1、1南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（设 计）（ 2012 届）题 目： 院（系、部）： 专 业： 姓 名： 学 号 指导教师： 南京师范大学泰州学院教务处 制2目 录1.引言 62、测不准关系的理论背景 .72.1 粒子的波动性 .72.2 波的粒子性 .83测不准关系式的简要导出 .83.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系 83.2 由量子力学中的特例导出测不准关系式 .93.3 由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式 .93.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。 94 对测不准关系的认同与争议 .1041 对测不准关系的争议 114.1.1 统计解释与非
2、统计解释 .114.1.2 某些力学量测不准的原因是什么 .114.1.3 关于名称和译名的争议 .1142 对有争议问题的讨论 124.2.1 关于统计解释和非统计解释 .124.2.2 某些力学量测不准的原因 .124.2.3 关于 uncertainty 和 indeteminacy 的译名问题 135 测不准关系的应用 .135.1 无限深势阱问题 .145.2 线性谐振子问题 155.3 氢原子问题 17结 语 .19谢 辞 20参考文献 .213摘 要测不准关系是量子力学的一个基本原理，表明一 个 微 观 粒 子 的 某 些 成 对的 物 理 量 不 可 能 同 时 具 有 确 定
3、 的 数 值 ， 例 如 位 置 与 动 量 、 时 间 和 能 量 。 它反映了自然界的客观规律, 反映了微观粒子的波粒二象性的基本属性。本文主要介绍了测不准关系的理论背景，导出模式以及对测不准关系的认同与争议，重点讨论了测不准关系在量子力学上的应用。通过无限深势阱、线性谐振子、氢原子等几个模型问题的基态能量的求解，证明了测不准关系在物理量大小估算问题上具有的应用意义和价值.关 键 词：测不准关系；量子力学；估算 4AbstractThe uncertainty relation is a fundamental principle of quantum mechanics. It show
4、ed that the value of a microscopic particle having certain pairs of physical quantities is not possible to determine, such as position and momentum, time and energy. It reflects the objective laws of nature, reflecting the basic properties of micro-particle wave-particle duality.This paper focuses o
5、n the application of uncertainty relation on quantum mechanics. Firstly, we make a detailed investigation regarding the theoretical background, export mode, and the recognition and controversy of uncertainty relation. Basing on the solution of several model problems such as the infinite potential we
6、ll, linear harmonic oscillator, hydrogen atom ground state energy, it is necessary to be figured out that Uncertainty relation in the meaning and value on the physical size of the estimation problem.Keywords: Uncertainty relation ；quantum mechanics； estimation51.引 言测 不 准 关 系 又 名 “测 不 准 原 理 ”、 “不 确 定
