1、1.1.3瞬时速度与瞬时加速度,江苏省青华中学 徐守高,瞬时变化率,导数,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,放大,放大,平均变化率,一般的，函数 在区间上 的平均变化率为,复习,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,如何求曲线上一点的切线?,(1)概念:曲线的割线和切线,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.,P,Q,o,x,y,y=f(x),(2)如何求割线的斜率?,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,(3)如何求切线的斜率?,例1:已知 ,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.,利 用 割 线 求 切 线,例2:求曲线y=f(x
2、)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,1、先利用直线斜率的定义求出割线线的斜率； 2.求出当x趋近于0时切线的斜率 3、然后利用点斜式求切线方程.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:,课堂练习,拓展研究,二、物理意义瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,新课讲解,平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?,实例:,老师去蹦极,假设老师下降的运动 符合方程 ,请同学们计算 老师从3秒到5秒间的平均速度,如何 计算出在第3秒时的速度,即t=3时的 瞬时速度呢?,(s表示位移,t表示时间),
3、什么是物体运动的瞬时速度？,分析：,当时间t从t0变到t1时，这段时间的平均速度为,5s到6s这段时间内小球的平均速度为,5s到5.1s这段时间内小球的平均速度为,解：我们将时间每次缩短为前面的,当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s， 因此，可以认为t0=5s时的瞬时速度为49m/s。,物理意义：如果小球保持这一时刻的速度进行 运动的话，每秒将要运动49m。,O,X,例2、如图所示，一根质量分布不均匀 的合金棒，长为10m， （单位：m） 表示OX这段棒的长， （单位：kg） 表示OX这段棒的质量，它们满足下列 函数关系：估计该合金棒在 =2m处的线密度。,分析：考虑一段合金棒的
4、平均线密度,注： 一段合金棒的平均线密度就是这段合金棒的质量与这段合金棒长度的比值。,当长度 从 变到 时，这段合金棒的平均线密度为,解：我们将长度每次都缩小为前面的,当长度 趋于 =2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为 =2m处线密度 为0.71kg/m。,物理意义：如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量为0.71kg.,结论：,对于一般的函数 ，在自变量 从 变到的过程中，若设 ， , 则函数的平均变化率为：,当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的 瞬时变化率。,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。,练习1：已知函数 ，求自变量在下列的 变化过程中，函数值的平
5、均变化率：自变量 从1变到1.1自变量 从1变到1.01自变量 从1变到1.001 估计当 =1时，函数值的瞬时变化率是多少？,0.1,0.01,0.001,-0.0909,-0.909,-0.00990,-0.990,-0.000999,-0.999,解：由 ，按照下表求出相应的平均变化率：,练习2：某个物体走过的路程s（单位：m）是时间t（单位:s）的函数： ，通过平均速度估计物体在t=2时刻的瞬时速度。,解：由 我们按照下表计算出相应的平均速度,2.1,2.01,2.001,2.0001,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.41,0.0401,0.004001,0.00040
6、001,4.1,4.01,4.001,4.0001,设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t). 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,这个常数就是物体在t0时刻的瞬时速度.,当t0时，,结论:,小结：,对于一般的函数 ，在自变量 从 变到的过程中，若设 ， , 则函数的平均变化率为：,当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的 瞬时变化率。,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。,二、物理意义瞬时加速度,设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设t秒时的速度为 求t=5秒时轿车的加速度.,( 10 ),小结:,(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用 平均变化率求出割线的斜率,再令 求
7、出切线的斜率,(2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求 出平均速度,再令 ,求出瞬时速度,(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出平均速度,再令 ,求出瞬时加速度.,平均变化率 瞬时变化率,重要结论:,一.导数的概念,由定义求导数（三步法）,步骤:,例1.求y=x2+2在点x=1处的导数,解：,变题.求y=x2+2在点x=a处的导数,二、函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,即,f (x0)与f (x)之间的关系：,当x0(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0)等于 函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f (x)在点x0处的函数值,如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.,例4:已知,解:,
