1、第十一章 理想刚塑性体的平面应变问题,11-1 平面应变问题的基本方程 11-2 滑移线 11-3 滑移线的几何性质 11-4 边界条件 11-5 刚性平头冲模的压入 *11-6 滑移线场的数值解法,引言,前面主要是讨论了塑性力学中的一些简单问题。但是，对许多具有重大实际意义的问题，由于它们的复杂性，要获得准确的解答往往是很困难的。因此，不得不引用某些假设，使问题得到适当的简化，然后找出近似解答。忽略弹性变形，而把材料看成是刚塑性的，这就是从材料方面作的一个简化。当塑性变形可以自由地发展，这种简化是合理的。但在弹性区特别是弹、塑性区交界处的所谓过渡区域内，这样的简化带来的误差就比较大。尽管如此
2、，引用刚塑性假设以后，仍将使很多具有实际意义的问题得到一个很好的近似解。当物体的形状是很长的或两端固定的等截面柱体，而所受载荷与横截面平行且沿长度不变，这就是弹性力学中的平面应变问题。其变形特点是沿长度方向的应变为零，横截面内的应变与长度方向坐标无关。土建、水利中的挡土墙和重力坝等，都是很接近于平面应变问题的。对于理想塑性体，当截荷逐渐加大时，都可到达极限状态，即载荷不变而变形可以不断增长的状态，与极限状态对应的载荷即为塑性极限载荷。从前面的一些例子中可以看出，如果只要求确定塑性极限载荷，则不须从弹性状态到塑性状态一步步地求解，而可以采用刚塑性材料模型直接求解，所得结果与弹塑性结果相同。本章将
3、讨论理想刚塑性体在平面应变条件下的塑性极限载荷以及在塑性区内的应力和变形分布。由于忽略弹性变形，以下所讲的刚性区实际上包括弹性区以及与弹性变形同量级的约束塑性变形区。,111 平面应变问题的基本方程,1应变状态和应力状态图11-1 平面应变 取图111所示平头冲模压入为例，在横截面内取x、y轴，且取z轴垂直于该平面。对于平面应变问题，物体内各点的位移平行于xy平面，且与z无关，即 u =u（x，y） v=v（x，y） w=0 由几何方程应有而 也与z无关，则应变张量为,图11-1 平面应变,(111),z=0 yz=zx = 0,x y xy,（112a）,相应的应变增量和应变率张量为:,(1
4、12b),取,和,，,，,，则有,关于应力分量，根据理想刚塑性体的evyMises本构方程：,或者,就有yz =zx = 0,由z= 0，则得：,S z = 0 即,（113）,（114）,解得,进而可得平均应力为 ：,设,所以，塑性区的应力张量和应力偏张量分别为 ：,由于 ,所以 是主应力之一。如设 , 由材料力学可得另外两个主应力，从而有,yz =zx = 0,z,123,（115）,(116),最大剪应力为 ：,z方向的正应力也等于平均应力。显然在平面应变情况下，每一点的 应力状态相当于平均应力加上纯剪应力，如图112所示。如不考虑平均 应力，则其应力状态相当于纯剪应力状态。,作用于ma
5、x作用面上的正面应力为,2. 基本方程 （1）平衡微分方程讨论即将流动的瞬时，体积力不计，且各量与坐标z无关，则有,图11-2 应力状态,（117）,（2）屈服条件 将主应力表达式代入Tresca和Mises屈服条件， 得出相同形式的屈服条件，即,（118）,式中：按Tresca屈服条件 ；按Mises屈服条件 。,（3）本构关系 按 Levy Mises 本构关系，有,可以化作,（11-9a）,(119b),即,（4）体积不可压缩条件 由于略去弹性变形，材料成为不可压缩的，则有,(1110),基本方程组中的五个式子：（117）、（118）、（119）、（1110）， 并利用边界条件，将决定塑
6、性区内的三个应力分量x、y、xy和两个速度分 量x 、y 。对于理想刚塑性问题，在塑性流动区域中的应力分布一般是唯一 的，与之对应的塑性极限载荷也是唯一的。但速度场则只能确定到一个未定因 子的范围。,112 滑移线1滑移线及其微分方程塑性区内任一点的应力状态，如图113（a）所示，可作图113（b） 所示的应力圆。从图中可见，它可用平均应力与纯剪应力状态 相叠加的 应力状态来表示。平均应力=z= 。 最大剪应力所在平面平行于z轴，且与主平面成 45 的夹角。其上的正应力和切应力则分别为应力圆 上、 点的横坐标和纵坐标所表示。由屈服条件（118）式可知，此应力圆的半径为k，即 。在塑性区内每 一
