1、个性化教案1 / 13二项分布及其应用适用学科 数学 适用年级 高一适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60知 识 点 二项分布正态曲线及其特点考情分析 本节内容主要以解答题的形式与分布列、期望等结合，考查条件概率、相互独立事件的概率，n 次独立重复试验及二项分布教学重点 二项分布及正态分布曲线教学难点 二项分布及正态分布曲线教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点 1 条件概率（1）定义：对于任何两个事件 A 和 B，在已知 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 来表示，其公式为(/)P()(/)PAB=（2） 条件概率具
2、有的性质：（1）非负性： ；（2）可加性：0/1P如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 (/)(/)()CC=+U考点/易错点 2 相互独立事件（1）定义：对于事件 A 和 B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A,B为相互独立事件（3） 相互独立事件的概率性质：若 A 与 B 相互独立，则如果事件 相互独立，(/)(,)(/)()(PBAPP=g12,nAg则这 n 个事件同时发生的 概率等于每个事件发生概率的积，即若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与1212nAgg A也都相互独立考点/易错点 3 独立重复试验与二项分布独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的
3、 n 次试验称为 n 次独立重复试验二项分布：一般的，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数 X，在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 ，此时称随机变量 X 服从()()(0,2)kknpxC-=个性化教案2 / 13二项分布，记作 ，并称 p 为成功概率。(,)XBn:三、例题精析【例题 1】【题干】从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.18 14 25 12【答案】 B【解
4、析】 P(A) ， P(A B) .C23 C2C25 410 25 C2C25 110由条件概率计算公式，得 P(B|A) .P A BP A110410 14【例题 2】【题干】某品牌汽车的 4S 店，对最近 100 位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分 3 期付款的频率为 0.2，且 4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分 1 期付款，其利润为 1 万元；分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2 万元用 表示经销一辆汽车的利润.付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 40 20 a 10
5、 b(1)若以频率作为概率，求事件 A：“购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位采用分 3 期付款”的概率 P(A)；(2)求 的分布列及其数学期望 E( )【解析】(1)由题意可知“购买该品牌汽车的 3 位顾客中有 1 位采用分 3 期付款”的概率为 0.2，所以P(A)0.8 3C 0.2(10.2) 20.896.13个性化教案3 / 13(2)由 0.2 得 a20，a1004020 a10 b100， b10.记分期付款的期数为 ，依题意得：P( 1) 0.4， P( 2) 0.2， P( 3)40100 20100 0.2， P( 4) 0.1， P( 5) 0.1.201
6、00 10100 10100由题意知 的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)P( 1) P( 1)0.4，P( 1.5) P( 2) P( 3)0.4；P( 2) P( 4) P( 5)0.10.10.2. 的分布列为： 1 1.5 2P 0.4 0.4 0.2 的数学期望 E( )10.41.50.420.21.4(万元)要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解【例题 3】【题干】今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量例如：家居用电的碳排放量(千克)耗电度数0.785，汽车的碳排放量(千克)油耗公升数
7、0.785等某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则称为“非低碳族”这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下：A 小区 低碳族 非低碳族比例 P 12 12个性化教案4 / 13B 小区 低碳族 非低碳族比例 P 45 15(1)如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率；(2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 人，记 表示 25 个人中低碳族人数，求 E( )【解析】(1)记这 4 人中
8、恰好有 2 人是低碳族为事件 A，P(A) 4 .12 12 15 15 12 12 45 15 12 12 45 45 33100(2)设 A 小区有 a 人，2 周后非低碳族的概率P ，a12 1 15 2a 8252 周后低碳族的概率 P1 ，825 1725依题意 B(25， )，所以 E( )25 17.1725 1725【例题 4】【题干】某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第2 位)(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率；(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率；(3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率【解析】设“5 次预报
9、中恰有 2 次准确”为事件 A， “5 次预报中至少有 2 次准确”为事件 B， “5 次预报恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确”为事件 C.(1)P(A)C 2 3 10 0.05.25(45)(1 45) 1625 1125个性化教案5 / 13(2)P(B)1C 0 5C 40.99.05(45)(1 45) 15 45(1 45)(3)P(C)C 3 0.02.1445(1 45) 45四、课堂运用【基础】1甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占 18%，两市同时下雨占 12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A0.6 B0.7
10、C0.8 D0.66解析 甲市为雨天记为事件 A，乙市为雨天记为事件 B，则 P(A)0.2， P(B)0.18，P(AB)0.12， P(B|A) 0.6.P ABP A 0.120.2答案 A2在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1解析 设事件 A 发生的概率为 p，则 C p(1 p)3C p2(1 p)2，解得 p0.4，14 24故选 A.答案 A3位于直角坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移
11、动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 ，则质23 13点 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是( )A. B. C. D.4243 8243 40243 80243解析 左移两次，右移三次，概率是 C 2 3 .25(23)(13) 40243答案 C个性化教案6 / 13【巩固】1一个电路如图所示， A、 B、 C、 D、 E、 F 为 6 个开关，其闭合的概率都是 ，12且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A. B.164 5564C. D.18 116解析 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T，E 与 F 至少有一个不闭合的事件为 R，则 P(T) P
12、(R)1 ，12 12 34所以灯亮的概率 P1 P(T)P(R)P( )P( ) .C D5564答案 B2有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_解析 设种子发芽为事件 A，种子成长为幼苗为事件 B(发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为： P(B|A)0.8， P(A)0.9.根据条件概率公式 P(AB) P(B|A)P(A)0.90.80.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72.答案 0.723将一枚硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_解析 由题意知，正面可以出现 6 次
