1、关于恰当微分方程解法的探究摘 要：本文首先给出了微分方程的基本概念在此基础上，探讨了恰当微分方程的解法.关键词：恰当微分方程；通解；特解Solving Method of The Proper Differential EquationAbstract： This paper firstly introduces the basic concept of differential equations on such a basis, the paper probes into the solutions of the proper differential equations .Key wor
2、ds：Proper differential equation; general solution; particular solution引言本文结合一些典型的例题，介绍微分方程解的一些基本概念，重点探究了恰当微分方程和可化为恰当微分方程的解法.1.有关微分方程的解的一些概念1.1 解的表示形式定义:设函数 在区间 有直到 阶的导数,如果把 及其相应yxInyx的各阶导数代入方程 能使得该式成立,则函数 , 0Fx 为方程的一个解.xI例 1 试验证函数 tan,2yx是方程 21dyx的解.解 显然 在区间 上可导,把他代入方程后对一切的tany2有,2x.22tansec1tanxx1.
3、 2 通解和特解1 通解我们知道一个重要事实,就是微分方程存在有含有任意常数的解,而且我们看到,解中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,我们把含有任意个常数的解叫方程的通解.例如 为一阶方程 的通解.xycey2 特解如果已求得一微分方程的通解,而欲求满足一个初值条件的特解,往往可以用初值条件去确定通解中的常数从而得到特解.对于一阶微分方程而言,设已知通解为 ,想要求满足初值条件yxc0的特解.为了确定 中的 ,可将 代入得到方程,yxc0yx0,c解出 代入通解中得到c0c即 0,yxc为满足初值条件的特解.2.恰当微分方程2.1 一般恰当微分方程的解法若一阶微分方程0),(),(dyx
4、NyxM1.2的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 dyuxyuyxdyx ),(),(),(则 为恰当微分方程，其中 ， 为某矩形区域上连续且具有1.2),(yxM),(N连续的一阶偏导数那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法 若 为恰当微分方程，则1.2xuM2.1yN)3.(对 ， 分别求关于 ， 的偏导数，有2.1)3.(xyuM2xN2由 ， 的连续性， yMxNyux2故 ，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件下面来讨论 的通解形式1.2由 知. )(),(ydxMu是 的可微函数，下面来求 使 也满足yy3.12Ndyx)(),(由此知 xyM
5、YNdy),()(下证 与 无关即可dxyMN),( 0),(),(),( YMxNdyxyxNdyxMNx所以左边与 无关积分得 dyxMyNy),()(所以 yxdxxu),(),(),(从而，原方程的通解为 CdyxMyNdxyMyxu ),(),(),(为任意常数C例 2 求解方程 0463322dxyx解 由于 ，,yN2,所以 ，xyM12x1因此原方程为恰当微分方程现在求 使其满足u 263xyu324y由 得15.2yxydxu 23263为了确定 对 求关于 的导数y17.2322466yxdyxyu即得 34yd两边积分得 4y所以 423xu从而，原方程的解为 Cy423
6、注 对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程，通过观察可以采用“分项组合”的方法例 3 求解方程 01sinco1cossin1 222 dyxyxdxyy解 原方程可以变形为 01cos1sin 222 ydxxydyxy即 0cossin2ydxyxdy即 01sincoydxydx所以，原方程的通解为 Cyxy1cosin2.2 可化为恰当微分方程的解法对非恰当微分方程我们可引入积分因子将其化为恰当微分方程，从而加以解决.若存在连续的函数 且 使yxu,0,0,dyxNudxM为一恰当微分方程，即存在函数 yv,yxvxxyxu ,则 为原方程 的积分因子yxu,1.2注 这时原方程的解
7、为 Cyxv,下面只对含 的积分因子作寻求yx由微分方程为恰当微分方程的必要条件得 xuNyM即得 xuyu从而有 uyMxNyM若只含有关于 的积分因子，则x0u从而有 NxyMud从而只含有与 有关的积分因子充要条件是x xNyud这里 仅为 的函数所以原方程的一个积分因子为xdxeu同理，可以得到原方程只含有与 有关的积分因子的充要条件是yyMxN这里 仅为 的函数求得原方程的一个积分因子ydyeu例 4 求解方程 0cossinsicodyxxy解 由于 ，xMyNic由此知方程不是恰当微分方程又 1cossinxyxy所以原方程含有与 有关的积分因子 yeu用 乘原方程的两边得yeu0cossinsincodyxyedxy令 yexeyu yyyy sinsi)()si(所以 xeyxexyexy yyy cossisincosinsi 从而 xeyysi2进一步有 xeuysincoin原方程的解为 Cxexyeyysincosin