7、点都能找到一对正交的极值剪应力方向。于是，在塑性区内可以作出两组正交的连续曲线，曲线上每一点的切线即为该点处极值剪应力作用面的法线方向，所以，它们是极值剪应力的方向线，分别称为族及族滑移线。在塑性区内布满了这种正交的滑移线网络，形成滑移线场。 由图113可知，滑移线是极值剪应力 所在面的法线，如取、为右手坐标系，则主应力1应位于、坐标系的第一、三象限，所以，由1方向顺时针转过45就是方向，逆时针转45就是方向，这种关系使得我们很容易通过最大主应力方向确定滑移场方向。角是线的切线方向与x轴的夹角，并规定相对于x轴逆时针转向为正。,图11-3 塑性区一点的应力状态,如图114所示的、族滑移线，其微
8、分方程式分别为,(1111),图11-4 滑移线单元体上的应力,式中=（x ,y），是各点位置的函数。,2. 用滑移线坐标系表示的平衡方程在建立了正交的滑移线网络后，为了今后讨论方便起见，现将上节在 x、y 坐标系中的平衡方程转换到、曲线坐标系中。在该坐标系中的平 均应力与剪应力k，如图114所示。塑性区中由应力圆可得出：,（1112）,因此，求应力分布的问题就变成求角和平均应力的分布问题。,将式（1112）代入平衡方程（117），得,（1113）,这是两个含有未知函数（x、y）及（x、y）的一阶偏导数的非线性微 分方程。可以证明，该方程组属双曲线型，滑移线即为它的特征线，因而可 通过滑移线来
9、求此偏数分方程组的解。,取、作为曲线坐标，如图114所示，并设x、y沿、方向，即以=0 代入式（1113），得,（1114）,式中 是沿、线的导数。因此就有,(1115),其中C和C为常数。沿同一条（或）线，参数C（或C）之值不变， 但由一族中某一条滑移线转移到另一条滑移线时，这些常数一般是要变化的。 式（1115）是在、坐标系中的平衡方程，表示、沿这些线的变化规 律，称为汉基（Hencky）方程,也常被称为塑性方程的积分。它们是塑性理论应 用于压力加工的基本方程。如果已知滑移线场，即已知场的变化，则应用式（1115），可根据某点 b的平均应力去确定场内任意点a的平均应力，如图115所示。显然
10、，滑移线方 向变化越大，平均应力的变化也越大。,图11-5 由b确定a 图11-6 滑移线坐标系中的速度分量,3用滑移线坐标系表示的速度方程,如图116所示，设 、为塑性区内的任意点 O的速度矢量沿滑移线及 方向的速度分量。从而速度矢量沿直角坐标x与y方向的分量x 、y与 、 关系为,（1116）,将上式代入（119a）得,现取x、y沿、方向，即= 0。因 为有限值，所以上式左侧分子应为零， 得,（1117）,（1118）,这就是沿滑移线的速度方程。,顺便指出，滑移线具有刚性性质。由式（119b）可得,如取x、y沿、方向， = =,则有,而由式（1110）有,所以就有,和,即沿滑移线的相对伸长
11、速度为零，表明滑移线具有刚性性质，塑性区的变形 只有沿滑移线方向的剪切流动。如果已知滑移线场，即的变化为已知，则可由式（1118）用差分法求出、 沿滑移线变化的规律。因此，关健也在于如何作出滑移线场。,113 滑移线的几何性质,滑移线场具有某些固有的几何性质，这些性质对求解具体问题很有帮助。,1. Hencky第一定理,现考虑一个以两条线(AP、BQ)和两条线(AB、PQ)为界的曲边四边形A BQP，如图117所示。对于滑移线场中任一结点，存在有,(a),图11-7 Hencky第一定理证明,由（a）式可解出：,(b),对于曲边四边形ABQP则有,沿1两结点角之差：BA=沿2两结点角之差：QP
12、=,上下两式比较，显然有,(c),它说明了同族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的切线间的夹角 不变。,同样可以证明存在有,(d),它说明了同族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的平均应力的改 变是相同的。归纳起来：同一族的两条滑移线与另一族中任一条滑移线在交点处的切线间的 夹角以及平均应力的改变都是相同的。这就是Hencky第一定理。,推论 1: 若一族滑移线某一段为直线，则被另族滑移线截割的所有这族的相应线 段也都是直线，且长度相等。如图118（a）所示。由于族滑移线的直线段AB，在与族滑移线交点A、B处 的切线间夹角为零，由式（c）可知，在A、B处切线间夹角也为零，从而A
