1、无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第十章,数列与级数,數列：一連串的數，排成一列，就稱為數列，可记作un。 （a）有限數列：有限個數所排成的數列，且有首項有末項，就稱為有限數列。 （b）無限數列：一個數列有首項，沒有末項，稱為無限數列。級數：若un為一數列，則將數列中的各項依次用“+“號連起來所成的式子，就稱為“數列un所定義的級數”，或直接稱它為級數。 （a）有限級數：由有限數列所定義的級數稱為有限級數。 （b）無
2、窮級數：由無限數列所定義的級數稱為無窮級數。,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1)
3、若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,收敛!,发散!,例2 证明调和级数,发散 .,证：假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,例3. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,二、无穷级数的基本性质,性质1. 若级数,收敛于
4、S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,证: 令,则,这说明,收敛 , 其和为 c S .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,则,这说明级数,也收敛, 其和为,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散, 则,必发散.,但若2个级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前
5、面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,例4. 判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散(调和级数),从而原级数发散 .,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,(2),不存在,级数发散,练习 判断级数敛散性:,(1),级数发散,例4.,解: 因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,这说明原级数收敛, 其和为 3 .,解:,思 考,的充要条件是:,*四、柯西审敛原理,定理.,有,证略,例5.,解:,有,利用柯西审敛原理判别级数,当 nN 时,都有,由柯西审敛原理可知, 级数,作业P273 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)；,例3.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,
