1、,第 二 章,点、直线、 平面之间的位置关系,2.1 空间点、 直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面,自主学习 新知突破,生活中有许许多多看似顺理成章的现象值得我们思考，如： 问题1 若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系？ 提示1 在桌面上,问题2 (1)为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚？ (2)照相机、测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？提示2 可固定在同一平面上 问题3 两张纸面相交有几条直线？ 提示3 一条,1了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法 2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系 3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，
2、理解三个公理的地位与作用,平面,无限延展,平行四边形,2倍,虚线,1.直线在平面内的概念 如果直线l上的_都在平面内，就说直线l在平面内，或者说平面_直线l.,所有点,经过,2一些文字语言、数学符号与图形的对应关系,从集合的角度理解点、线、面之间的关系 点、线、面间的关系通常借助集合中的符合语言来表示，点为元素，直线与平面都是点构成的集合，几何中的很多符合规定都是源于将图形视为点集故点与直线之间的关系，点与平面之间的关系用符号，表示，直线与平面之间的关系用，表示,平面的基本性质,两点,此平面内,l,不在同一条直线上,有且只有,公共直线,l且Pl,1公理1的作用：一是用直线检验平面，常被应用于实
3、践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆；二是判断直线是否在平面内，经常被用于立体几何的说理中 2公理2的作用：确定平面；证明点、线共面 公理2中要注意条件“不在一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在一条直线上的四点，不一定有平面因此，要充分重视“不在一条直线上的三点”这一条件的重要性,3公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面 公理3的主要作用是：判定两个平面是否相交；证明共线问题；证明线共点问题,1如图，平面不能用_表示(
4、)A平面 B平面AB C平面AC D平面ABCD 答案： B,2点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为( ) APl BPl CPl DPl 答案： D,3如图，已知ABC的三个顶点都不在平面内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面于点P，Q，R.则P，Q，R三点_解析： 由公理3可知，P，Q，R三点在面与面ABC的交线上 答案： 在同一直线上,4请将以下四图中，看得见的部分用实线描出解析：,合作探究 课堂互动,根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系 (1)点P与直线AB； (2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC； (4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC；
5、 (6)直线AB与平面AC； (7)平面A1B与平面AC.,文字语言、图形语言、符号语言的相互转化,思路探究 用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系，可先后从哪几个方面考虑？,1.三种语言表示的优缺点 (1)文字语言表达严谨清楚，便于揭示所述问题的本质，缺点是复杂冗长 (2)图形语言一目了然，清晰直观，缺点是需要较强的空间想象能力 (3)符号语言，便于书面表示，缺点是直观性差,2三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示 (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意
6、实线和虚线的区别,1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.,已知直线ab，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面,共面问题,思路探究 1直线满足什么条件，就能判断此直线在某平面内？ 2证明多条直线共面的基本方法是什么？,在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内 确定一个平面的方法有：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面 (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线
7、在另一个平面内，再证明两个平面重合,2已知：Al，Bl，Cl，Dl，如图，求证：直线AD，BD，CD共面 证明： 因为直线l与点D可以确定平面， 所以只需证明AD，BD，CD都在平面内 因为Dl，所以l与D可以确定平面. 因为Al，所以A，又D，所以AD(基本性质) 同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线,点共线或线共点的问题,思路探究 1怎样才能说明三点共线？ 2两平面相交有哪些公共点？,点共线的证明方法：证明多点共线通常
8、利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上,3已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示求证：P，Q，R三点共线,如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23. 求证：EF，GH，BD交于一点,思路探究 怎样说明三线共点？,证明三线共点的步骤 (1)首先说明两条直线共面且交于一点 (2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交 (3)得到交线也过此点，从而得到三线共点,4如图所示，在正方体ABCDA1
9、B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点,已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？ 【错解】 A，B，C，D共面， 点A在点B，C，D所确定的平面内 点B，C，D，E四点共面， 点E也在B，C，D所确定的平面内， 点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面,【错因】 在证明共面问题时，必须注意平面是确定的上述错解中，由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础,【正解】 A，B，C，D，E五点不一定共面 (1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面，由题设知A，E，故A，B，C，D，E五点共面于； (2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若Al，El，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面 综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面,高效测评 知能提升,谢谢观看！,
