黎曼几何的创立与应用--.pdf

1、黎曼几何的创立 与 应用 摘要 本文 首先 追溯了黎曼几何创立的过程 ， 探讨了在非欧几何 建立的大前提 和物理、哲学思想启发下黎曼的几何思想萌芽 ；其次探讨了黎曼几何的发展及其在爱因斯坦广义相对论理论中的重要应用；最后总结了黎曼几何的创立及应用对现代数学研究的启示。 关键词 非欧几何 黎曼几何 广义相对论 学科交叉 数学研究 一、非欧几何的产生 自从公元前 3 世纪欧几里得著述几何原本，它所构建的 几何体系 就一直被认为是“物质空间和此空间内图形性质的正确理想化” 1，它代表着人们直观而先验式 的数学观。 2000 年来许多数学家以欧氏几何公理为基础在其上建立起了数学的大厦。然而在此期间数学

2、家们一直对一个问题耿耿于怀， 这个问题来自欧几里得的第五公设 （也称平行公设）。 第五公设：当两条直线被第三条直线所截，如有一侧的两个同侧内角的和小于两直角，则这两条直线适当的延长后就在同侧的内角和小于两直角的那一侧相交。 它的叙述过于冗长和复杂， 这与数学简明之美是不相称的。而且欧几里得本人似乎也不太喜欢它，他在 “ 证完了不需要 平行公设可证的所有定理之后”才开始使用平行公设。 2因此在欧几里 得以后的每个时代里，各国的数学家中都有人试图寻求一个更加自然的公 设来代替它或者通过证明第五公设来实现“排除任何谬误的欧几里得”，而非欧几何的发展就在数学家们试图证明欧氏几何的真理性中开始了。 在许

3、多数学家的各种努力尝试中，萨凯里、克吕格尔、兰伯特等人的研究走到了一个关键的地方：“一种假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何” 3他们算是非欧几何的先行者。真 正突破欧氏几何束缚的是高斯，小包耶和罗巴切夫斯基。高斯 最早认识到存在非欧几何 ，然而因为不想受到攻击他并未声明。在高斯去世后整理出的与朋友的通信中，人们才了解到他的想法。小包耶在独立工作得到非欧几何体系后将成果发给高斯。在这个年轻人 急于得到高斯肯定时 ，却 收到高斯“赞扬他等于赞扬我自己”的回复 ，从 而在数学研究 的 道路 上受挫 ，也未能将自己的发现公诸于世。在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早，最系统的发表

4、了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己新思想的一位。尽管的确遭受到了高斯所预料的“波埃提亚人的 叫嚣”，种种排挤打压之下，他仍然坚信自己新几何学的正确性。他的精神令后人敬佩。 二、黎曼几何的创立 在非欧几何产生之后，欧氏几何变成了许多几何中的一个。因此人们对它是否是宇宙空间本身的几何也产生了疑问。这个疑问推动了 19 世纪重大创造之一 黎曼几何的产生。 黎曼是高斯在哥廷根的学生。他英年早逝，著述不丰，一生发表的论文包括博士论文、就职论文、就职演说一共只有 18 篇，然而几乎每一篇论文都在历史上留下痕迹。 1851 年他的博士论文单复变量函数一般理论之基础得到高斯极少见的高度评价：“

5、黎曼先生交来的论文提供了令人信服的证据，说明作者对该文所论述的这一问题作了全面 深入的研究，作者具有创造性的、活跃的、 真正的数学头脑，具有灿烂丰富的创造力。 ” 1854 年为了在哥廷根取得大学讲师的职位，黎曼需要提交一篇“就职论文”，为此他完成了论用三角级数表示函数，此文不单是三角级数中奠基性的巨作，而且黎曼积分的概念也在此文中提出。按照规定，黎曼还需要完成一篇“就职演说”，他向高斯提交了三个题目。相较于第三个，对于前两题他有相当的准备，然而他的第三个题目正是高斯有极大兴趣的几何基础方面的问题，高斯想在这个问 题上看看这位年轻人的想法。于是黎曼不得不赶在七个星期之内完成了这篇数学史上最引人

6、瞩目的一篇就职论文，标志着黎曼几何学创立的空前巨著论作为几何基础的假设。为使那些哲学系的教授也能听懂，黎曼通篇只用了一个数学公式，整个演讲充满哲学味道。 4 在讲稿的开篇，他提出了 n 维流形的概念。“ 我首先要从一般量 （ quantity）的 观点 建立多元延伸量的概念。我将指出，多元延伸量是可以容纳 不同度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元 延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉 ，几何学中的定理并不能由量的一般概念 中导出，那些能 将空间从其它 可想象 的 三元延量中 区分出来 的性质，只能由经验得出 。 ” 5 他在头脑里已经把 n 维流形设想为在局部上与 n 维欧氏空间相仿的对

