1、高等数学 B（1）教学辅导张彩芬一、考核内容和要求：内容是初等数学知识、函数、极限、导数和微分、定积分和不定积分、微分方程。考核对基本概念、思想方法、基本技能、基本运算和思维能力作全面测试。考核要求有三个层次，由低到高顺序排列，三个层次分别为：了解：对所列知识的含义有初步的认识，知道有关内容，并能直接运用。理解、掌握：对所列知识的含义有较深刻的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用有关知识解决问题。（六）试题类型及试卷结构：选择题、填空题、计算题、应用题。四种题型分数的百分比约为：15%；15%；60%；10%。二、课程考核内容和要求第一部分 函数考核目的：掌握和理解函数要领和理论。考核知
2、识点：函数概念、函数简单性质、复合函数；反函数；基本初等函数；初等函数考核要求：1、理解函数概念，会求函数的定义域和函数值；2、会判断函数奇偶性、单调性；3、理解复合函数概念，掌握复合函数的复合过程；4、理解反函数概念，会求单调函数定义域和函数值；5、了解基本初等函数的概念、解析式，会求其定义域、值域、主要性质和图像。第二部分 极限考核目的：理解极限概念和理论，为学习一元微积分打下基础。考核知识点：数列的极限，数列极限的运算性质，x+、x、xa+、xa-、xa 时函数的极限、极限四则运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量；连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。考核要求：1、
3、了解数列限的描述性定义，给定一个简单数列，会判断其收敛性；2、理解函数极限的描述性定义，会求 x+，x，xa +、xa -，xa 时函数的极限；3、掌握极限四则运算法则；4、掌握并会应用两个重要极限；5、理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系，了解无穷小量的比较；6、理解函数连续的概念。掌握 y=f（x）在 x=a 处的连续性判断，掌握概念初等函数的连续性求极限的方法；7、了解闭区间上连续函数的性质。第三部分 导数和微分考核目的：掌握导数和微分概念和理论。考核知识点：导数概念及几何意义，导函数，几个基本初等函数的导数。函数和、差、积、商的导数，复合函数和反函数的导数，高阶导数。微分中值定理，洛
4、必塔法则，函数的单调性，函数的极值和最大（小）值，较简单的函数图象的描绘，微分的概念及其几何意义，初等函数的微分。考核要求：1、 1、 理解导数的概念及其几何意义，会求曲线的切线方程及法线方程。2、掌握求导法则及基本初等函数的求导公式。3、了解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法。4、了解微分中值定理。5、掌握用洛必塔法则求“0/0 ”和“/ ”未定式的极限的方法。6、掌握函数单调性的判别法和求极值、最大（小）值的方法。7、了解微分的概念及其几何意义，会求初等函数的微分。第四部分 定积分与不定积分考核目的：掌握定积分与不定积分概念和理论。考核知识点：定积分的概念与性质；原函数、不定积分、不定积分
5、的性质；基本积分公式、直接积分法、换元法、牛顿莱布尼兹公式；定积分在几何上的简单应用（平面图形的面积、旋转体体积） 、微分方程的基本概念。考核要求：1、了解定积分的概念，掌握定积分的性质。2、理解原函数与不定积分的概念。3、掌握不定积分性质与基本积分公式。4、掌握计算定积分的牛顿莱布尼兹公式。5、掌握定积分在几何上的简单应用，会求平面区域面积、会求旋转体体积） 。6、了解微分方程的概念。第一章 函数一、关于函数定义1、 1、 两个函数相等的条件（两要素：定义域、对应规则，这两条只要有一条不满足两函数就不同）例：判断下列各对函数是否相同（1） f(x)=ln(x2-4)与 g(x)=ln(x+2
6、)+ln(x-2)（2）f(x)=sinx 与 )sin()ttg解：（1）f(x) 的定义域 x2-40，即 x2。g(x)的定义域 02x，得 x2 。由于 f(x)、g(x)的定义域不同，因此两函数不同。（2）f(x) 的定义域 ),(，g(t)的定义域 ),(,且 g(t)=sin(2+t)=sint,说明了 f(x)、g(t)的定义域及对应规则都相同（註：函数是否相同与变量所用字母无关） ，因此 f(x)与 g(t)相同。2、 2、 求函数定义域（1） （1） 分式函数的分母不为零。即：0)(,xQXP（2） （2） 偶次根式下的式子非负。即： 2fk（3） （3） 对数函数的真数必
7、须取正值。即：log ax,(a0,且 a 1),x0（4） （4） 正切符号内的量不能等于，即：tgx, x 2k.（5） （5） 余切符号内的量不能等于 k，即：ctgx, x .（6） （6） 反正弦、反余弦符号内的量，其绝对值小于或等于 1, 即：arcsinx, arccosx, 1x.（7） （7） 若函数表达式是有限项的四则运算组成，应取各项定义域的交集（8） （8） 分段函数定义域取各表达式定义域的并集（9） （9） 复合函数的定义域应使中间变量有意义且中间变量的取值落在外层函数定义域内。例：求下列函数定义域（1）y= 56arcsin6x(2) 201)(2xxf（3）若 f
