1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十三讲 闭区间上连续函数的性质,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续
2、的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第九节 闭区间上连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,三. 函数的一致连续性,最大值和最小值定理,设 f (x) C ( a, b ), 则,(i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时,y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,则,则,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y =
3、 f (x),O,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,f (x) 在 a, b 上可取到它的最大值 M 和, f (x)C ( a, b ),故 m f (x) M , xa, b,| f (x) | M* , xa, b,令 M* = max |m|, | M| , 则,即 f (x) 在 a, b 上有界.,最小值 m ,证,二.介值定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f
4、(b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.,设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,如何证明？,定理1,证明的思想方法 区间套法,将区间 a, b 等分为 a, a1 和 a1, b ,在这两个区间中, 选择与 a, b 性质相同的,一个, 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 则选取区间,如此下去, 小区间的长度趋于零, 并且,a1, b, 然后, 对 a1, b 进行等分, 并进行选,择, 又得一个
5、新的小区间.,总保持函数区间端点值反号的性质, 由函数,的连续性, 这些小区间的左端点或右端点构,成的数列的极限值, 就是要求的 (a, b).,f ( ) = C,下面看看, 坐标平移会产生什么效果.,(介值定理),设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.,定理2,令 (x) = f (x) C,故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使,则 (x)C ( a, b ), C 在 A, B 之间, (a) (b) = ( f (a) C )( f (b
6、) C ),= ( A C ) ( B C ) 0,证, ( )= 0, 即 f ( ) = C .,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,a x1 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.,故 至少
7、存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,证,至少有一个不超过 a + b 的正根.,证明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,证,1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a + b 的正根.,定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0.,2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在,综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有一个根,三*. 函数的一致连续性,大数学家魏尔斯特拉斯给我们提供了 一个在闭区间上判别函数一致连续的原则 内闭一致连续性：若函数在区间 I 内连续, 则在区间 I 内 的任何一个闭区间 a, b I 上, 函数是一 致连续的.,谢谢观看！,