7、象，其中每一个点都可以用 n 个有序实数的组 x = (x1,xn)来描写。所有这种可能的点的总体就构成 n 维 流形本身，正如在一个曲面上的点的全体构成曲面本身一样。当这些 连续变化时，对应的点就遍历这整个流形。 6 演说的第二部分论述了有关流形度量关系的思想，即一种不需 依赖欧氏空间的平直结构即 可 确定流形上一条曲线长度的方法。这是仅有的涉及数学公式的一部分。黎曼的基本假设以高斯早些时候的著作为基础，他将曲线上无穷小距离元素 ds表示为 dx的齐次正定二次函数的平方，即 ds2 = gijdxidxjnjni这里 = ，且任一 为流形上的连续函数，并且上式右边总取正值。这个表达式后来以“

8、黎曼度量”著称。在此基础上黎曼又定义了曲线的长度，两曲线在一点的交角等，所有这些性质仅由 2表达式中的系数 确定。黎曼还引进了流形曲率的概念。黎曼想通过它去刻画欧氏空间和更一 般的空间，在这种空间中图形可以挪动而不改变其形状大小。如同高斯曲率一样，流形的曲率可以用一些量来定义，而这些量可以在流形自身上确定，从而无需把流形想象成位于某更高一维的流形中。 7在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间有以下三种情形： 1、 曲率为正常数 2、 曲率为负常数 3、 曲率恒等于零 黎曼指出后两种情况分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何学和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造

9、，对应另外一种非欧几何学。 8 最后一部分，黎曼探讨了 我们所在的 物理空间。首先，他给出空间局部欧氏的三 个条件。 由于 我们 可以赋 予 局部欧氏的 (平坦的 ) 空间 不同的度量，因此不可能只从拓扑学的角度得出欧氏平行定理。 空间的度量必需由实验来确定 。 他 认为，天文学将判定哪种几何学适合我们这个物理空间，而数学家所能作的只是分析我们的基础假定是什么。 黎曼还明确指出空间的无界性 (封闭性 )与无限性的区别 ，并指出空间的无界性比起我们对外在世界的其他经验有着更大的确定性。在文章 的 最后 他说到 ，作为现实基础的空间或者是离散流形，或者是连续流形， 如此一来 ，度量关系的基础 就

10、必需从外界 ，通过作用其上的结合力得到。而判别这点则要进入物理的领域，这就不是他今天的演讲所允许的了。 黎曼可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。他创立的黎曼几何不仅是对已经出现的非欧几何 （罗巴切夫斯基几何） 的承认，而且显示了创造其他非欧几何的可能性。 三、黎曼几何思想的渊源 19 世纪前半叶是一个数学和物理大变革的时代，许多新学科、新方法、新技术不断涌现。在众多学科交互繁荣，互相汲取灵感的背景下诞生了许多伟大的思想创举，其中就包括黎曼的几何思想。 在黎曼那篇著名的演说论作为几何基础的假设中也提到，他的几何思想继承了高斯的衣钵，他关于几何基础的哲学思考受到巴赫的影响，同时他的主要兴趣一

11、直在物理上，其数学成就很多也源自物理。可以说，黎曼的几何思想是融合了数学、物理和哲学的伟大篇章。 19 世纪前半叶，正是几何学的黄金时期。综合的摄影几何学得以复兴、解析几何体系逐渐成熟，非欧几何的创立挣脱了欧氏几何的思想枷锁。而黎曼的几何思想这是在这一时期形成。在几何上，黎曼受到的最深远的影响无疑来自于高斯。 1827 年高斯发表关于曲面的一般研究，在这篇文章中他经过复 杂的计算得到了一个惊人的发现： Gauss 曲率 K 只依赖于曲面的第一基本形式，而与曲面第二基本形式无关。这就是 Gauss 绝妙定理。高斯绝妙定理的意义在于，如果我们把参数曲面的定义域记为 D，它是 R 中的一个开子集，其

12、中的点的坐标记为(1,2)，那么曲面的第一基本形式 是在区域 D 上坐标 1,2的二次微分式 ： = gij(u1,u2)duiduj2i,j=1这里 gij = gji，且在每一点 (1,2) ,()是正定的 2 2矩 阵。 9可以看到黎曼所定义的线元与这种结构很相似，这种相似性是黎曼几何思想中最基本、最重要的。正是因为这种相似性，黎曼可以在流形上定义基本几何量，并可以用微分法去处理这些量。 在上述结构下，按照曲面论，我们能够计算区域 D 上任意一条分段光滑曲线的长度，能够计算 区域 D 内一个有界子区域的面积等等；而这些量与定义域 D内所取的坐标系无关。 Gauss 的定理进一步断言：利用

