（ ） 。xfcos2in)(A. B. C. D. 24（2）圆 的圆心到直线 的距离是（ ） 。1)(2yx xy3A. B. C. 1 D. 13（3）不等式 的解集是（ ）0|)(xA. B. C. D. 0|x1x且 1
2、|x1|x且（4）在 内，使 成立的 x 取值范围为（ ）)2,(cosinA. B. C. D. )45,(),()45,()23,45(),(（5）设集合 ，则（ ）21|12| ZkNZkxMA. B. C. D. NMN（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ） 。A. B. C. D. 43535（7）函数 是奇函数的充要条件是（ ）baxf|)(A.ab=0 B. a+b=0 C. a=b D. 02ba（8）已知 ，则有（ ） 。10yA. B. C. D.)(loga 1)(log0xya 2)(logxya
3、 2)(logxya（9）函数 xA. 在（ ）内单调递增 B. 在（ ）内单调递减,1,C. 在（ ）内单调递增 D. 在（ ）内单调递减1（10） 极坐标方程 与 的图形是（ ） 。 cos（11）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ） 。A.8 种 B. 12 种 C. 16 种 D. 20 种（12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95933亿元，比上年增长 7.3%， ”如果 “ ”期间（2001 年2005 年）每年的国内生产总值都按此年增五十 长率增长，那么到“ ”末，我国国内生产
4、总值约为（ ） 。 五十 A. 115 000 亿元 B. 120 000 亿元 C. 127 000 亿元 . 135 000 亿元二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。（13）椭圆 的一个焦点是（0，2） ，那么 k= 。52kyx（14） 的展开式中 项的系数是 。7)(13x（15）已知 ，则 。),(cosintg（16）已知函数 那 = ,1)(2xf)21(ff)41()31(ff。三. 解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知复数 ，求实数 a,b 使
5、iz2)(2zabz（18） （本小题满分 12 分）设 为等差数列， 为等比数列，nanb，分别求出 及 的前 10 项的和 及 。3423421,babaa10ST苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 2P B A C D 图 1 图 2 图 3 （19） （本小题满分 12 分）四棱锥 的底面是边长为 a 的正方形，PB 面 ABCDABCDP（I）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为 ，求这个四棱锥的体积；60（II）证明无论四棱锥的高怎样变化，面 与面 所成的二面
6、角恒大于 。P90（20） （本小题满分 12 分）设 A、B 是双曲线 上的两点，点 N（1，2）是线段 AB 的中点。12yx（I）求直线 AB 的方程。（II）如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点，那么 A、B 、C、 D 四点是否共圆？为什么？（21） （本小题满分 12 分，附加题满分 4 分） （I）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图 1，图 2）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1、图 2 中，并作简要说明。（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱
7、柱的体积的大小。 （III） （本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分。 ）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3） ，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明。（22） （本小题满分 14 分）已知 ，函数 ；（I）当 b0 时，若对任意 都有0a2)(bxafRx，证明 ；（II）当 b1 时，证明：对任意 ， 的充要条件是1)(xfba2 1,0|)(|xf；（III）当 时，讨论：对任意 ， 的充要条件。b1苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人
8、!成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 3P E B A O C D 2002 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这
9、一步应得的累加分数。四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算 ,每小题 5 分,满分 60 分。（1）C （ 2）A （3）D （4）C （5） B （6）C （7）D （8）D （9）C （10）B （11）B （12）C二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。（13）1 （14）1 008 （15） （16）327三. 解答题（17）本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分 12 分。解：因为 iz2222()(2)()()4()(4)(2)ababiazaiai因为 都是实数，,所以由 得 两式相加，
10、整理得2)(zz)(40862解得： 对应得4,21a2,1b所以，所求实数为 ， 或ba（18）本小题主要考查等差数列，等比数列基础知识，以及运算能力和推理能力。满分 12 分。解：因为 为等差数列， 为等比数列。 nn 2342342,ba已知 得：342342,a33,2b因为 03b1由 知 的公差为,1n8d5290aS由 知 的公比为,13bn 2q或当 时，2q )(321)(010qT当 时，2q )2(31)(010qbT（19）本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分 12 分。（I）解：因为 面 ABCD。 所以 BA 是 PA 在面 ABC
11、D 上的射影PB又 ， 所以ADDAPAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角60PAB而 PB 是四棱锥 的高，PB=ABCatg3603231aV锥（II）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 与 恒为全等三角形。PACD作 ，垂足为 E，连结 EC，则DPAEE90,故 是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的平面角C设 AC 与 DB 相交于点 O，连结 EO，则 aAa2在三角形 AEC 中，ECEC2)(cos 2 0)2)( AEO所以，面 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90 度。PD（20）本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识，以及逻辑推理能力、
12、运算能力和分析解决问题的能力。满分 12 分。解：（I）依题意，可设直线 AB 的方程为 2)1(xky代入 ，整理得 （1）12yx 02)( xk记 ， ，则 是方程(1)的两个不同的根),(1A),(2xB1,所以 ，且0k21k由 N（1，2）是 AB 的中点得： 1)(1x2)2(kk解得 k=1，所以直线 AB 的方程为 y（II）将 k=1 代入方程(1)得 解出032x3,21x由 得 即 A、B 的坐标分别为（-1，0）和（3，4）xy4,021由 CD 垂直平分 AB，得直线 CD 的方程为 即 )(xy代入双曲线方程，整理得： （2）6记 ，D ，以及 CD 的中点为 M
13、（ ）),(3C),(4y0,x则 是方程（2）的两个根，所以4x 164343x苏州分部 邮箱: 至 善 教 育 祝 您 的 孩 子 成 人 !成 才 !成 功 !网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 4从而 ，3)(21430xx 600xy22434| ()CD104)(3243xx1|CM又 |BA22001()()610xy即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等，所以 A、B、C、D 四点共圆。（21）本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分 12 分，附加题 4 分。解：（I）如图 1，沿正三角
14、形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。如图 2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 ，41有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。（II）依上面剪拼的方法，有 锥柱 V推理如下：设给出正三角形纸片的边长为 2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为 1 的正三角形，其面积为 ，现在计算它们的高：4326131() 0326hhtg锥 柱()494Vh锥 柱 锥 柱 0所以 锥柱 （III ） （附加题，满分 4 分）如图 3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这
15、三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分。图 1 图 2 图 3 （22）本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识，以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分 14 分。（I）证：依设，对任意 ，都有Rx1)(xf因为 因为 24)()babxf42ba0,baba2（II）证： 必要性：对任意 ，据此可以推出 即)(1|,10xff)1(f1对任意a|,f因为 b1，可以推出 即 )(bf 1baba2ba2充分性：因为 ，对任意 ，可以推出：1,a,0x 1)(2xxx即 2bxa因为 ，对任意 ，可以推出 即,1, 122)(f综上，当 b1 时，对任意 ， 的充要条件是1,0x1|)(|xf bab2（III ）解：因为 时，对任意 ： ，即,ba,0)(xf；1)(xf即)(f ba，即2)1xxba)(xf1所以，当 时，对任意 ， 的充要条件是0,b,0| 1ba