13、，5 次，4 次，所求概率PC 6C 6C 66(12) 56(12) 46(12) .1 6 1564 1132答案 1132【拔高】个性化教案7 / 131某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意” 、 “中立” 、 “反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 ，他们的投票相互没有影响，13规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率解析 (1)该公司决定对该项目
14、投资的概率为PC 2 C 3 .23(13)(23) 3(13) 727(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件 A 0 0 3事件 B 1 0 2事件 C 1 1 1事件 D 0 1 2P(A)C 3 ，3(13) 127P(B)C 3 ，13(13) 19P(C)C C 3 ，1312(13) 29P(D)C 3 .13(13) 19 A、 B、 C、 D 互斥， P(A B C D) P(A) P(B) P(C) P(D) .13272根据空气质量指数 API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：个性
15、化教案8 / 13API 05051100101150 151200 201250251300300级别 1 2 1 2 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染中度重污染重度污染对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测，获得的 API 数据按照区间0,50，(50,100，(100,150，(150,200，(200,250，(250,300进行分组，得到频率分布直方图如下图(1)求直方图中 x 的值；(2)计算一年中空气质量为良或轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有 2 天的空气质量为良或轻微污染的概率(结果用分数表示已知 5778 125,2 7128， ，365735)31
16、 825 2365 71 825 31 825 89 125 1239 125解析 (1) x 150 ( 31 825 2365 71 825 31 825 89 125) .11918 250(2) 50365219.(11918 250 2365)(3)每天空气质量为良或轻微污染的概率为 P，则 P ，设 X 是一周内空219365 35气质量为良或轻微污染的天数个性化教案9 / 13则 X B ，(7，35)P(X0)C 7，07(25)P(X1)C 6，17(35)(25)P1 7(25) 73265778 125 128 1 34478 125 .76 65378 125课程小结1
17、.可先定义条件概率 P(B|A) ，当 P(B|A) P(B)即 P(AB) P(A)P(B)P ABP A时，事件 B 与事件 A 独立但是要注意事件 A、 B、 C两两独立，但事件A、 B、 C 不一定相互独立2.计算条件概率有两种方法(1)利用定义 P(B|A) ；P ABP A(2)若 n(C)表示试验中事件 C 包含的基本事件的个数，则P(B|A) .n ABn A课后作业【基础】1 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A， “骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A， B 中至少有一件发生的概率是( )A. B. C. D.512 12 712 34解
18、析 本题涉及古典概型概率的计算本知识点在考纲中为 B 级要求由题意得 P(A) ，P(B) ，则事件 A，B 至少有一件发生的概率是 1P( )P( )12 16 A B1 .12 56 712答案 C 个性化教案10 / 132一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1和 p2.则( )A p1 p2 B p1p2 D以上三种情况都有可能解析 p11 101 10(11100) (99100)1 5，(9 801
19、10 000)p21 51 5(C299C2100) (98100)则 p1p2.答案 B3袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A. B.35 34C. D.12 310解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有 2 个白球和 2 个黑球共 4 个球，所以取到白球的概率 P ，故选 C.24 12答案 C【巩固】1有一批书共 100 本，其中文科书 40 本，理科书 60 本，按装潢可分精装、平装两种，精装书 70 本，某人从这 100 本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取 1 本
20、，恰是精装书，这一事件的概率是_解析 设“任取一书是文科书”的事件为 A， “任取一书是精装书”的事件为 B，则 A、 B 是相互独立的事件，所求概率为 P(AB)据题意可知 P(A) ， P(B) ，40100 25 70100 710个性化教案11 / 13 P(AB) P(A)P(B) .25 710 725答案 7252三支球队中，甲队胜乙队的概率为 0.4，乙队胜丙队的概率为 0.5，丙队胜甲队的概率为 0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为_解析 设乙队连胜四局为事
21、件 A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为10.40.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为 0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为 0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为 0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)P(A 1A2A3A4)0.6 20.520.09.答案 0.09 3某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于_解析 由已知条件第 2 个问题
22、答错，第 3、4 个问题答对，记“问题回答正确”事件为 A，则 P(A)0.8，P P A A AAA(1 P(A) P(A) P(A)0.128.答案 0.128【拔高】1某人向一目标射击 4 次，每次击中目标的概率为 .该目标分为 3 个不同的部13分，第一、二、三部分面积之比为 136.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比(1)设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；(2)若目标被击中 2 次， A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ，求 P(A)解析 (1)依题意 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 1681 3281 2481 88
23、1 181(2)设 Ai表示事件”第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i1，2.Bi表示事件”第二次击中目标时，击中第 i 部分” ，i1,2.个性化教案12 / 13依题意知 P(A1)P(B 1)0.1，P(A 2)P(B 2)0.3，AA 1 B1A 1B1A 2B2，B1 A1所求的概率为P(A)P(A 1 )P( B1)P(A 1B1)P(A 2B2)P(A 1)P( )P( )P(B1)P(A 1)B1 A1 B1 A1P(B1)P(A 2)P(B2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.2学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球
24、，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在 1 次游戏中，()摸出 3 个白球的概率；()获奖的概率；(2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)解析 (1)()设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i0,1,2,3)，则 P(A3) .C23C25 C12C23 15()设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B A2 A3.又 P(A2) ，且 A2， A3互斥，C23C25 C2C23 C13C12C25 C12C23 12所以 P(B) P(A2) P(A3) .12 15 710(2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.由于 X 服从二项分布，即 X B .(3，710) P(X0) 2 ，(1710) 9100P(X1)C ，12710 (1 710) 2150P(X2) 2 .(710) 49100所以 X 的分布列是X 0 1 2个性化教案13 / 13P 9100 2150 49100X 的数学期望 E(X)0 1 2 .9100 2150 49100 75
