1、1第二十九讲 椭圆一、引言（一）本节的地位：圆锥曲线是中学教学的核心内容，又是学习高等数学的基础知识，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当（二）考纲要求：通过本节的学习要理解椭圆的定义，掌握椭圆方程的标准方程，能灵活应用椭圆的几何性质解决相关问题，在具体问题的解决过程中继续加深对坐标思想的理解，感悟函数与方程思想以及分类与整合、转化与化归等重要的数学思想重点是掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；难点是椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用（三）考情分析：有关椭圆的题目一般会出一道大题或小题在选择题或填空题中主
2、要考查对概念的理解和灵活运用、基本量的求解以及集合性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等二、考点梳理椭圆第一定义：平面内与两个定点 12F,的距离的和等于常数（大于 12F）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距椭圆第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线 l的距离之比是常数(01)e的点的轨迹叫做椭圆定点是椭圆的焦点，定直线
3、叫做椭圆的准线，常数叫椭圆的离心率椭圆的标准方程与几何性质：焦点在 x轴上 焦点在 y轴上标准方程 21xyab (0)a21xba (0)b范围 |,|,|顶点坐标 (,0) ,(,)0， ,焦点坐标 12,()Fc12,()Fc准线方程 axay焦半径 10Me， 20ex20Me，1对称轴方程 、 y长短轴 椭圆的长半轴长是 a，椭圆的短半轴长是 b几何性质离心率 (0)ce2,abc关系 22(0)abc另外：椭圆的通径长：2ba.焦点三角形的面积为： 212tn,SFM.三、典型问题选讲（一）考查椭圆的概念例 1（2009，全国）已知椭圆2:1xCy的右焦点为 F，右准线为 l，点
4、Al，线段 AF交 C于点 B，若 3FA，则 |=( )A. 2 B. 2 C. D. 3w解析：过点 B 作 Ml于 M，并设右准线 l与 x轴的交点为 N，易知 FN =1由题意 3，故 2|又由椭圆的第二定义，得 |3F|2AF故选 A.归纳小结：本题充分挖掘图形的几何性质，应用椭圆的第二定义解决问题例 2 如图，把椭圆2156xy的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于 12347,PP七个点， F是椭圆的一个焦点，则 12PF3456FF分析：认真研究图形的特征，把椭圆的长轴 AB分成 8等份，我们知道椭圆具有对称性，因此可利用椭圆的定义及图形的对称性求
5、解解法 1：不妨设 F是椭圆的左焦点，则由第二定义得 |(1,23,7)iiPFaex，3其中 a是椭圆的半长轴， e是离心率， ix是 iP点的横坐标所以 12345PFF67F127()aexx，注意到椭圆的对称性，可知 8iix，即 120x所以 12345P67P7 a35.解法 2：不妨设 ,F分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得171272PFF，根据椭圆第一定义，得 :2.P272171 FPP35a归纳小结：圆锥曲线的第二定义，揭示了曲线上动点到焦点的距离和动点到对应准线的距离之比与离心率 e 之间的关系当条件中含有焦半径（圆锥曲线上的点到焦点的距离）时，可考虑运用圆
6、锥曲线的第二定义，如方法 1；方法 2 巧妙利用了椭圆的对称性和第一定义，进行整体突破例 3 椭圆 1492yx的焦点为 1F， 2，点 P为其上的动点，当 21PF为钝角时，点 P横坐标的取值范围是 分析：欲求点 横坐标 0x的取值范围，需要建立关于 0x的不等式，从不同的知识点切入就得到不同的解法解法 1：（两个定义相结合）由条件可知， 3a， 2b，所以 5c，35ace根据椭圆的定义， 12|6PFa，于是两边平方得3221PF，又在 21中，由余弦定理得，22211cos0PF，所以 2120F，将代入上式得， 128P，设 的横坐标为 0x，由焦半径公式得400()()8aex，所
