1、第十九章,结构的动力计算,19-1 动力计算的特点和动力自由度,一、动力计算的特点,“静力荷载”：大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。,“动力荷载”：大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,简谐荷载（按正余弦规律变化）,一般周期荷载,二、动力荷载分类 （变化规律及其作用特点),1）周期荷载：随时间作周期性变化。,3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）,tr,P,tr,P,三、动力
2、计算中体系的自由度,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数,2个自由度,2个自由度,自由度与质量数不一定相等,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,单自由度体系,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,无限自由度体系,2、广义座标法：,如简支梁的变形曲线用三角级数来表示,a1， a2，
3、an,其中：i（x）是自动满足位移边界条件的函数结合中任意选取的n个函数。,3、有限单元法：,将杆件分为若干个单元,19-2 单自由度体系的自由振动,自由振动：没有动荷载的作用。,要解决的问题包括：,建立运动方程、计算自振频率、周期等,一、运动微分方程的建立,方法：达朗伯尔原理,应用条件：微幅振动,1、 刚度法：,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,I(t),重力 W,弹性力,恒与位移反向,惯性力,与加速度反向,惯性力,(a),其中 kyj=W 及,上式可以简化为,或,由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法
4、。,2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。,可得与 (b) 相同的方程,刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。,二、自由振动微分方程的解,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2由初始条件确定,设 t=0 时,（d）式可以写成,由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令,(e)式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定,振幅,相位角,三、结构的自振周期和频率,由式,及图可见位移方程是一个周期函数。,周期,工程频率,圆频率,计算频率和周期的几种形式,例1. 计算图示
5、结构的频率和周期。,例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。,例3.计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡,四、简谐自由振动的特性,由式,可得加速度为：,在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动.,它们的幅值产生于,时，其值分别为：,既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程.,惯性力为：,例4. 计算图示体系的自振频率。,解：单自由度体系， 以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：,建立力矩平衡方程,化简后得,19-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性
6、力ky、惯性力,和荷载P(t)之间的平衡方程为:,单自由度体系强迫 振动的微分方程,一、动荷载为简谐荷载,特解：,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,重要的特性： 当/0时,1 当01，并且随/的增大而增大。 当/ 1时,。振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,当/ 1时,的
7、绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,例：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。,解：1)求,2)求,3)求ymax， Mmax,例、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4，截面系数W=534cm3，E=2.1104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长l=4m） 解：1）求自振频率和荷载频率,
8、I22b,3570cm4,3570,39.7,对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。,325,2）求动力系数,175.6MPa,必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质 点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由 度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。,39.7,1.35,149.2,设体系在t=0时静止，然后有瞬时冲量S作用。,二、外荷载为一般荷载,1、瞬时冲量的动力反应,瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。 由动量定理：,2、任意荷载P(t)的动力反应,时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:,初始静止状态的单
9、自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel 积分)（15.29）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种典型荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=P0=P0 /m2,2）短时荷载,阶段(0tu)：与突加荷载相同。,阶段(tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0t u,当t u,1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段,2）当u T/2 最大动位移发生在阶段,动力系数反应谱 (与T和u之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力
10、反应同样可由Duhamel积分来求解:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。 如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。 常取外包虚线作为设计的依据。,19-5 多自由度体系的自由振动,一、刚度法,（1）两个自由度体系,m1,m2,两自由度体系自由振动微分方程,设解为,=常数,当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令,特征方程 频率方程,1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；,2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。,（1）
11、主振型,（2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；,m1,m2,最小圆频率称为第一(基本)圆频率：,第二圆频率,例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。,m1,m2,k1,k2,（3）一般振动,两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动,多自由度体系自由振动的振型分解,解：（1）求频率方程中的刚度系数,k11=k1+k2,k12=k21=-k2,k22=k2,（2）求频率,代公式,若有,（3）求主振型,第1振型,第2振型,二、 柔度法,设解为,在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、
12、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。,此时惯性力,幅值,主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。,当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全为零的解，令,令,主振型,例9. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,三、主振型及主振型的正交性,整理得：,因 ，则存在：,两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。,由功的互等定理：,上式分别乘以12、22，则得：,第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；,某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；,各个主振型能单独存在，而不相互干扰。,惯性力,