7、 关 系 ”， 由 海 森 伯 在 1927 年 率 先 提 出 , 经 历 了 大 半 个 世 纪 争 论 ， 近 30年 来 才 逐 渐 取 得 一 致 , 成 为 量子 力 学 的 重 要 内 容 。 量 子 力 学 是 现 代 物 理 学 的 理 论 支 柱 之 一 , 被 广 泛 地 应用 于 化 学 、 生 物 学 、 电 子 学 及 高 新 技 术 等 许 多 领 域 。这 一 原 理 表 明 ： 一 个 微 观 粒 子 的 某 些 物 理 量 （ 如 位 置 和 动 量 ， 或 方 位角 与 动 量 矩 ， 还 有 时 间 和 能 量 等 ） ， 不 可 能 同 时 具 有 确
8、 定 的 数 值 ， 其 中 一 个量 越 确 定 ， 另 一 个 量 的 不 确 定 程 度 就 越 大 。 测 量 一 对 共 轭 量 的 误 差 的 乘 积必 然 大 于 常 数 （ ， 其 中 是 普 朗 克 常 数 ） 是 德 国 物 理 学 家 海 森2hh伯 在 1927 年 首 先 提 出 的 ， 用 公 式 表 示 可 有 ： ， ，2xp2yp， ，该 原 理 反 映 了 微 观 粒 子 运 动 的 基 本 规 律 ， 是 物 理zptE学 中 又 一 条 重 要 原 理 。在 量 子 力 学 的 学 习 中 ， 我 们 可 以 运 用 这 一 原 理 解 决 一 些 相
9、应 的 物 理 问 题 ，从 而 完 成 对 某 些 特 定 物 理 量 大 小 得 估 算 ， 比 如 我 们 会 经 常 遇 到 的 物 理 问 题 有 ：无 限 深 势 阱 问 题 、 线 性 谐 振 子 问 题 、 氢 原 子 问 题 等 。 相 应 地 我 们 可 以 估 算 其基 态 能 量 、 粒 子 寿 命 等 的 大 小 。2、测不准关系的理论背景微 观 粒 子 波 粒 二 象 性 是 测 不 准 关 系 建 立 的 实 验 基 础 。 我 们 可 以 以 两 个不 同 方 面 的 例 子 来 说 明 。 一 是 从 粒 子 (电 子 )的 波 动 性 ， 二 是 从 波 (
10、光 )的 粒子 性 。2.1 粒子的波动性一 束 动 量 为 的 电 子 通 过 宽 为 的 单 缝 后 发 生 衍 射 ， 而 在 屏 上 形 成 衍px射 条 纹 。 对 一 个 电 子 来 说 ， 它 是 从 宽 为 的 缝 中 通 过 的 ， 因 此 它 在 方 向x上 的 位 置 不 确 定 量 为 ;忽 略 次 级 极 大 ， 认 为 电 子 都 落 在 中 央 亮 纹 内 ， 在x6方 向 有 角 偏 转 ， 表 明 电 子 通 过 缝 时 在 方 向 的 动 量 不 确 定 量 为xx21xp， 第 一 级 暗 纹 中 心 的 角 位 置 由 下 式 决 定 : ， 根 据 德
11、 布 罗 意sinp sin公 式 ， 得 ， 则 动 量 不 确 定 量 为 = ， 考 虑 到 衍 射 条hxphsin21xph纹 的 次 级 极 大 ， 可 得 ， 这 就 是 不 确 定 关 系 。x2.2 波的粒子性1923 年 康 普 顿 及 后 来 的 吴 有 训 进 行 的 X 射 线 通 过 物 质 时 的 散 射 实 验 ，不 仅 有 力 地 证 明 了 波 (光 )具 有 粒 子 性 ， 而 且 还 证 明 了 光 子 和 微 观 粒 子 的 相 互作 用 过 程 也 是 严 格 地 遵 守 动 量 守 恒 定 律 和 能 量 守 恒 定 律 的 。根 据 光 子 理
12、论 ， X 射 线 的 散 射 是 单 个 光 子 和 单 个 电 子 发 生 弹 性 碰 撞 的 结果 。 由 于 光 子 在 空 间 至 少 要 展 开 德 布 罗 意 波 长 的 范 围 ， 在 测 定 它 与 电 子碰 撞 位 置 时 的 不 准 确 度 也 就 至 少 在 的 范 围 内 。 这 就 是 说 ， 如 果 用 来 表x示 电 子 位 置 的 不 准 确 度 ， 那 么 ， 总 是 要 不 小 于 光 子 的 波 长 ， 即 。x在 碰 撞 时 ， 光 子 将 动 量 传 给 电 子 ， 所 传 递 动 量 的 大 小 取 决 于 碰 撞 是 正 碰 还 是斜 碰 。一