13、 ()我们还可以计算曲面在 D 内每一点处的 Gauss 曲率而不管曲面的具体形状为何。开创了曲面的内蕴微分几何的一个结果。而黎曼几何正是把 Gauss 的曲面 的内蕴微分几何推广到任意维数的情形。 对比黎曼和高斯的工作，我们发现黎曼几何思想对高斯的思想既有继承也有突破：继承之处在于黎曼秉承一个曲面就是一个空间的思想，着手研究能刻画曲面内在性质的曲率。在分析方法上黎曼继续高斯无穷小分析法，他所定义的度量就是高斯微分二次形式的推广；发展之处在于黎曼创造性地引入流形，使几何学由对图形的研究转变为对流形的研究，并将几何研究对象拓展为任意维，从而有了后来高维几何学的发展。 除了高斯在几何学上的启发，物

14、理也给了黎曼研究几何的灵感。 黎曼在哥廷根大学的最后三个学期以极大的兴趣听 了韦伯的实验物理课程，受韦伯工作启发，黎曼曾试图把电、磁、光和引力都纳入一种相同的数学（几何）模型中去，但当时缺乏把这些力统一在一个空间中的数学基础。由此黎曼认识到了无穷小分析的重要性；黎曼在构造物理空间的几何知识基础时，还区分了拓扑关系与度量关系，这使黎曼认识到物理的实在空间和几何的理论空间之间的区别。在 1854 年的演讲中可以看出，黎曼已经认识到必须把物质、力、和空间结合起来研究，质量的分布会影响到物理空间的几何。这个观点后来被克利福德所发展，并最终影响了爱因斯坦相对论的形成。 11 在同样的一段时期， 参加数学

15、物理讨论班的同时，黎曼还热衷于研究赫尔巴特的哲学成果。 现在看来，黎曼的演讲实际上是一篇数学哲学演讲，其中包含了一些深刻的哲学思想，这些思想很大程度上受到赫尔巴特的影响。在他的演讲中，黎曼一开始就怀疑几何学知识的先验性与必然性。他表示欧氏几何并没有逻辑上的必然性，只是一些假设。这表明他接受了赫尔巴特关于空间概念的客观基础。另外，赫尔巴特认为事物是性质的集束，而每一性质都可理解为一个连续一体，这样实在之物都可看作连续形式。我们可以看出黎曼在对 n 维流形的研究中就借鉴了赫尔巴特的哲学思想。 12 总之， 19 世纪数学、物理、哲学的发展密不可分，他们是黎曼几何思想最富活力的灵感源泉，在这三个学科

16、的滋养下，黎曼的几何思想得以萌芽，开花，最后取得丰硕成果。 四、黎曼几何的发展 黎曼的工作获得了高斯极高的评价，以至于在演讲过后，步出演讲厅时，高斯仍以罕见的激动心情对人谈起“黎曼所述观点的深度”。为了理解、并在技术细节上完善黎曼的思想，数学家们花了差不多半个世纪。首先是 Christoffel,然后是 Ricci 和 Levi-Civita， 他们创造了一整套张量分析的方法，引进了所谓绝对微分学，给出了黎曼所提出的曲率的表达式，尤其是 Levi-Civita 提出了曲面上的切向量沿曲线平行移动的概念。这样对于黎曼几何在几何直观上的理解便提高到一个崭新的水平，大大地推动了黎曼几何的发展。 13

17、 五、黎曼几何与爱因斯坦广义相对论 1901 年 Ricci 和 Levi-Civita 合写了一篇论文“绝对微分法及其应用”这篇论文对张量分析给出更明确的表述，并用这种独特的算法给出欧氏和非欧空间特别是黎曼弯曲空间下的几何性质和物理规律的表述，从而使黎曼几何成为强有力 的工具。物理学家找到了理想的工具，反过来也促进了对于黎曼几何以及张量分析的兴趣。 14 1905 年 5 月爱因斯坦完成论文论动体的电动力学标志着狭义相对论诞生。在此之后，为为把引力场几何化，将引力场和时空结构联结起来，爱因斯坦开始建立广义相对论。他需要寻找一种可以描述广义相对论的几何结构，但对于数学它并不像物理那样有深入了解

