1、1.1.2 瞬时速度与导数,函数平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记x=x1x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0).,则当x0时，商 称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x(或x0+x，x0)的平均变化率。,温故知新,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,1.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,4.求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,导入新课：,2.如何精确地刻画运动员在某一时刻的速度呢?,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,3.如何求t=2s的瞬时速度呢？,当t = 0.01时,当t
2、= 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,求t=2s的瞬时速度,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,小结：,2.运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1,当t0时，,1.当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,逼近思想,体现了什么数学思想？,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的
3、瞬时变化率怎样表示?,探 究,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率,称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作,或 , 即,1、导数定义：,注意,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,小结：,试求函数 在x=1处的导数,解：,（2）在x=3处的导数,在x=4处的导数.,变式：,例题,例1：,（1）求 在点x=1处的导数,如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导。这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f /(x). 于是，在区间(a，b)内，f /(x)构成一个新的函数，我们把这个函数
4、称为函数y=f(x)的导函数，记为f /(x)或y /(或 ).,2、导函数（导数）：,前者是一个函数，后者是一个数值。,注意：,例2火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？,解：火箭的运动方程为h(t)=100t gt2，,在t附近的平均变化率为,=100gt gt,当t0时，上式趋近于100gt。 可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。,令h(t)=100gt=0，解得,所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.,例3一正方形铁板在0C时，边长为10cm，加热后铁板会膨胀，当温度为tC时，边长变为10(1+at)cm，a为常数，试求铁
5、板面积对温度的膨胀率。,解：设温度的增量为t，则铁板面积S的增量S=1021+a(t+t)2102(1+at)2=200(a+a2t)t+100a2(t)2.,因此=200(a+a2t)+100a2t.,所以铁板对温度的膨胀率为200(a+a2t).,令t0，得S=200(a+a2t).,练习：质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。,解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，,所以 =2at+at，,当t0时，s=2at，,由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.,函数 y = f (x) 在 x
6、= x0 处的瞬时变化率,称为函数 y = f (x) 在 点 x0 处的导数, 记作,或 , 即,1、导数定义：,注意,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,小结：,如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导。这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f /(x). 于是，在区间(a，b)内，f /(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为f /(x)或y /(或 ).,2、导函数（导数）：,前者是一个函数，后者是一个数值。,注意：,课后练习,P10 练习A 1、2、3、4练习B 1、2作业：练习B 2,