13、般 来 说 ， 传 给 电 子 的 动 量 不 可 能 大 于 光 子 原 有 的 动 量 ， 电 子 在 碰 撞 后动 量 的 不 准 确 度 约 等 于 光 子 的 动 量 ， 则 有 。 海 森 伯 对 这xpxphpx一 近 似 关 系 式 进 行 了 更 仔 细 地 数 学 分 析 后 ， 发 现 ，2=1.0545887x JS。 海森伯曾写道：“在位置被测定的一瞬，即当2h341光子正被电子偏转时，电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。 ”以上分
14、析清楚地表明，有了微观粒子的波粒二象性，就有测不准关系，反之亦然。因此，测不准关系的实质就是微观粒子波粒二象性，或者说，测不准关系的表达式是微观粒子波粒二象性最集中的数学概括。73测不准关系式的简要导出测不准关系的常见模式通常由以下四种类型导出3.1 由电子的单缝衍射导出测不准关系。如果单缝的宽度为 a，那么电子坐标不确定度 ,根据衍射实验我们知xa道动量不确定度 ,根据衍射理论有 ,因此有sinPxsin,得 又因为次级衍射的存在，所以有axPsinho.ho3.2 由量子力学中的特例导出测不准关系式。如：用一维无限深势阱中基态粒子的坐标与动量的关系可以导出测不准关系式。设势阱宽度为 a ,
15、坐标不确定度 ,动量不确定度 ,2/axahPx2/得 4/hPx3.3 由量子力学中的算符的对易关系导出测不准关系式。如果算符 F 和 G 的对易关系为 FG-GF=iK，那么有/4 而坐标和动量的对易关系为 - X=ih/2 ，2)()(2KxP因此有 ，得 .216/hPx 4/hPx3.4、由量子理论的基本假定直接导出测不准关系式。普朗克在解释黑体辐射的能量分布规律时提出的能量量子化：n=1,2,3.（2）nhvE玻尔在氢原子理论中提出轨道量子化条件： n=1,2,3 nhP2（3）德布罗意在总结了数百年来对光和实物粒子的研究情况后提出了实物粒子的波粒二象性hvE8（4）/hp（5）由
16、（2） （4）整理可得 (取 n=1) （6）hET由（3）式整理可得 (取 n=1) （7）P2由（5）式整理可得 （8）在（6） （7） （8）这三式中，每一式都含有一个守恒量，即 E，P，P,它们各自与对应的周期的乘积均为一个共同的常数 ho,这是几个基本假定的一个共同特性。再将（6） （7） （8）与（1）进行比较得另一个共有特性，即每一个测不准关系式都有一个基本假定与之对应，即 hPqi1hETPL2并且都可以由假定的基本是简洁的得出相应的测不准关系式，下面说明一个，其他的可以类推。由：P=h,取其增量： 0)/(P式中的负号表示 P 和 这一对共轭力学量中一个增加，而另一个就必然减
17、少。在此处我们只考虑偏差，可以不计负号，因此上式变为（9）)/(由量子论我们知道，与一个实际的微观物质粒子的某一力学量的增量相缔合的是一个“波包” 。而实际的“波包”都可以看场是由 P(或 )内许多个单色平面正弦波的叠加而成。因此有：（xt）= dxtCdpxtP)()(P=h 中的 P. 都为统计平均值，而任一时刻沿 X 方向传播的平面波的传播增量 x 必定为 的整数倍。即：(10)nx由（9）（10）得 .式中的（n）代表物质波的伸长)(Pp9或缩短，根据量子化的特性有 ,式中的N为整数，因此有n,而 ,因此 .即： .其余两式不再叙NPx hhxP hxP述。4 对测不准关系的认同与争议
18、测不准关系的每一种证明方法实际上代表着一种理解。从这些不同的理解中大体可以归纳出以下几方面的问题。4 1 对测不准关系的争议4.1.1 统计解释与非统计解释测不准关系中所说的测得精确和不精确是指对一个粒子的单次测量结果，还是指对一个粒子系统各成员的测量结果的统计分布？或者是对一个粒子的多次测量结果的统计分布？首先，从海森堡提出的各种论据来看，他的论点是把这些测不准量解释为属于一个粒子单次测量的结果，而不是作为测量粒子系综各成员的位置或动量时所得结果的统计分布，并认为测不准关系给出了单次测量中对两个力学量同时进行测量所可能达到的精确度的限制。雅默把这种来源于海森堡的思想实验的关于测不准关系的同时
19、测量的解释称为非统计解释。罗伯逊对于测不准关系的证明，则是根据量子力学的基本假设严格导出的，并被多数物理学家认同。这种证明实际上可以说明：测不准关系对于电子系综是成立的，对于单个电子多次测量的结果也适用，但对于单个电子一次测量的结果是不适用的。4.1.2 某些力学量测不准的原因是什么从海森堡最初提出测不准关系的各种论据来看，他的论点是把测不准的原因归结为在单次测量中被测量的微观系统所受到的不可控制的扰动。这样的看10法实际上认定，在系统被测量之前，各种力学量都是有确定值的，只是在测量时受到了干扰才使他们变得不确定了。4.1.3 关于名称和译名的争议在关于量子理论基本解释的长期争论中，名词的使用
