1、8 拉普拉斯(Laplace) 定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义 9 在一个 级行列式 中任意选定 行 列 ( )，位于这些行和列nDkn的交点上的 个元素按照原来的次序组成一个 级行列式 ，称为行列式 的2k MD一个 级子式.在 中划去这 行 列后余下的元素按照原来的次序组成的k级行列式 称为 级子式 的余子式.nM从定义立刻看出， 也是 的余子式.所以 和 可以称为 的一对互 余的子式.例 1 在四级行列式 31024D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式 ：M,4的余子式为M.102例 2 在五级行列式 545325121541321aaD中 45342211aM和
2、5413是一对互余的子式.定义 10 设 的 级子式 在 中所在的行、列指标分别是DkMD，则 的余子式 前面加上符号kkjjii,;,2121 后称做 的代数余子式.)()()kkjjii 因为 与 位于行列式 中不同的行和不同的列，所以有下述M引理 行列式 的任一个子式 与它的代数余子式 的乘积中的每一项都DMA是行列式 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理 6(拉普拉斯定理) 设在行列式 中任意取定了 ( )个行.由Dk1n这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式kk.D例 3 利用拉普拉斯定理计算行列式 13024D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理 7 两个 级行列式nnnnaaD 2121121和 nnnbbD 2121122的乘积等于一个 级行列式n,nnnccC 212112其中 是 的第 行元素分别与 的第 列的对应元素乘积之和：ijc1Di2Dj.nkjijijijiij babac121这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章3 中就完全清楚了.