13、B、 AB等均为直线。任何曲线的法包线是它的曲率中心的几何轨迹。显然，滑移线AA和BB具有同一 条法包线，如图118（a）。原来的曲线AA和BB可由法包线展开而作出，在画出 曲线BB时，仅比画出曲线AA缩短一个线段AB。所以AB与AB的长度相等。在区域AABB内，沿同一线（直线）上的值不变，故也不变。应力分布仅 沿线改变（因在改变）。这种应力称为简单应力场。图（b）所示的中心场就是 一例。 推论2 若两族滑移线均为直线，则在此区域内的任一点的、值都相同。这样 的滑移场形成均匀应力场，如图119所示。,图11-8,图11-9 均匀应力场 图11-10 Hencky第二定理的证明,2. Henck
14、y第二定理如沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在交点处的曲率半径改 变量，在数值上等于所移动过的距离。如用公式表示则为,（1119）,如、线的曲率半径分别为R、R； 则曲率就为,（e）,这里规定(或)线的曲率中心位于S（或S）增加方向时，曲率半 径为正。反之为负。图1110所示R、R均为正。由于沿着线曲率增 加方向，角增加；而沿着线曲率增加方向，角减少。因此，式（e） 中的两式出现不同的正、负号。考虑由无限接近的、族滑移线所围成的曲边四边形ABQP如图1110。 式（e）可写成,(f),沿线对S计算导数：,(g),另一方面，由图1110中的几何关系来求此导数。在此，研究的是微段弧， 为了便
15、于说明问题，以割线代替切线，从图上可知,由此可得,由（g）式即有,图11-11 应力导数间断与曲率间断,根据Hencky第一定理，是不随S变化 的常数，因而就有,同理可证,这就是Hencky第二定理。,为了数值计算方便，将式（1119）写成： 沿线 dR + dS = 0 沿线 dR+ dS = 0,由于dS和dS可分别以Rd以及（Rd）来代替，故上式可写成,（1120）,用式（1120）来确定、滑移线的形状，也是比较方便的。,推论 若应力分量对(或)的导数在通过(或) 线时发生间断 (不连接），则(或)线在通过(或)线处的曲率也将发生间断。式（1114）第一式为,或写作,而 为线的曲率。因此
16、，如沿线的应力导数 在某点处间 断，则该点的曲率 亦发生间断。这说明应力导数的不连续性只能在跨 过另一族滑移线时发生，并且体现在曲率的不连续性上，如图1111所示， A点以左R=，而A点以右R为有限值，而这咱变化是在跨过一条线时 发生的,至此，我们得到了沿滑移线的应力、速度和曲率半径的三组方程，为 今后应用方便，将它们归纳如下：,（1121）,11.4 边界条件,以上已将基本方程变换成沿滑移线的方程，因此边界条件也要作相应的变换。1给定边界上的应力确定和 在塑性区内各点的应力满足屈服条件，因此，由边界应力n、n（图1112）所作应力圆的半径为k。但是，通过(n、n)点所作半径为k的应力圆有两个
17、，因而与边界面垂直的截面上的应力t有两个值，如图1113所示。t的确定必须从问题的整体来考虑。例如一个张角为2r90的平面应变无限楔体，图1114（a），在AB边上作用有均匀压力p, AC边为自由边界。考虑AC边上任一点e，已知n =n = 0，由屈服条件得t =2k，据此可作两个应力圆，如图1114（b）。根据楔体受力后的变形分析，AC边受压，应取t =2k，即取左边的应力圆。d点的平均应力。,图11-14 从问题的整体考虑确定,应力圆确定后，即确定了主应力，边界上的、线也就可以确定了。 下面讨论用数学公式表示边界条件。设物体表面上任一点的外法线n与x轴的夹角为，如图1112所示，则该点的应
