1、集合与图 Sets and Graphs,http:/ 乔海燕 ,课程安排,课程安排：4节/周，包括习题课； 考核要求：按时上课，按时完成作业； 成绩评定：平时成绩（课堂参与+作业+期中）40% + 期末60% 教材和参考书目： 离散数学屈婉玲等 ，高教出版社，2008 图论与代数结构戴一奇，清华大学出版社, 2005 课程主页: http:/ 集合的概念，集合的运算，集合的计数； 关系的概念，关系的运算，关系的性质，等价关系和偏序关系； 函数的概念，函数的复合，函数的逆； 自然数集的定义，归纳集合的概念，集合的势 图论 图的基本概念和定理，图的基本算法,集合的概念,集合与元素 集合（sets
2、）是由一些可相互区分的客观对象汇集在一 起构成的一个整体。这些对象称为构成集合的元素(elements or members)。 例： 所有自然数构成的集合 在座全班同学构成的集合所有偶数构成的集合1至10自然数构成的集合介于0和1之间的实数的集合,集合的表示,集合的命名常用大写字母A,B,C等表示集合，小写字母a,b,c,x,y,z等表示集合的元素.属于关系如果a是集合A的一个元素，则记作aA （读作” a属于A“ ）; 如果a不是集合A的一个元素，则记作aA. 例 A 是1至10自然数构成的集合1 A, 2 A, , 10 A, -1 A, a A, 0.5 A,集合的表示,集合的表示集合
3、的常见表示法有列举法和概括法： 列举法：列出构成集合的元素，例如 A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 或者A=1,2, 10 B = a,b,z表示所有小写字母集合 概括法：用一个性质描述构成集合的元素。例如C= x | 0x1, x是实数；D = n | n是质数；E = x | 3x2 + 5x 10 =0, x是实数；F = x2 | x是奇数 一般地，可以用x | p(x), xS表示满足p(x)的对象构成的集合（如E）, 或者ax | p(x), xS表示满足p(x)的元素 ax (如F), 其中S是一个已知集合。,集合的表示,罗素悖论Russells Paradox
4、 集合x | x x存在吗？,集合的表示,注1：集合中不包含重复元素。允许包含重复元素的集合称为多重集(multisets). 注2：集合的元素之间不需要具有任何联系。 注3：集合的元素没有次序关系.,集合的外延原则,外延原则 两个集合相等当且仅当它们包含相同的元素。 定义设A,B是两个集合。如果对于任意x, x A当且仅当x B， 则称A,B相等，记作A=B.例S表示08A班全体同学的集合，S表示08A班选修了“集合与图”的所有同学. 则S=S. 注：外延原则说“一个集合是由其元素确定的”。,子集的概念,子集如果一个集合A的每个元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集(subsets).
5、 定义 设A,B是两个集合，如果对于任意对象x, x A, 则x B, 则称A是B的子集，记作AB. 读作：“A是B的子集”，或者“A包含在B中”。例 C=x | 0x1, x是实数； D = n | n是质数 C1=x| 0.5x1, x是实数 D1 = 3,5,11 ,D2 = 1,3,5,101, C1 C, D1 D, D2D (D2不是D的子集) 注 对于任意集合A, A A.,真子集,定义 如果A B, 但AB, 则称A是B的真子集，记作AB. 注：A B表示 A=B不成立。 例 C1 C, D1 D空集 存在一个不包含任何元素的集合，称为空集(empty set)，记作. 容易证
6、明，对于任意集合A, A. 定理对于任意集合A,B, A=B当且仅当A B, 并且 B A. (证明留作习题),练习,试利用构造一些集合，并说明它们之间的关系。 试写出A1=1,2,3的所有子集. 证明: 如果A B, B C, 则A C. 证明空集是唯一的.,幂集,定义 一个集合的所有子集构成的集合称为它的幂集(power sets). 集合A的幂集记作P(A). 例 A=0,1, P(A)=, 0, 1,0,1. 显然， P(A) = X| X A. P(A) A P(A),Exercises,Compute P(), P(P(), P(P(P(). Prove or disprove t
7、he following propositions: a). Pn() Pn+1(); b). Pn() Pn+1(); where P0(A) = A, Pn+1= P(Pn(A) for nN Do the propositions above hold when is replaced by any set A?,全集和补集,全集一个包含所讨论问题的所有元素的集合称为全集（universe）. 我们将假定存在一个全集U. 定义 设A是一个集合，集合x | xA, xU 称为 的补集，记作A .,集合的运算,集合的并集合AB=x| xA xB称为A与B的并(union). 例 A=1,2,
8、3,4,5, B = 1,3,5,7,9AB = 1，2，3，4，5，7，9 容易证明： 定理对于任意集合A,B, C, 下列结论成立： A B = B A A A = A A = A ; A = A (A B) C = A (B C),文氏图,文氏图 Venn Diagrams 可用于表示集合的运算。 在Venn图中，用一个矩形表示全集，用圆表示全集的一个子集A，圆的内部表示该子集的成员。,一个表示集合的文氏图,集合的交,集合的交集合AB=x| xA xB称为A与B的交(intersection). 例 A=1,2,3,4,5, B = 1,3,5,7,9A B = 1，3，5 容易证明：