20、也相应的出现了分歧。我国关于名词的使用方面与国外并不一致，可能是由于在我国关于量子理论解释的争论尚未普遍展开。1975 年科学出版社出版的英汉物理学名词中，将indetem inacy 和 uncertainty 两个词都译成测不准。1997 年科学出版社出版的物理学名词中，将 uncertainty 一词改为不确定性，并将 indetem inacy 删去，此后有些国内的文献已将测不准改为不确定性。但也有一些文献或著作中仍然沿用测不准一词，表明我国有些物理学家对这一名词译法的改动保留意见，也有人提议测不准与不确定二词并用。4 2 对有争议问题的讨论4.2.1 关于统计解释和非统计解释这一争论
21、的焦点之一就是单个粒子是否有波动性的问题。微观粒子具有波动性，早在 1927 年已被戴维孙与革末的著名实验所证实。遗憾的是，这类实验结果一般都只能说明大量粒子的统计行为呈现波动性，而不能直接说明单个粒子的行为也呈现波动性。但是我们如果能 从一些已有的实验结果或经过大量事实证明的量子力学公式，通过间接的方法，还是可以说明单个粒子的行为也是呈现波动性的。例如：（1）.在电子衍射实验中，如果使电子流极其微弱，电子几乎是一个一个的通过仪器，只要时间足够长，则底板上仍将出现衍射图样，在电子或中子的双缝衍射中，只要创造条件，使得在任何时刻最多只能有一个粒子处于狭缝与屏幕之间，经过一定的时间后也能在屏幕上清
22、楚地显示出干涉的条纹，从而说明单个粒子可以自己和自己干涉，也有波动性，这也是关于量子力学基本解释问题研究的一个重要的新进展。(2)如果测不准关系对于单个粒子不适用，就可以认为单个电子能够同时具有完全确定的位置与动量值，这就会导出一些与实验事实相悖的结果。114.2.2 某些力学量测不准的原因这方面争论的焦点是某些力学量测不准的原因是由于微观粒子本身的特性还是由于测量中的干扰，在量子力学中所说的测不准应当是指在某一状态中一个力学量 F 没有确定值的意思。一个力学量 F 是否有确定值完全取决于体系所处的状态，是否 F 的本征态，而不是由于测量中的干扰。可见，测不准关系成立，完全是由微观粒子本身固有
23、的特性所决定的，并不是由于人为的测量造成的。为了证明其完全不必借助于测量时体系受到的干扰来说明。4.2.3 关于 uncertainty 和 indeteminacy 的译名问题这两个英文词的原意可能并没有原则的差别。在我国早期的书刊中，绝大多数都采用测不准一词，这可能是出于对海森堡的尊重。在 1996 年我国公布的物理学名词 ，将测不准改为不确定性。这是因为测不准一词并不是最恰当的选择。用测不准来表述力学量在某一状态中没有确定值这一事实，很容易产生误解。因为测不准似乎更强调测量的作用，因为测而不准，如果我们不去测，他就准了。这样的理解显然不符合测不准关系的正确含义。此外，在其他的几种译名中，
24、不确定度是较恰当的，由于 uncertainty 是个名词。不确定通常用作形容词，有事也可作为名词，但其意义不是很明确。而不确定性和不确定度两者都是名词，他们都可以表示力学量的性质。而前者更适合于用来表示不易直接用数字表示的性质，后者则更适合于用来表示可以用数字来度量的性质。因此不确定度关系是一种最恰当的选择。但当前“测不准”仍是大家最熟悉的译名.。5 测不准关系的应用利用测不准关系，我们可以估算物质结构的不同层次的特征能量。由测不准关系xp212在非相对论情况（对原子，分子，原子核适用） ，（11）2/)(2pE对于原子， ，cmx81010用电子质量 代入，则有 ，e kge31098.得
25、到2103142 )(098. .57()( mkgsJxmEe （12）eV46对于中等原子核， ，cmx1315用中子或质子质量代入，即取 ，kgn27048.同理有215272342 )06(10648. .5()( mkgsJxmEn (13)MeVJ10357.在分子或原子物理中常选用 为能量单位，而在核物理中则用 或MeV比较方便。keV对于相对论情况，xcpcE下面我们就通过一些基本问题来讨论测不准关系对能量的估算。5.1 无限深势阱问题粒 子 在 宽 为 的 无 限 深 方 势 阱 中 运 动 ， 估 算 其 基 态 能 量 。2a解 ： x由 测 不 准 关 系 ， 知 ：x