18、力n和n可由应力分量x 、y和xy表示为,(a),在塑性区内有:,将式(b)代入式(a)，则有,(b),(c),上式即为塑性区的边界条件 ,如果边界上给定n 、n，则可求得边界处沿滑移线的平均应力以及值，由上式可得,（11-22）,式中， 的取主值。m为任意正、负整数或零，可从角的选取中确定。上式说明，对应于给定的n 、n，和并不是唯一的，还需根据具体问题来正确选取。例如，可以根据边界各点的切向正应力t的性质来确定，因为平均应力为 所以有t=2n （1123） 当t的正负号可以判断时，由式（1123）就能确定的正负号，进而确定式（1122）中的正负号。或者，由最大主应力1的方向来确定方向，即决
19、定角。,下面讨论两种特殊情况： 光滑接触表面。边界上n 0，而n = 0，即边界面为主平面之一。由（1122）式得如取m = 0，则，即滑移线与边界成45夹角。在边界为直线时，滑移线场如图1115。 接触表面的摩擦力达到变形金属的物理性质所能允许的最大值，即边界上的n = k。边界面即为极值剪力作用面，因此，在这种情况下，一族滑移线与边界成90，另一族则与边界线有公切或以边界线为其包络线。当边界线为直线时，滑移线场如图1116所示。,上面讨论的是两种极端情况，对于其它情况，即0nk时，滑移线与边界的夹角值介于上述两者之间。,2刚塑性区交界线 如果不计整体的刚体位移，可以认为在刚性区内速度 ，而
20、在塑性区内 不能全为零，所以，在刚塑性区交界线上必有速度间断，可以证明：速度间断面必为滑移线或滑移线族的包络线。,3两个塑性区的交界线,如果两个塑性区的交界线L不是滑移线，图1117，则和通过时要发生间断。这种间断相当于通过一点有两个不同的应力圆，参看图1113，即法向应力n 、n连续，而切向正应力t间断，其值为 如图11-18所示同时，由应力圆上转角的关系可知L与两边滑移线的夹角必相等，即图11-17中所示的 + =,115 刚性平头冲模的压入,现讨论宽为2b、长为l的条形刚性平头冲模以速度v压入塑性介质（半无限平面）时，在极限状态下介质的塑性流动问题。如图1119（a）所示，介质内各点处于
21、平面应变状态。,假设冲头与平面间的接触表面光滑，冲头对介质的压力p均匀分布。于是，AB为光滑的直线边界，而AE、BF为直线的自由边界。图1119（a）所示为Hill提出的滑移线场 .,由弹性力学知，A、B两点可能因应力集中产生很大应力而首先进入屈服，如图1119（b）。随着外力的增加，塑性区由A、B两点逐渐扩展，最终连成一体而发生塑性流动，由此可构造出图示的滑移线场。在开始流动的瞬间，冲头以速度v向下移动，此时的载荷即为极限载荷。,1滑移线场,由于问题的对称性，可只讨论右半边。在边界AE上，n =y= 0，n=xy= 0。根据上节对第一种特殊情况的讨论可知，滑移线为直线，且与AE边界成45夹角
22、。同理，在边界AO上，因为，n =y= p，n=xy= 0，滑移线也为直线，且与AO边界成45夹角。 在ACD区内，AC和AD为直线且互相垂直。现考察它们是同族滑移线，还是异族滑移线。若为同族滑移线，则由于A为应力奇点，AC与AD为直线，将构成夹角为90的中心场（中心扇形区）ACD；若为异族，则根据Hencky第一定理，该区滑移线均匀直线，形成均匀应力场。这就要求图1119（a）中的A点与O点的应力相同，这是不可能的。因为O点位于AOC区，A点位于ADE区，两个区域受力不同，区内的平均应力显然不同。所以，AC与AD 只可能为同族滑移线，而ACD 为中心扇形区。,确定两族滑移线：在ADE区内，取
23、单元a进行分析，如图1119（c），当介质发生流动时，单元a沿着滑移线往AE边界挤出，将受到图示方向的剪应力k作用，据此可确定及线。,2. 塑性区应力分布与极限载荷,AED区域：该区为均匀应力区，取边界上的E点进行分析。已知 ，E点的应力状态如图1120所示。 ,于是由屈服条件：得t=x=2k。因位于、线第一、三象限的主应力n=0是最大主应力，故t应为负值，即t=-2k。由此可得E点的平均应力为这也就是AED区域内任一点的平均应力值。,ACD区域：该区为中心扇形区，平均应力只沿线变化，沿线不变。取任一点Q进行分析。由方程（1115）第一式有,即,由此可见，只要知道Q点的位置，确定了就可求得Q，