18、。幸运的是他拥有一位数学家朋友，从这位朋友处爱因斯坦得知，自己打开广义相对论大门的钥匙竟然在 70 多年前就已经由黎曼造好。 谈到广义相对论时爱因斯坦写到：“广义相对论所需要的数学工具已经 在绝对微分学 中完全具备，这种绝对微分学 以高斯、黎曼和克里斯托费尔关于欧几里得流形的研究为基础，并由里奇和列维 -奇维塔建成一个体系，并且已应用于理论物理学的一些问题上” 15这里 数学工具显然是指张量分析。在爱因斯坦看来，黎曼最大的贡献在于黎曼建立的更一般的几何学中，空间及其度规的性质具有各种可能性，都不能完全由几何公理来决定。 爱因斯坦广义相对论不仅建立在张量分析的基础上，而且还体现了黎曼关于物理、几

19、何不可分割的思想。毫无疑问，广义相对论是几何与物理、数学理论与物理事实的辩证统一。 16 六、 对现代数学研究的启示 黎曼几何的创立是 19 世纪数学史上最伟大的成就之一。纵观黎曼几何创立、发展与应用的整个过程，我们也看到一些值得现代数学研究者学习与借鉴的地方。 首先，创造性的数学研究需要广泛吸收其他学科的思想、技术成果。 探求黎曼的几何思想渊源，我们看到他将自己在物理、数学、哲学方面 的研究融会贯通，深入联系，才有了黎曼几何问世。现代数学研究者往往只了解 自己领域 、 方向的知识，对数学中其他领域甚至同一领域中其他方向都所知甚少，更不必谈学科交叉了。而仅靠单一的思维方式很难做出创新性的成果，

20、许多人做数学研究没有 什么重要成果大概也有这一方面的原因。 丘成桐 2004 年 10 月 18 日在交通大学的演讲中提到：“现代数学 要接受从现代物理或其他自然界供给的观念。这是一个很重要的交汇，数学家自以为很漂亮的工具，往往不能够解决任何问题。 ” “ 近十年来，从量子场论得出来的重要观念，解决了很多我们以前没有办法解决的问题，可以看出古典力学、量子力学、量子场论对几何的影响是很深远的。 ”不光是几何学，其他领域的数学研究者也需要从 学科交叉 中 获取灵感 。 其次，数学的研究要重视其实际 意义。黎曼几何与广义相对论的关系被认为是典型的数学研究可以不考虑现实意义独自发展的例证。然而黎曼的几

21、何思想 不仅源于他对数学对象本质的追求，还源于他 对物理现象数学基础的探讨、对哲学方法论的思 考。数学是“研究宇宙万事万物的科学”，数学研究与其他学科的发展应该是相辅相 成的，数学问题从现实中来，还应该到现实中去。让自己的研究有实际 意义，而非空中楼阁，这对现代数学研究者来说是很重要的。 参考文献 1M.克莱因 ,古今数学思想（ ） ,上海：上海科学技术出版社 ,2002 年 8 月 2M.克莱因 ,古今数学思想（ ） ,上海：上海科学技术出版社 ,2002 年 8 月 3李文林 ,数学史概论第二版 ,229,高等教育出版社 ,2002-08-01 4齐民友 ,数学与文化 ,171-172,大

22、连：大连理工大学出版社 ,2008-07-01 5黎曼 ,论作为几何基础的假设 ,张海潮 ,李文肇译 , ,古今数学思想（ ） ,311,上海：上海科学技术出版社 ,2002 年 8 月 7M.克莱因 ,古今数学思想（ ） ,312,上海： 上海科学技术出版社 ,2002 年 8 月 8李文林 ,数学史概论第二版 ,234-235,高等教育出版社 ,2002-08-01 9陈维桓 ,李兴校 ,黎曼几何引论（上册） ,2-3,北京：北京大学出版社 ,2004-01-01 10邓明立 ,阎晨光，黎曼的几何思想萌芽，自然科学史研究 2006 年第 1 期第 68-69 页 11邓明立 ,阎晨光，黎曼

23、的几何思想萌芽，自然科学史研究 2006 年第 1 期第 70-71 页 12邓明立 ,阎晨光，黎曼的几何思想萌芽，自然科学史研究 2006 年第 1 期第 73 页 13陈维桓 ,李兴校 ,黎曼几何引论（上册） ,4, 北京：北京大学出版社 ,2004-01-01 14阎晨光 ,邓明立 ,黎曼的几何思想及其对相对论的影响，科学技术与辩证法 2006 年6 月第 3 期第 84 页 15范岱年 ,赵中立 ,许良英 .爱因斯坦文集（第二卷） M.北京：商务印书馆 ,1977:278 16阎晨光 ,邓明立 ,黎曼的几何思想及其对相对论的影响，科学技术与辩证法 2006 年6 月第 3 期第 101