9、定理对于任意集合A,B, C, 下列结论成立： A B = B A A A = A A = ; A = (A B) C = A (B C),练习：使用文氏图验证定理中的等式。,两个集合交运算的文氏图,例 从上述文氏图可以看出：A B = (AB)(AB)(BA),集合运算律,定理对于任意集合A,B, C, 下列结论成立： A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) A(AB) = A - 吸收律 A(AB) = A - 吸收律习题1试用文氏图验证以上定理。 习题2给出以上定理的证明。,注意并与交的对偶性。,相对补 称 AB=x|xA x B 为B对于A的相对补集,或者A
10、与B的差。 对称差 称 AB=(A-B) (B-A) 为A和B的对称差。,A-B,AB,定理对于任意集合A,B, C, 下列结论成立： A-(BC) = (A-B)(A-C); (AB) = AB -德摩根律 A-(B C) = (A-B)( A-C) (A B) = AB A B= B A A (B C) = (A B) C A A= A = A 如果A B=A C, 则B=C.,Programming exercises,Write a program which will compute the union of two sets; Write a program which will
11、compute the intersection of two sets; Write a program which will compute the power set of a set.,有序对,有序对 由两个固定次序的对象构成的序列称为一个有序对，记作 。x 称为首元，y 称为次元。 两个有序对,相等，当且仅当x=y并且u=v. 注 一个有序对是“有序的”，不同于; 不同于x,y. 有序对的集合定义 有序可以用集合定义，而不是作为一个初始概念： 定义 = a, a,b 定理如果 =, 则a=c 并且b=d.,笛卡尔积,定义设A,B是任意集合，称集合A B= |aA 而且 bB 为A与B
12、的笛卡尔积（Cartesian product）. 例A=a,b,c, B= 1,2, C = x,yA B = B A = A A = A (B C) = (A B) C = A = ? 问题 设A=a,b（实数区间）, B=c,d, A B 代表什么？,定理 |AB|=|A|B| ABBA （通常地） A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A= (BA)(CA) (BC)A= (BA) (CA) 证明： 问题以上等式可否推广到无穷个集合的并或者交的情况？若成立，是给出证明。,多元组和任意笛卡尔积,有序对或者二元组可以推广到三元组：= ,c 进一步推广到多元组：
13、【定义】集合A1, A2, , An 的笛卡尔积定义为：A1A2An-1 An = (A1A2An-1) An = | a1A1 且a2A2 且anAn,有穷集的计数,基数 一个集合的元素个数成为集合的基数。集合A的基数用|A|表示。有穷集包含有穷个元素的集合称为有穷集(finite sets)容斥原理设A,B是有穷集，则|AB| = |A| +|B| -|AB| 证明：容易用文氏图验证。,例 10名同学中有5人选修物理，7人选修生物，其中有3人既选修物理又选修生物，问有几名同学既没有选修物理又没有选修生物？ 解 设选修物理的集合为A，选修生物的集合为B，则|A|=5，|B|=7，且|AB|=
14、3。将10名同学分解为两部分：有选修的和没有选修的，即|AB|+|AB|=10 故 |AB| = 10|AB| = 10 （|A|+|B|AB|）= 10 （5+73）= 1,任意集合的并、交 运算,问题 试将 集合的并、交 运算推广到任意集合，并说明定理中那些等式可以推广？,Cantors set theory,Set theory, both as a branch of mathematics and also the very root of mathematics (maybe logic also), was created by Georg Cantor (1845-1918).
15、 “A paradise created by Cantor from which nobody shall ever expel us” David Hilbert. Ernst Zermolo established axiomatic set theory. Bertrand Russell and Alfred North Whiteheads famous three volume work Principia Mathematica.,Summary,What is a set? What are sets used for? How to express sets or construct sets? The concept of subsets, empty, Venn diagrams and axiom of extensionality. How the operations on sets are defined? What laws hold for set operations? How Cartesian product is defined? How to count the number of elements in a finite set.,