24、再利用（1112）式求出该点的应力分量x、y和xy。,AOC区域：该区为均匀应力区。以O点为研究对象，已知，则沿线有,即,确定极限载荷P：冲头下任一点（如O点）沿y方向的应力为,得出,已知冲头宽度为2b，则单位长度的极限载荷为,3. 速度场已知沿AB边界 ；沿刚、塑性分界线OCDE要求法向速度连续，所以 。AOC区：已知 ，由式（1118）沿线有所以,即,AOC区域为均匀速度场。式中常数可由边界条件确定。在AB边界上 ，要求法向速度连续， 故有 即为 ACD区：该区内 。沿线有 即 所以 由AOC和ACD交界线上的速度值可知，在ACD区也有,AED区：同样可得 ， . 至此，塑性区内各点的速度
25、已全部求得。沿线 ；沿线 已知冲头长度为l，冲头下压时单位时间内压下的体积为 V=2bl 在AE、BF边界上，由于沿DE、GF的速度为 ，因而向上的垂直分量为。AE、BF的长度均为b，因而被挤出的材料体积为 V=2bl 所以有 V= V 符合体积不可压缩的假设。,本例除以上讨论的Hill解外，尚有Prandtl解。这个解相当于把原来的塑性区域加以扩充，如图1121。显然，AOC1D1E1中的应力分布仍和Hill解一样，所对应的极限压力p和极限载荷P也不变，它和Hill解的最大差别在于速度分布不同。如图1121，沿AB上各点的不再需要等于零，而等于 。这样可以定出 。在AD1E1区，由于法向速度
26、 = 0，因此，可得到沿AE1向上的速度分量为 ，比Hill解小一半，但体积不可压缩条件仍然满足，因为与Hill解相比，AE1 = 2AE，即向上移动的面积增大了一倍。,4Prandtl解,由上面两种解答可见，极限载荷是唯一的，而速度分布有差异。 对于实际的弹塑性介质变形情况，如图1122所示。图中EDCOHGF为塑性流动区，阴影区为约束塑性变形区，EIF下面的是弹性区。,116 滑移线场的数值解法,从理论上讲，有了方程式和边界条件，就可求出塑性区内的滑移线网和应力、速度分布。实际上只有少数边值问题才有这样的分析解。对于比较复杂的问题，一般是利用滑移线的几何性质，采用数值计算方法加以解决。下面
27、介绍一种差分方法，它是根据给定的边界数值，用有限差分法推算滑移线网络上各点的坐标，算出各点的参数，进而求出各点的应力。,在力给定边界附近的塑性区，滑移线场大致可以分为以下三种情况。,1第一类边值问题Rieman问题,图11-23 第一类边值问题给定的边界为两条正交的滑移线，如图1123，OE和OF分别为线和线，其上的和值为已知。为了决定EOF附近的滑移线场，今研究一个小单元体OACB。根据Hencky第一定理，应有(a)上式右侧为已知的边界值，从而可以算出。取微线段BC的平均斜度为 ，将滑移线的微分方程 改写成有限差分形式，则为(b) 同样地，因AC为线，其微分方程为 ，则有,(c),由式(a
28、)、 (b)、(c)可以计算C 、xC、 yC值。用同样的方法，按图上箭头所指的顺序逐步计算，就可以确定OEDF内滑移线结点的位置及值。在滑移线场确定以后，就可以根据边界上的应力值确定场内各点的应力值。,2. 第二类边值问题Cauchy问题,给定的边界为一条不与滑移线重合的曲线，如图1124所示。设AB即为已知应力的边界，它与两族滑移线相交。既然AB的形状和它上面的应力是已知的，则根据边界条件，由式（1122）可以确定其上各点的和。对于AB附近的任一单元ACD，由式（1115）应有因为A、A、D、D是已知的，则由式（d）就可算出C和C。利用已知的C，可以类似于式(b)和(c)用差分的方法计算C
29、点的坐标xC和yC。用这样的方法就可算出边界附近各点的值，依此类推，就可以算出整个AEB内各点的应力。,(a),3. 混合问题,在此，给定的两条边界，一条与滑移线重合，另一条不与滑移线重合，如图1125所示，OA为滑移线，OB为只给定的曲线。在OA上近O 点处取一点D，设过D点的线与OB的交点为C。为了确定C点位置，可以采用逐次逼近的方法。,具体作法：先由D作OD的垂线交OB于C，它就是C点的第一次近似；然后过D点再作与x轴夹角为 的直线交OB于C，它是C点的第二次近似；重复这一步骤，直到前后两次近似的差满足计算精度的要求为止。DC线确定以后，CDEF区域就是Rieman问题，按其方法求解。重复上面的步骤可以确定G点，而GEHI区域又是Rieman问题。如此反复求解下去，最后就可作出AOB内的滑移线场。 上述求解方法是假定OB与OA在O点具有相同的值。如果两者的值不同，那么O点就会有一个奇点，在此不再讨论。,
