11-闭区间上连续函数的性质.ppt

1、, 一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第十一讲 闭区间上连续函数的性质,授课教师：彭亚新,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求：理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。 了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。,第三章 函数的极限与连续性,第三节 闭区间上连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,最大值和最小值定理,设 f (x) C ( a, b ), 则,(i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时,y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,则,则,(ii) y =

2、 f (x) 为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y = f (x),O,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,二.介值定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f (b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b),

3、 使得 f ( )0.,设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,如何证明？,定理1,证明的思想方法 区间套法,将区间 a, b 等分为 a, a1 和 a1, b ,在这两个区间中, 选择与 a, b 性质相同的,一个, 例如, 若 f (a1) f (b) 0 , 则选取区间,如此下去, 小区间的长度趋于零, 并且,a1, b, 然后, 对 a1, b 进行等分, 并进行选,择, 又得一个新的小区间.,总保持函数区间端点值反号的性质, 由函数,的连续性, 这些小区间的左端点或右端点构,成的数列的极限值, 就是要求的 (a, b).,(介值定理),设 f (x)

4、C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.,定理2,令 (x) = f (x) C,故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使,则 (x)C ( a, b ), C 在 A, B 之间, (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C ),= ( A C ) ( B C ) 0,证, ( )= 0, 即 f ( ) = C .,最大、最小值定理,介值定理,？,引入,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,a x1

5、 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 x1 , xn , 使,证明方程 x5 3x =1在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0,即 方程在 x =1 与 x =2 之间至少有一根.,故 至少存在一个 (1, 2), 使得 f ( ) = 0,至少有一根.,证,至少有一个不超过 a + b 的正根.,证明方程 x = a sin x + b ( a 0, b 0 ),设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,证,1) 如果 f (a + b)0, 则 = a + b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a + b 的正根.,定理, 至少存在一个 ( 0, a + b ), 使得 f ( ) = 0.,2) 如果 f (a + b) 0, 则 f (0) f (a + b) 0, 由根存在,综上所述, 方程在 ( 0, a + b 上至少有一个根,