7、以 20598x，故 035x解法 2：（与向量知识结合）因为 21PF为钝角，所以 12PF设 0(,)Pxy，由分析 1 可知， 0(5,)xy， 0(5,)xy，所以 005,).(5,)xy2， 又 0(,)xy在椭圆上，所以 2194，、两式联立，消去 0y，即得 035x归纳小结：本题考查椭圆的定义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决问题的能力（二）基本量求解例 4（2009，上海）已知 1F、 2是椭圆 1:2byaxC（ a b0）的两个焦点，P为椭圆 C上一点，且 21P若 21的面积为 9，则 =_解析：依题意，有 12284Fc，可得 4c2364
8、a2，即 a2 c29，故有 b3归纳小结：本题主要考查椭圆的定义、长轴、短轴、焦距之间的关系 属于基础知识、基本运算的考查例 5 椭圆21(0)xyab的半焦距为 c，若直线 2yx与椭圆一个交点 P的横坐标恰好为 c，则椭圆的离心率为（ ）A 2. B. 2 C. D. 315分析：求离心率关键是根据已知条件得到 a、 b、 c的等量关系若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的解法 1：由题知点 (,2)Pc，因为点 P在椭圆21xy上，所以24cab，化简得 222cab，又因为 22ac，所以 ()4()，化简得 4260c，同除以 4得 2610e，解得
9、223(1)e，因为 01，所以 e，故选 C解法 2：由题知点 P在椭圆上且横坐标为 c，纵坐标为正数，所以点 P的坐标为(,)bca，又因为点 在直线 2yx上，所以2ba，即 2c，又因为 bac，所以 20，同除以 2a得 1e，解得 ，因为 0，所以 21e，故选 C解法 3：由题意可知点 P坐标为 (,2)c，即 2|PFc所以 12F为等腰直角三角形，所以 |c由椭圆定义 12|Pa，即 2c，6所以 12cea，故选 C归纳小结：本题三种解法各有特点，解法 2、解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识（三）
10、突出几何性质的考查例 6 如图，已知圆 O方程为 102yx，点 A的坐标为 ），（ 06， M为圆 O上任意一点，线段 AM的垂直平分线交 于点 P，则点 的轨迹方程为（ ）A2156xyB2(3)156xyC2D2()解析：由于 POAM106，所以，点 P的轨迹是以 OA、 为焦点、以 10 为长轴长的椭圆因此选 B归纳总结：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避免列式、化简等烦琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一例 7 已知椭圆213xy的左右焦点分别为 1F、 2，过 1的直线交椭圆于 B、 D 两点，过 2F的直线交椭圆于 A、
11、 C 两点，且 BD，垂足为 P.（1）设 P 点的坐标为 0(,)xy，证明：2013xy；（2）求四边形 ABCD 的面积的最小值7分析:因为 ACBD于点 P，又 1F、 2是两个定点，所以，点 P在以线段 12F为直径的圆上，即 P 点的坐标为 0(,)xy满足 0y，这样问题就转化为在此代数条件下求代数式203xy的取值范围的问题了方法显然不唯一由条件知 ABCD是对角线互相垂直的四边形，那么，这样的四边形的面积怎样计算呢？由平面几何易知， 1|2SBD这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了，显然 |， |的长由它们的斜率决定，这已是常规的解析几何问题了解：（1）方法 1：椭圆的半焦距
12、321c，由 ACBD 知点 P在以线段2F为直径的圆上，故 20xy，所以，2013方法 2：由方法 1 知， 20xy，即 2200x，所以 0136xy（2） （）当 BD的斜率 k存在且 0时， BD的方程为 (1)ykx，代入椭圆方程213xy，并化简得 22(3)630kx显然 0设 1()B， ， 2()xy， ，则 212k，2136kx.2222211 14()()()()()3Dxykxk；又由于直线 AC与 过同一点 P，且相互垂直，同理可得，224343(1)1kk四边形 ABCD的面积为 11|222SBPACDBAC824(1)33k22(1)9653k当 21k时
13、，上式取等号（）当 BD的斜率 0k或斜率不存在时，四边形 ABCD的面积 4S综上，四边形 AC的面积的最小值为 9625归纳小结：第一问实际上是证明点 P 在椭圆的内部，这只需利用不等式进行放缩即得到结论，或者，由点 P满足的关系，消去变量 0y，得到关于 0x的函数，求其取值范围即可；第二问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的具体体现（四）求参数范围问题例 8（2008，福建）椭圆21xyab(0)的一个焦点是 (1,0)F， O为坐标原点（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过