24、 页 The establishment and application of Riemannian Abstract Firstly, the paper traces the creation of Riemanns geometry and explores the Origin of the Riemanns geometry Thought, which based on the establishment of non-Euclidean geometry and was inspired by physics as well as philosophy .Secondly, it

25、 traces the development of the Riemanns geometry as well as its important applications in Einsteins general theory of relativity .Finally, it proves the enlightenment to modern mathematical research according . Key words Non-Euclidean geometry, Riemannian geometry, general relativity, interdisciplin

26、ary, Mathematical Research 附录 论几何学之基础假说 (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.) 黎曼 (Riemann) 张海潮、李文肇 研究大纲 I. n 元量的概念 II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度） III. 物理空间中的应用 译者注 研究大纲 大家知道，几何学事先设定了空间的概念，并假设了空间中各种建构的基本原则。关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特性则以公设的形态出现。这些假设（诸如空间的概念及其基本性质）彼此

27、间的关系尚属一片空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知是否能导出任何的相关性。 从欧几里德 (Euclid）到几何学最著名的改革家雷建德（ Legendre），无论是数学家或研究此问题的哲学家都无法打破这个僵局。这无疑是因为大家对于多元延伸量（ multiply extended quantities）（包括空间量）的概念仍一无所知。因此我首先要从一般量（ quantity）的概念中建立多元延伸量的概念。我将指出，多元延伸量是可以容纳若干度量关系的。所以我们所处的空间也不过是三元延伸量的一种特例。然而在此必然会发觉，几何学中的定理并不能由量的一般概念中导

28、出，而是要源自经验和能够将空间从其它易知的三元量属性区分出来。因而有了一个问题，即如何找出一组最简单的数据关系来决定空间的度量关系。这个问题的本质尚有争议且可能有好几套简单的数据关系均符合要求。单就眼前的问题看，最重要的一套是欧几里得做 为几何学原本的公设。一如所有数据关系的定义，它们并没有逻辑上的必然性。只是由经验认可，是一个假说。因此，我们能够做的是研究这类数据关系的可靠性（在我们的观察范围内当然相当可靠）。然后考虑是否能够延伸到观察范围之外，亦即朝向测量不能及的大范围和小范围来推广。 I. n 元量的概念 在尝试解决第一个问题 n 元延伸量概念的建立之前，我恳求大家多批评指教，因为在这种

29、哲学性质的工作上，观念比理论建构还难，而我在这方面所受的训练甚少。过去所学除了枢密顾问高斯谈双二次剩余的第二篇论文中的少许提示，他的五十周年纪念册 及哥廷根学术杂志中的点滴及赫巴特 (Herbart) 的一些哲学研究外，也少能派上用场。 1要了解量必须先有一个关于量的普遍观念和一些能体现它的特殊事例 (instance)。这些事例形成了所谓的流形：任两事例若可以连续地渐次转移成为彼此，是连续流形，否则为离散流形。个别事例在前者中称为点 (point)，在后者称为元素 (element)。构成离散流形的例子很多，至少在较高等的语言中一定可以找得到 只要能够理解一堆东西摆在一起的观念就够了（在离散

30、量的研究中，数学家可以毫不迟疑地假设所有的 东西都是同类的）。反过来说，连续流形的例子在日常生活中很少，大概只有颜色以及实际物体的所有位置可以算是多元量的几个简单实例。这种概念的创造与发展最先并屡屡出现于高等数学。 利用标记或圈围取出流形的某些部分，称为量。对量的定量比较工作，在离散的情形可以用数的，在连续的情况下则需靠测量。测量需将两个被比较的量叠合；因此必须选出一个量，充当其它量的测量标准。否则，我们只能在一个量包含于另一个量时才能作比较，只能谈较多 (more)、较少 (less)，而不知绝对的大小 (how much)。以这种 的方式进行，形成了对量研究的一个部门。其中量的观念独立于测

31、距 (measurement)，而相依于位置；不以单位表示，而是必须视为流形上的区域。这项研究对数学许多部门而言是必要的（例如多变量解析函数的处理），而这种研究的缺乏，正是阿贝尔 (Abel) 的著名定理及拉格郎吉 (Lagrange)、发府 (Phaff) 和亚各比 (Jacobi) 等人的贡献之所以未能在微分方程一般理论中有所发挥的主要原因。从延伸量的科学的这个部门出发，不需借助任何其它的假设，我们首需强调两点，以澄清 n 元延伸量的基本性质。第一点是关于多元延伸量这种概念的建立，而第二点则提到如何将流形中定位置的问题转化为决定数值的问题。 2在一个概念下的事例如果构成连续流形，则从其中的

