1、模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,第三节 模糊等价矩阵,（一）普通关系 若集合A上的二元关系R是自反的，对称的和传递的， 称R是等价关系。设A为非空集，S=S1,S2,Sm, SiA; Si (i=1m); S1S2.Sm=A; SiSj= (i,j=1m,i j) 则称S是A的划分（分类）。,【定理1】集合A上的等价关系R，诱导了A的一个划分（分类）。 该划分（分类）就是商集A/R。 【定理2】集合A的任一划分S （分类）诱导了A的一个等价关系R。若S=S1,S2,Sn，则R=S1S1S2S2SnSn。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价
2、矩阵,“同年龄”是人群中的一个等价关系， 故按照年龄便可将人群分类， 而“同学”关系满足自反性、对称性，但不具有传递性, 故按照“同学”关系不能将人群分类， 像这种具有自反性、对称性，但不具有传递性的普通关系，我们称之为普通的相似关系， 按照相似关系是不能进行分类的。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,【定义1】设论域X=x1,x2,xn, R为X上的模糊关系，即R=（rij）nn, 若满足：(1)自反性： IR( rii =1）；(2)对称性： RT=R ( rij = rji) ； (3)传递性：R2=RRR( ）, 则称R为模糊等价矩阵。,模糊数学 第二章
3、模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,（二）模糊等价矩阵及其性质,根据自反性、传递性的定义知RRR,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,容易证明R满足自反性、对称性和传递性，故R是模糊等价矩阵。,【定理1】若R是模糊等价矩阵 0, 1，R是等价的Boole矩阵.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,定理的重要性：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵 而每一个R描写一个普通的等价关系，等价关系可以将X分类，按R分类时，xi与xj归为同一类rij=1，当从1降至0时，R将不断发生变化。,【定理2】若R是模糊等价矩阵,则对任意的01, R
4、 所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,例2 设论域 X =x1,x2,x5，,分别取=1，取=0.9，取=0.85，取=0.8，取=0.2，将X进行模糊分类。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,需指出，若R是模糊等价矩阵可直接进行分类， 然而，通常在实际聚类问题中产生的R仅具有自反性、对称性，而不具有传递性， 即R往往只是模糊相似矩阵，据此不能够直接分类， 故必须对相似矩阵R进行改造。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模
5、糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,（三）模糊相似矩阵及其性质,【定义2】设RF(XX），即模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性： R(x, x) =1；(2)对称性：R(x, y) = R(y, x)； 则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系. 其中隶属度R(x,y)表示(x,y)的相似程度。,例如，人群当中的“相像”关系，“同学”关系都是模糊相似关系，故不能将人群按此关系分类。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,【定义3】设论域X=x1,x2,xn, R为X上的模糊关系，即R=（rij）nn, 若满足：(1)自反性： IR( rii =1）
6、；(2)对称性： RT=R ( rij = rji) ； 则称R为模糊相似矩阵。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,【定理3】若R是模糊相似矩阵，则kN，Rk是模糊相似矩阵.,回忆：包含模糊矩阵R的“最小”的传递模糊矩阵叫做R的传递闭包，记成t(R).即t(R)满足： t(R)t(R) t(R); (传递性) t(R)R；(包含性) 任一模糊矩阵S，若满足SSS，且SR，则t(R)S。 (最小性),【定理4】模糊相似矩阵R=（rij）nn，则存在一个最小自然数k(k n)，使得传递闭包对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk。此时t(R) 为模糊等价矩阵。,模糊数
7、学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,定理4可知，对于任意lk，必有t(R)=Rk=Rk+1=Rk+2= 因此求模糊相似矩阵R=（rij）nn的传递闭包时， 可利用逐次“平方法”:RR2R4R8R2k 直至出现k0,使:,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,注: (1)对n阶模糊相似矩阵,至多只需log2n+1步即可求得t(R).(x表示不超过x的最大整数); (2)定理4的结论对具有自反性的模糊矩阵也成立,由上定理的证明可看出.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第三节 模糊等价矩阵,作业：P90 19,