14、点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点若直线 l 绕点 F 任意转动，恒有2OAB，求 a的取值范围分析：将几何条件“椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形”转化为代数等式，解之即得 3b ，继而由椭圆参数之间的关系便可求出 a；对于第（2）问，容易知道，当三点 ,AOB不共线时，2OABcos00120xy（设 12(,)(,)xy） 由此可得关于 ,ab的不等式，再由 ba消去 b，就得到关于 a的不等式，解之即可解：(1)设 ,MN为短轴的两个三等分点，因为 F为正三角形，所以 32OFMN， 321b，解得 3 214,ab因此，椭圆方程为 4xy(2) 设 12(,)(,
15、)AxyB()当直线 与 重合时，9222,4(1)OABaAa，因此，恒有 22OAB()当直线 不与 x轴重合时，设直线 AB 的方程为 ()myR，代入21xyab，整理得 222()0abb，所以 122y，212yam因为恒有 OAB，所以 AOB恒为钝角即 1212(,),0xyxy 恒成立12 1212()()xmy22()bab20maba又 20，所以 220对 R恒成立，即 2mabab对 R恒成立，当 时， 2ab最小值为 0，所以 2， 224(1)b，因为 0, ， ，即 20a，解得 152a或 (舍去)，即 5，综合（i）(ii)， a 的取值范围为 1(,)2归
16、纳小结：主要考查直线、椭圆和不等式等基本知识，侧重考查椭圆与不等式交汇问题，是对多个知识点的综合考查本题的亮点在第 2 问，实质是探究“椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内”的充分必要条件当三点 ,AOB不共线时， 22AOBcos0AOB120xy为了得到 12y，需要将过点 F 的直线 l 与椭圆的方程联立，通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理整体变形，得到 12xy用 m表示解析式，应用不等10式性质使问题获得解决如果选择“点斜式”的方法给出直线 l 的方程，则需要按直线 l与 x轴是否垂直分类讨论例 9 已知点 F为椭圆2:198xyW的右焦点，点 0(,)2mPy在椭圆 W 上
17、，直线PF 交椭圆 W 于点 Q，且 P，若 34，求实数 的范围分析：求参数范围要注意寻找参数变化的根源，即所求的参数是随着哪个变量的变化而变化解法 1：设 1(,)xy，因为 02mP， FQ，所以 10(),.xy解得 10(),2.mxy由点 P、 Q 均在椭圆 W 上，所以 202021()1,98).my消去 0y并整理，得 8，因为 134，所以 3148m 解得 2 解法 2：设 1(,)Qxy，由题知 3a，b， c， 3e， (,0)F， 0(,)2mPy，因为 PF，所以 1,x，于是 1()2mx，由条件得 |Q，再由椭圆的第二定义得 |ePMQN，如图：（点 P，Q在
18、右准线上的射影分别为 M， N）11所以221()amxcc，即 19+得 08，于是 ，因为 134，所以 2m 4归纳小结：求参数范围主要方法有：（1）构造含参数的不等式通过解不等式求参数范围；（2）构造含参数的函数转化为求函数的值域或定义域；（3）利用曲线上的点的坐标的范围求参数的范围本题主要思路是先寻找 与 的函数关系，再根据 范围求 m范围.四、本专题总结本节课包含椭圆的定义、标准方程、椭圆的简单几何性质及应用等知识，主要考查概念、基本量求解、求曲线方程、求参数范围问题等几类高考中常出现的问题主要解题策略有：运用第一定义，第二定义进行突破；构造含参数的不等式，通过解不等式求参数范围；与直线有关的问题经常通过消元，得到一个一元二次方程，再利用韦达定理进行变形求解；充分运用曲线的性质及图形的特征，使得解法更简捷，因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识体现主要数学思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论，应用定义时是否符合要求等