32、一个事例以确定的方式移动到另一个事例时，中间所经过的所有事例会构成一个一元延伸的流形。它的特色是，从其中任一点出发，则只有两个方向可供连续移动：亦即非往前则往后。现在，我们想象这个一元流形以确定的方式移向另一个完全不同的一元流形，以致于旧流形上每一点都确定的走向新流形上的对应点，则仿前述，这样的例子便构成了一个二元延伸流形。以此类推，我们可以想 象一个二元延伸流形确定地移向一个完全不同的二元流形而得到一个三元延伸流形，不难看出如何继续这个建构。如果我们把这个过程中的参与者看成是变动的，而非固定的概念，则这种建构可以看成是融合 n 维和一维的变动度 (variability)而得到 n+1 维的

33、变动度。 3反之，我现在要说明怎样将一个具已知边界的变动度分解为一个一维变动度及一个较低维的变动度。考虑流形上沿一个一维向度的分解，固定其中之一，使其分解上的点得以相互比较。沿这个向度上的每一点都给定一个值，值随着点的不同而连续变化。换句话说，我们可以在这个给定的流 形上定出一个连续的位置函数，使在流形上的任一区，函数的值绝非常数。则当此函数的值固定时，共享此值的所有原流形上的点，便形成了一个较低维的连续流形。函数值改变时，这些流形便分解而连续地从一个变为另一个；我们因而可以假定它们全部都是同一个子流形的变换，而这种变换会使得第一个子流形上的每一点规律地对应到第二个子流形上的每一点。也有些例外

34、的情形，它们相当重要，在此略过。这样，流形上点的位置，便可化简为一个数字以及一个较低维的子流形上的点的位置。我们不难发现，原流形若是 n 维，则分解后所得到的子流形必有 n- 1 维，这个 过程重复 n 次以后，一个 n 元流形上的位置关系便可化为 n 个数字；任一个流形若可依此法予以化简，则化简的结果必然是有限个数字。不过也有些较特殊的流形，其位置最后化简的结果是无穷列或连续体。这流形的例子有：某一区域上的所有函数、一个实体的所有形状等等。 II. 能适用于 n 元量的度量关系（假设线的长度独立于其形状，每一条线都可以拿另一条线来量度） 在建立了 n 元流形的观念，并将其中位置决定问题转化成

35、为数值决定问题的基本性质确立之后，我们接着要讨论第二个问题，亦即研究能适用于流形的度量关系，及决定这些关系的条件。这些度量关系只能以抽象方式表示，而它们之间的关连只能藉公式表达。然而在某些假设之下，我们可以把它们化成能独立地以几何方式表现的关系，也因而可以将数量运算的结果以几何表示。因此，虽然无法完全避免抽象公式化的研究，但其结果可用几何方式表出。这两个部分的基础见于枢密顾问高斯谈曲面的著名论文中。 1.测量，需要先让量独立于位置而存在；有很多方法可以办到这一点。这正是我在此所要提出的假说，亦即线的长度与其形状无关，每条线都能 以另一条线测距。位置化简为数量，则 n 元流形中的点的位置可用 x

36、1, x2, x3 直到 xn 等 n 个变量表示；如此，则只要 X（ X=x1, x2 xn ）能表为参数 t 的函数，便能定出直线。所以我们的主题是，为线的长度定出一个数学式；为此，所有的 X 要有共同的单位 我要在某些特定条件的限制下处理这个问题。首先我要规定我所讨论的线，其 dxi（ xi 的微变化量）间的比值呈连续变化。如此，我们可以把线分割成许多小段的线元素（ line element），使得线元素上 dx（即 dx1, dx2, dx3,dxn 间）的比为定值，我们的问题则是，如何为每一点找出一个 ds 的一般式，其中 ds 必须以 x 和 dx 表示。再则，我要假设，当线元素上

37、每一点都产生相同的微量移动时，线元素的长度 ds 一阶不变；也就是说，如果所有的 dx 都以同一比例放大，则线元素亦以该比例放大。在这些假设之下，线元素可以是 dxi 的一个一次齐次函数，其中 dxi 全变号时线元素不变，且一次齐次项的系数都是 x 的函数。举一个最简单的例子：先找一个式子来代表与这个线元素的起点等距的所有点所形成的 n-1 维流形 ；亦即找到一个位置的连续函数，使得上述各等距 n-1 维流形代入之值都不同。则向各个方向远离起点时，函数的值必须越来越大，或越来越小。我要假设在其往各方向远离起点时，函数值越来越大，而在起点产生最小值。因此函数的一次与二次微分系数如为有限，则一次项

