1、一、独立增量过程,二、泊松过程的数学模型,三、维纳过程的数学模型,四、小结,第三节 泊松过程及维纳过程,在互不重叠的区间上,状态的增量是相,一、独立增量过程,互独立的.,特征:,则称增量具有平稳性.,如果增量具有平稳性,那么增量 X(t)-X(s) 的分,布函数只依赖于时间差 t-s,而不依赖于 t 和 s 本身.,当增量具有平稳性时,是齐次的或时齐的.,称相应的独立增量过程,定理 设 X(t),t0是独立增量过程，且X(0)=0，则CX(s, t)=DXmin(s, t),证明：,设0st，,则,同理0t s时，,得证。,1.问题的提出,考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：,(1)自电
2、子管阴极发射的电子到达阳极;,(2)意外事故或意外差错的发生;,(3)要求服务的顾客到达服务站.,二、泊松过程的数学模型,2.问题的分析与求解,将电子、顾客等看作质点,电子到达阳极、,顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.,称为计数过程.,(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性.,泊松资料,一般地可得到,结论,定义 设随机过程N(t), t0 是只取非负整数值的独立增量过程，且满足下列条件： (1) N(0)=0; (2)对任意0s t ，有,称N(t), t0 为强度为的泊松过程。,另一种常用的定义：,例1 设N(t), t0 为强度为的泊松过程，求,解：,泊松过程的数字特征,均值函数
3、,方差函数,泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的,质点数目的期望值.,协方差函数,相关函数,3.与泊松过程有关的随机变量,(1)等待时间,设质点(或事件)依次重复出现的时刻,(2)点间间距,求导可得条件概率密度函数为,结论,定理一,定理二,定理的意义,定理刻画出了泊松过程的特征.要,确定一个计数过程是不是泊松过程,并且服从同一个指数,只要用统计方,方法检验点间间距是否独立,分布.,1.布朗运动简介,英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,三、维纳过程的数学模型,漂浮在平静的液面上的微小粒子,进行着杂乱无章的运动,为微粒的这种运动是由于受到
4、大量随机的、相互,独立的分子碰撞的结果.,观察,发现它们不断地,这种现象称为布朗运动.,认,布朗资料,由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则,碰撞而引起的,因此, 在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.,液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移,的概率分布可以认为只依赖于这时段的长度,而与,观察的起始时刻无关.,2.维纳过程的数学模型,则称此过程为维纳过程.,维纳资料,3.维纳过程的特征,维纳过程增量的分布只与时间差有关,维纳过程是齐次的独立增量过程,其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自,相关函数)所确定.,所以,也是正态过程.,例2 设W(t),t0为维纳过
5、程，求下列随机过程的自相关函数：,解：（1）,四、小结,特征:,1.独立增量过程,2.泊松过程,数学模型,3.维纳过程,布朗运动,在互不重叠的区间上,状态的增量是相互,独立.,增量的概率分布,数字特征,有关的随机变量,数学模型,数字特征,泊松资料,Born: 21 Jun. 1781 in Pithiviers, France Died: 25 Apr. 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,返回,Ernest William Brown,Born: 29 Nov. 1866 in Hull, Yorkshire, England Died: 23 Jul. 1938 in New Haven, Connecticut, USA,布朗资料,返回,Born: 26 Nov. 1894 in Columbia, Missouri, USA Died: 18 Mar. 1964 in Stockholm, Sweden,Norbert Wiener,维纳资料,返回,