26、pa13由 于 在 束 缚 态 中 ， 波 函 数 为xanxnsi2)(粒 子 处 于 基 态 时 ， ， 即1xasin2)(1didxpaaxid i)(p 2121aiaos2c nxaia2cos0故 得 能 量 ： E21xp)0(2x)(12xp2)(1xp2a即 基 态 能 量 估 计 有 下 限 ： 2a此 即 为 估 算 结 果 。5.2 线性谐振子问题估 算 一 维 简 谐 振 子 的 基 态 能 量 。解 ： 一 维 谐 振 子 ， H221xp波 函 数 为 ， 由 于 对 称 ， 有 只 存 在 束 缚 态 ， 故 知 ：)(xndxxidxpnnn )()()(i
27、 nnn 121由 正 交 归 一 性 可 得0p14同 理 xdxnn)( 0)()(1211dxnn于 是 利 用 测 不 准 关 系 ： 得2px1xHE22)(1)(xp1)()(2)(2 22 pp于 是 估 计 谐 振 子 的 基 态 能 量 为 。1对 于 一 维 谐 振 子 的 基 态 能 量 也 可 以 有 另 外 一 种 解 法 ， 如 下 所 示 。由 递 推 公 式 ： 112nnnx 2)(1)2()( n可 得，120x )0(2x由 的 正 交 归 一 性 可 知 ， 对 基 态 ，n， 0x2又 由 导 数 的 递 推 公 式 关 系 ：112nndx)2()2
28、()(2 nn 15则， 120idxi )20(22dx所以，0p2所以 ，2)(2pxp 212xpE这一方法与第一种方法比较，我们不难看出法一的简便易懂，而方法二虽然思路清晰，但公式记忆较繁，若有记忆不牢不清现象很易算错。所以通常采用测不准关系对其类似问题进行求解。 5.3 氢原子问题估 计 氢 原 子 的 基 态 能 量 3。解 ： 氢 原 子 repH21如 果 只 考 虑 基 态 ， 它 可 写 为，rep21)1(rdipr与 共 轭 ， 于 是rpr， 所 以 rp（ 1）eeEr 221求 极 值 则 有0r16即023re由 此 得（ 玻 尔 半 径 ） （ 2）02aer
29、将 （ 2） 式 代 入 （ 1） 式 得 基 态 能 量（ 3） 2402eaE02a这 里 用 数 学 分 析 的 方 法 求 极 值 ， 运 算 中 作 了 一 些 不 严 格 的 代 换 如 ：等 ， 这 在 估 计 中 是 允 许 的 。rr1通过上述三个例题的解答，我们发现测不准关系应用于物理量大小的估算是很方便，通过理论比较，其估计值与理论值是非常接近的。结 语量子力学诞生至今约有80年了，作为一门基础理论已经相当成熟，在指导人类文明进步和学科发展方面发挥着重要的作用。测不准关系是由量子力学基本原理导出的一个重要推论，他在量子力学中占有重要的地位。测不准关系告诉我们: 一对共轭力
30、学量之间要同时确定其值的精确度受到一定的限制, 这种与精确值之间的差值不是误差, 而是偏差, 这不是由于实验设备的精度和实验操作人员的技术能力的高低所引起的。而是由量子理论本身所决定的, 或者说是由客观世界的物质粒子的波粒二象性这种内禀属性所决定的。因此, 所有有关量子力学的书籍或多或少都要讨论测不准原理,测不准关系可以对量子力学中的物理量进行估算，主要可以估算各种条件下的基态能量，体现出了很强的应用意义和价值。通过测不准关系, 我们还可以估算微观世界物质结构不同层次的能量标尺, 可以鉴定原子核内无电子等等。17谢 辞本论文的完成，得益于南京师范大学泰州学院老师传授的知识， 参考文献：1 Da
31、vid J GriffithsIntroduction to Quantum Mechanics M China machine press20058 2 白玉林，杨向东锂原子基态能级的近似计算J.大学物理.2004，43 史守华量子力学考研辅导教材M 清华大学出版社 2003,34 R埃斯伯格，R瑞斯尼克量子物理学 上册M 北京工业学院出版社1985,125 周宙安，万芳广义测不准关系与位置的最小不确定度J.湖南科技学院学报2007，126 厚宇德不确定关系的确立及相关争论J.台州学院学报.2005，67 关洪测不准关系的意义(上)J 大学物理1983，38 曾谨言量子力学M 北京：科学出版社19869英汉物理学词汇367页，科学出版社1975年版10赵玲玲.原子物理学M.上海：上海科技出版社。1986.72-7311张择慈.量子力学简明教程M.北京：人民教育出版社。1979.46-5112周世勋.量子力学教程M.北京：北京高等教育出版社。1979.90-92,5-1113褚圣麟.原子物理学M.北京：北京高等教育出版社。1979.82-85
