1、 开方公式的推导一、问题的提出在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事情。一个整数自身相乘以后是比较容易找到原来那个整数的，例如 2 自身相乘 5 次是32，从 32 我们也容易找到 2，但是，如果是 31，30，呢，开 5 次方就不太容易了。自从牛顿发现二项式定理以后，人们知道开方是依据二项式定理展开的。但是，毕竟太麻烦。有没有一个简单的方式或者公式来开方呢？二、一个意外设 A= , ,我们想求 X，即开方 n 次，当：，XnAA = 。 （1）1-我们把右下角标打上了（）的
2、表示我们预设的那个 X，把右下角没有的 X 视，作 A 以后得出的商。，X1-n有三种情况：一，我们取的初始值 与等式右边的 一致时，问题就解决了，例如，X1-n，X32/ =2；，42二，我们取的初始值 偏小，A/ ，例如 45/ =2.81252。 （1）式 A/，1-n，1-n，42= ，于是 ， - = E。例如 1.875-2= 0.125，我们把这个，1-n00X负值-E 分解-E/n 再加回去，就可以调节原来取得偏大的初始值，使之变小。 四，于是我们得到：= +（A/ - ） .，(2)，X1k1nKk（K=0， 1，2，3，4，.。 ）五，我们用（2）式来开方。例如我们开平方，
3、即 n=2。 ,公式：AX= +（A/ - ） .， （3），X1kX12Kk设 A=5。 介于 至 之间，我们可以取初始值5，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.。随便取一个值输入，得出来的都是正确的，一般要求取中间值 2.5.第一步：2.5+（5/2.5-2.5）/2=2.2;( 用其它值也一样，例如 2.8；2.8+（5/2.8-2.8）/2=2.2。第二部：2.2+（5/2.2-2.2）/2=2.23。每一次多取一位数。第三步：2.23+（5/2.23-2.23）/2=2.236.。即 。5236.计算次数与计算精确度成为正比。开 3 次方也一样，即
4、 n=3， ,公式：3AX= +（A/ - ） .。 （4），X1k2Kk1设 A=5， 5 介于 至 之间，我们可以取初始值3，1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都是一样。例如取 1.9。第一步：1.9+（5/ -1.9） /3=1.7。取其它值也是一样，例如取 1.5；1.5+（5/ -29.1 ，25.11.5）/3=1.7.。输入值大于输出值，负反馈；第二步：1.7+（5/ -1.7） /3=1.71;输入值小于输出值，正反馈；，27.第三步：1.71+（5/ -1.71）/3=1.709; 输入值大于输出值，负反馈；1第四步;1.709+(5/
5、-1.709)/3=1.7099.每一步多取一位数。要多精确都可以。，209.如果输入值与输出值一致：289 开平方， 介如 10 的平方至 20 平方之间，我们取 20 为初始值，于是：第一8步 20+（289/20-20 ）/2=17；第二步 17+（289/17-17）/2=17.说明 17 是个精确值。以上方法是作者 1980 年发现的，找到江西师范大学数学系，一位教授看过之后，觉得面熟，将这个公式反推回去，原来是牛顿切线法。但是，他不知道是怎么得出来的。原来这可以用二项式定理推出。牛顿先生三，二项式定理与（2）式巧合设 A= = （5），YXn)(0Cn，0X1-nY，nC2Y2nC
6、，X 是假定值，Y 是误差值。 = ）= +（ A/ - ） .。 （6）1k)(kX1Kk由（6）式得：Y=（ A/ - ） .。 （7），1nKXk我们把（5）式等号右边按照（7）式程序进行：(一)（7）式右端第一步是 A/ ,相当于（5）式中的：，1-nK1-n2210nX.Cnn YYXC=X Y )/ 。 （8），n2(2n，X1-n（二） ， （7）式右端第二步是减去 X,即 A/ - 。1nK，k（8）式右端减去 X 得： Y )/ 。 （9）n1，nC2(Y2nC，X1-n（三） ， （7）式右端第三步是除以 n，即：（A/ - ） 。，X1nKk（9）式除以 n 得：Y )/
7、n 。 （10）C2(，Y2n，1-n（10）式是由（5）式得来的，现在（7）式左端只剩下一个 Y,而（10）式却是多出来一个： )/n 。 （11），n2(X2n，X1-n（11）式就是我们碰到的误差。我们在实际计算中把（11）式不要了。当我们取 X 值偏大，A=(X-Y)；当我们取值偏小是 A=X+Y。四，为什么（2）式是牛顿切线法我们把（2）式展开：= +（A/ - ） .= -（ -A）/（n ）.，1k，1nKk，kXKX1-nK注意：f（x）= -A；Xf”（x） = n 。，1-K即 = - （牛顿切线法，求 X= ，A0, -A -A=0.，X1k）（ ）（ xf)( nAXnK，n牛顿本文的公式作者已经发到(百度网站的 )百度词条：开平方，开立方，立方根， 。但是没有公式的推导过程。作者希望把推导过程通过贵刊发表出来。本文完全符合控制论中的自动控制原理.
