1、1,第二章谓词逻辑,2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 授课人：李朔 Email:,2,一、基本概念,谓词公式中可包含有命题变元和客体变元，当命题变元用确定的命题取代，客体变元用确定的客体所取代时，就称作对公式赋值。 一个谓词公式经过赋值后，就成为真值确定的命题（T或F） 定义2-5.1 给定任何两个谓词公式wff A和wff B，设它们有共同的个体域E。若对A和B的任意一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式A和B在E上是等价的。记为AB。,3,一、基本概念,定义2-5.2 任意给定谓词公式wff A，其个体域为E。若对A的任意变元赋值，wff A都为真，则称该wff A在E上是有效
2、的（或永真的）。定义2-5.3对于一个谓词公式wff A，如果在所有赋值下，该公式的真值都为假，则称该wff A 为不可满足的。定义2-5.4对于一个谓词公式wff A，如果至少在一种赋值下为真，则称该wff A 为可满足的。,4,二命题公式的推广,在命题逻辑中，重言式的同一分量出现的每一处都用同一合式公式置换，其结果仍是重言式 类似于我们学习过的命题逻辑中的等价式与蕴含式，在谓词逻辑中有了等价和永真的概念，同样有谓词演算的一些等价式与蕴含式。 命题演算中的等价公式表和蕴涵式表都可以推广到谓词演算中。 当谓词演算中的公式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公式即为有效公式。故命题演算中的
3、等价公式和蕴含式表都可推广到谓词演算中使用。,5,二命题公式的推广,例如：(x)(P(x)Q(x) ( x)(P(x)Q(X)(x)P(x)(y)(R(x,y) )(x)P(x) (y)(R(x,y)(y) (x)(H(x,y)H(x,y) F,6,三量词与联结词之间的关系,例1 设 P(x)表示x喜欢梦八队，则 P(x)表示x不喜欢梦八队。(个体域限定为人) （1）不是所有人都喜欢梦八队： (x)P(x) （2）存在一些人不喜欢梦八队：(x)P(x) （3）不会有人喜欢梦八队：(x)P(x) （4）所有人都不喜欢梦八队：(x)P(x) 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也
4、完全相同。即有 1.(x)P(x) (x)P(x) 2.(x)P(x) (x)P(x),7,三量词与联结词之间的关系,式1与式2反映了量词与联结词之间的关系，是我们可以得到的公式（量词的转化律） 这里的约定：出现在量词之前的否定，不是否定该量词，而是否定被量化了的整个命题。 上述公式在有限论域上的证明： 设个体域中的客体变元为a1,a2,an，则1.(x)A(x) (A(a1)A(a2)A(an)A(a1) A(a2) A(an) (x)A(x)2.( x)A(x)(A(a1)A(a2)A(an)A(a1)A(a2)A(an) (x)A(x),三量词与联结词之间的关系,量词转化律也能推广到无穷
5、个体域 结论：当将量词前面的联结词移到量词的后面去时，存在量词改为全称量词，全称量词改为存在量词；反之，如果将量词后面的联结词移到量词的前面去时，也要做相应的改变。,9,四量词作用域的扩张与收缩,量词的作用域中常有合取项或析取项，如果其中一个为命题（即零元谓词），则可将该命题移至量词作用域外。如 1. (x)(A(x)B) (x)A(x)B 2. (x)(A(x)B) (x)A(x)B 3. (x)(A(x)B) (x)A(x)B 4. (x)(A(x)B) (x)A(x)B 因为B中不出现约束变元x,所以它属于或不属于量词作用域均有相同意义。,10,四量词作用域的扩张与收缩,从1-4式还可推
6、得如下几个式子： 5. (x)A(x)B) (x)(A(x)B) 6. (x)A(x)B) (x)(A(x)B) 7. (B(x)A(x) (x)(BA(x) 8. (B(x)A(x) (x)(BA(x) 例2 证明5式 P68 当谓词变元与量词的指导变元不同时，亦能有类似于上述的公式。,11,五、量词与命题联结词之间的一些等价关系,量词与命题联结词存在不同的结合情况 例 学院里所有学生既懂理论也懂应用。(A(x), B(x)学院里所有学生懂理论且所有学生懂应用。 上述语句意义相同。故有：（个体域为学院全体学生）(x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x) 由上式可以有：(x)( A
7、(x)B(x)(x)(A(x)(x)(B(x) 故有(x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x) ) 即有 (x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x),12,六、量词与命题联结词之间的一些蕴涵关系,量词与命题与命题联结词之间存在一些不同情况，有些是蕴含公式。 例 可以从“这些学生都聪明或这些学生都努力”推出“这些学生都聪明或努力” 但不能从“这些学生都聪明或努力” 推出“这些学生都聪明或这些学生都努力” 即有(x)A(x) (x) B(x) (x)(A(x) B(x) 由上式可推得 (x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x),13,六、量词与命题联结词之间的一
8、些蕴涵关系,类似的可推得： (x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x) (x)(A(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x) 很多等价式与蕴含式可以相互推导表2-5.1,14,六、量词与命题联结词之间的一些蕴涵关系,15,七、多个量词的使用,对于二元谓词有八种情况： 1.(x)(y)A(x,y) 2.(x)(y)A(x,y) 3.(x)(y)A(x,y) 4.(x)(y)A(x,y) 5.(y)(x)A(x,y) 6.(y)(x)A(x,y) 7.(y)(x)A(x,y) 8.(y)(x)A(x,y),16,七、多个量词的使用,例 设 A(x,y)表示x和y同姓,论域x是甲村的人
9、,y是乙村的人 (x)(y)A(x,y): 甲村和乙村所有的人都同姓 (y)(x)A(x,y)： 乙村和甲村所有的人都同姓。显然上述俩语句的含义相同。故(x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y）同理有：(x)(y)A(x,y)： 甲村与乙村有人同姓。(y)(x)A(x,y)： 乙村与甲村有人都同姓。故 (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y),17,七、多个量词的使用,但是 (x)(y)A(x,y) 表示对于甲村所有的人，乙村都有人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示存在一个乙村的人，甲村所有的人和他同姓。 (y)(x)A(x,y) 表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他
10、同姓。 (x)(y)A(x,y) 表示存在一个甲村的人，乙村所有人和他同姓。上述四种语句，表达的情况各不相同，故全称量词与存在量词的次序，不能随意更换。,18,七、多个量词的使用,如下一蕴含式中不同量词间的次序是不可随意交换的。 x y A(x,y) =y x A(x,y) yx A(x,y) = x y A(x,y) xy A(x,y) =y x A(x,y) y x A(x,y) =x y A(x,y) yx A(x,y) =x y A(x,y) xy A(x,y) =y x A(x,y)。 例 设x的个体域为动物，y的个体域为人，则由“有些动物为所有人喜欢。”必可知 “每个人喜欢一些动物。”反之, “每个人喜欢一些动物。”不一定能有“有些动物为所有人喜欢。”,19,本课小结,1.等价式，有效式，可满足式 2.命题公式的推广，量词与联结词之间的关系，量词作用域的扩张与收缩。 3.量词与命题联结词之间的一些等价关系. 4.量词与命题联结词之间的一些蕴涵关系 5.多个量词的使用,20,作业,P71 （7）,