38、系数须为零，而二次项系数为非负；在此假设二次项系数恒正。当 ds 固定时，这个二次微分式亦固定；当 ds 以同一比例放大时（ dx 亦然），它以平方的关系放大。因此，它等于 ds2 乘以一个常数，而 ds 也因而等于一个以 x 的连续函数的系数的 dx 的正二次齐次式的方根。在 物理空间中，如用直角坐标，则；物理空间是我们这个最简单的例子中的特例。下一个次简单的例子应该算是以四次微分式的四次方根来表示线元的流形了。研究这种更一般的情形并不需要新的原理，然而非常费事，且对物理空间的研究帮助不多，特别是因为其结果无法以几何形式呈现。我因此只打算研究线元素能表为二次微分式方根的这种流形。若以 n 个

39、新的独立变量的 n 个函数，代替原有的 n 个函数，则可将原来的式子转换成一个类似的式子。然而我们并不能这样任意地用此法把一式变成另一式，因为这样的式子有个系数是独立变量的任意函数 1。引进新变量时 只能满 n 个条件，因此只能将 n 个系数的值求出。还剩下个系数，完全取决于所代表的流形，而需 n 个位置函数来定出它的度量关系。因此，像平面和物理空间这样子，线元素可写成的流形，构成了一种特殊情形，是我们正要探讨的。他们需要一个名称；因此我想把这种线元素平方能以全微分平方和之式子表示的流形叫做平（ flat）的流形。为了分析上述流形的主要差别，必须除去依赖于表现方式的那些特性。为了达到这一点，我

40、们要依据一定的原理来选择变量。 2.基于以上的目的，我们要建立一个自一原点出发的测地线或最短曲线系统。如此，任意点可经 由两个条件而确定其位置：连接该点与原点的最短曲线长度，以及此线在原点的初始方向。也就是说，找出 dx0（起始点上沿最短曲线的 dx）的比值，及此线的长度 s，就可得所求点的位置了。我们现在引进一组线性表示来代替 dx0，使得在原点线元素的平方等于这些的平方和，因此独立变量便成了s，以及诸的比。最后，找 x1, x2,x3, ,xn 使其与 成正比，且平方和等 于 s2。 引入这个量之后，对于微量的 x，线元素的平方会等于 。但它的展式中的下一级则是一个有项的二次齐次式： (x

41、1dx2 - x2dx1), (x1dx3 - x3dx1), ，形成了一个四次的微量；我们若将它除 以 abc 三点为顶点的三角形的平方，将得到一个有限值。此值在 x 和 dx 同属一个二元线性式时，或当由原点到 x 及由原点到 dx 这两条线属同一面元素时，是不会变的，因此视面元素的位置和方向而定。很显然，若我们的流行是平的，它会等于 0；此时线元素的平方可以化为因而可以将该值视为在此面元素的方向上与平之偏差的一个指针，将它乘以，则便成了枢密顾问高斯所称的面曲率。 先前提过，需要有 n 个位置函数才能确定上述 n 元流形的度量关系。因此，每点若给定个面方向的曲率，便可以定出 流形的度量关系

42、；但有个条件：这些曲率值之间不能有恒等式的关系，而确实如此，一般不会发生这种情形。这样一来，这种能以微分平方式的方根表线元素的这种流形，其度量关系因此以完全独立于变量的选择表示。我们也可以用同样的方法处理一种线元素表现的稍微复杂的情形 线元素表成微分的四次方根。在这种更一般的情形下，线元素无法化成微分式的平方和的根号，因此线元素平方与平的偏差度将会是二阶的微量，而非如其它流形是四阶微量。这种特性，不妨叫做最小部份的平面性。然而就目前而言，这些流形最主要的特性，也是我们之所以要加以研究的原 因，是二维流形的度量关系可以用几何上的曲面来代表，而多元流形的度量关系可以化为自身所包含的曲面。我们将再做

43、讨论。 3.在曲面的了解上，内在的度量关系，虽然只和曲面上路径的长度相关，却往往和曲面与其外部点之相对位置扯上关系。然而我们可以自外在关系中把曲面抽出，方法适用一种不改变面上曲线长度的弯曲；亦即曲面只能加以弯曲，而不能伸缩，因弯曲而产生的各种曲面都视为相同。因此，任何的圆柱面和圆锥面和平面是相同的，因为只要将平面弯曲便可形成锥和柱，而内在度量关系不变，所有关于平面的定理 整个平面几何学，都仍然 有效。反过来说，球和上述的三种面则根本上不同，因为由球面变成平面势必要伸缩。根据前面的研究，二元量的线元素若能表为微分平方式的方根，如曲面，则其每一点的内在度量关系决定于（面）曲率。就曲面而言，这个量可

44、以想象成曲面在这点的两个曲率积；或者由另一角度看：这个量乘以一个由测地线形成的无限小三角形（随着其直径的缩小），会等于内角和减去两直角（用弪度量表示即内角和减 ）的一半。第一个定义预设了两个曲率积在曲面弯曲下不变的定理。第二个定义则假定一个无限小三角形，其内角和减去两直角会正比于面积。为了在 n 元流形中给定点的 一个面方向（ surface direction）上，替曲率下一个可以理解的定义，我们先提过，发自一点的最短曲线决定于其初始方向。同理，如果将所有起自一点而处在面元上的向量延长成最短曲线，则可定出曲面；而这曲面在这定点上有一定的面曲率，此面曲率等于此点的 n 元流形沿曲面方向的曲率

45、。 4.把这些结果应用到空间几何上之前，我们还需要对平的流形（亦即，线元素平方可以表为全微分的平方和的流形）做一些通盘的考虑。在一个平的n 元流形上，每一点，每一方向的曲率皆为 0；然根据前面的研究，如果要决定其度量关系，必须知道每 一点上有 个独立曲面方向，其曲率为 0。曲率处处为 0 的流形，可以看成是曲率处处为定值的流形的一种特例。曲率为定数的流形，其共同特征如下：其上的图形可移动而不必伸缩。很显然，每一点为每一方向的曲率如果不全相同，图形便无法自由地平移、旋转。反过来说，流形度量的性质完全由曲率决定；因此在任一点的每个方向上的值与在另一点每个方向上的值完全相同，因此可以从任何一点开始。

46、所以在曲率固定的流形上，图形可以摆在任何位置。这些流形的度量关系仅决定于曲率之值；顺便由解析的观点看，此值若记为 a，则线元素可表为 5.常曲率的曲面可 用来做几何的例证。我们不难看出，常曲率为正的曲面，必可滚贴到半径为该曲率倒数的球上。为了了解这种曲面的各种变化，我们取一个球，以及在赤道与球相切的旋转面。常曲率比球大的这类曲面，会从球的内部与赤道相切，类似轮胎面的外侧；它们也可以滚贴上半径较小的球带，但可能不止一层。 曲率比球小，而仍为正的曲面，可由下面的方法得到：用两个大半圆切割较大半径的球面，再把切割线贴合起来。曲率为 0 的曲面，是一个在赤道与球相切的圆柱；若曲率为负，则类似轮胎面的内

47、侧，在赤道与球外切。如果把这些曲面看成面块（ pieces of surface）在其中移动的所有可能位置，正如空间是物体的位置一般，则小面块可在曲面上自由移动而不必伸缩。曲率为正的曲面可以让面块自由移动而不必弯曲，如球面，但曲率为负就不行了。除了这种小面块对位置的独立性之外，在曲率为 0 的曲面中，有一种其它曲面没有的特性，即方向独立于位置。 III. 物理空间中的应用 1.研究了 n 元量的度量关系的决定方式之后，我们可以给出决定物理空间的度量关系的充要条件；但大前提是，先假设线长是独立于其形状，且线元素可表成微分平方式的方根 因此极微小的状态可视为平的。 首先，这些 条件可以表成为在每一

48、点有三个面方向，它们的曲率为 0；因此，只要三角形三内角和等于两直角，物理空间的度量关系便确立了。 但其次，如果我们跟欧几里德一样，假设不止线独立于形状，而体亦然，则结果将是曲率处处为定数；而知道一个三角形的内角和，便知道所有三角形的内角和。 第三，也是最后，与其假设线的长度独立于位置、方向，亦可假设长度与方向独立于位置。基于这个观念，位置的差或变化，是用三个独立单位表示的复数。 2.在前述讨论中，我们先将延展性（ extension）或区域性（ regionality）的观念和度量关系分开，然后发现同一个延展关系下可以容许不同的度量关系；我们选择了一套特殊的度量，使得物理空间的度量关系得以由此确定，而所有相关的定理可由此推得。接下来要讨论的是，这些假设的产生，是如何依赖经验。在这里，延展关系和度量关系差别就大了：前述第一种情形的可能状态是离散的，其得自经验的理解虽未必完全确定，却是准确的；而第二种可能状态是连续的，经验的取决准确率再高，仍是不准的。这种分别，在将经验扩充到观察所不能及的大范围和小范围时，会特别重要，后者会在观察能力之外越来越模糊，但前者不会。 物理空间的 建构推广到超乎量度之大时，注意无界与无限之别，一个是延展关系的，一个是度量关系的。空间是一个无