8、(x)的定义域是 0，1，求 f(lnx) 、f(log 0.1x)的定义域.解：(1)由 150x得 16x即 6x。（2）D= 2,2,(,即 2。（3）lnx 0, lnx 单调递增， 则 ,1e；log 0.1x 1,0,log0.1x 单调递减，则1,.x。3、 3、 求函数值例 1：已知 xf)(，求 f(0), f(1), f(u), f(-x),f(x+1), f(x)+1, )(,xf。解：,1)()(,1)(,01,0 xfuf ,2,2)()( xxxxf xfxf 1)(1,1)(，由此看出：,)(,)( ffff例 2：已知 xf1，求 f(0).解法 1：已知 )1
9、(2)(，设 t=x+1,则 ttf2, 0(f解法 2：设 t=x+1,则 x=t-1, tttfxf )1()1(, 2)(f例 3：设2cos)(xf，求 f(1), f(2), ),(2ff(-x)解:这是分段函数，x 在不同区间上 f(x)的表达式不同。f(1)=cos1; f(2)=2+1=3; ,1)(,0cos)(ff2121)cos()( xxxf例 4：f(x)=x 2+1,g(x)= , 求 fg(x), gf(x)解: fg(x)=g(x) 2+1= 1x, gf(x)= 1)(2xf二、函数的性质（1） （1） 有界性：若存在正数 M，使 Dx，有 Mxf)(，称 f
10、(x)在 D 上有界。例如： xf)(在1，2上有界，但在-1，1上无界。（2） （2） 奇偶性：设 D 为对称区间-a,a , 若 x，恒有 f(-x)= -f(x), 称 f(x)是奇函数；若 ，恒有 f(-x)= f(x), 称 f(x)是偶函数。例：讨论下列函数的奇偶性（ 1）f(x)= 1xa(2)f(x)=ln(x+ )12x解: （1）f(-x)= )(fax 1(xaf是奇函数。(2)f(-x)=ln(-x+ x221)ln)()(1l1ln2 fxx)l()2f是奇函数。註：（1）讨论奇偶性应在对称区间上。（2） （2） 奇偶性判别除了用定义外，还常用下列性质：）奇函数之和（
11、差）仍是奇函数；偶函数之和（差）仍是偶函数。）奇函数之积（商）是偶函数；偶函数之积（商）是偶函数。）奇函数与偶函数之积（商）是奇函数。（3） （3） 周期性：若 ,Dx有 f(x+T)=f(x),称 f(x)是以 T 为周期的周期函数。显然 nT(n= ,21) 也是 f(x) 的周期。一般，周期是指 f(x+T)=f(x)成立的最小正数。例：设周期函数 f(x)是以 T 为周期的周期函数，证明 f(ax) (a0) 是以 a为周期的周期函数。分析：要证明 fa(x+ a)=f(ax)证明:因为 f(x)是以 T 为周期的周期函数，所以 f(ax+T)=f(ax),于是 fa(x+ aT)=
12、f(ax+T)=f(ax)。故 f(ax) (a0) 是以 a为周期的周期函数。如：sinx,cosx 是以 2为周期的周期函数，tgx,ctgx 是以 为周期的周期函数。因此 y= sin3x 的周期是 3, y= tg2x 的周期是 2。（4） （4） 单调性： )(,(), 2111 xffxfxDx 则时 ， 总 有当 ；,(), 221 fx 则时 ， 总 有当；註.单调性也可用导数符号判断： )(,0)(,ffDx则总 有; ,0)(,f则总 有 ;三、复合函数首先要熟悉六个基本初等函数的形式：（1） （1） 常数函数 y = C（2） （2） 幂函数 y = x a（3） （3）
13、 指数函数 y =ax (a0 且 a 1)（4） （4） 对数函数 y =logax (a0 且 a )（5） （5） 三角函数 sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cscx（6） （6） 反三角函数 arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx复合函数就是以这六个基本初等函数复合而成的函数。如：y=lnsin x是由 y=lnu, u=sinv, v= x复合而成。其定义域由0sin0),21(,)(,xkkx)1(,22kx, , 。四、初等函数由基本初等函数经有限次四则运算、复合运算并能用一个解析式表示的函数关系称为初等函数。註. 初等函数包
14、括了复合函数，反之不然。如： 2xy是复合函数，也是初等函数；但2xy只是初等函数，而不是复合函数。练习题：高等数学P40/自我测试题。第二章 第二章 极限与连续一、极限概念1、数列极限：对于数列 ,na若当 n 无限增大时， na无限趋进于某一确定的常数 A，则称A 为数列 na的极限。2、函数极限：对于函数 f(x)，若在自变量的某一变化过程中 ) (0xx或当 ，f(x) 无限趋进于某一确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) )(0x或 的极限。3、单侧极限：左极限xf)(lim0， （自变量 x 从 x0 左侧趋于 x0 时函数的极限）右极限xf)(li0， （自变量 x 从 x0
15、 右侧趋于 x0 时，函数的极限）4、单侧极限与双侧极限的关系： f)(li)(limf)(li0fx=A 。例：设xxf21cos)(，求 )(li),(li23fxf。解： 表 达 式 一 样 ，不 是 分 界 点 ， 左 、 右 侧30 21coslim)(li3xfx。f(x)在 达 式 不 一 样 ，是 分 界 点 ， 左 、 右 侧 表2x，0lili22fx，）（ 12lim)(li22xfx0x处的左、右极限不相等，因此)(li2xf不存在。註.用左、右极限来判定极限的存在性，一般只对分段函数在分界点处求极限时使用。二、求极限运算1、四则运算：设 vuli,皆存在，则)0lim
16、lili (li,li)li(vvucuc（ 其 中 为 常 数 ） ，特 别2. 连续函数求极限代入法： )(lim00xffx，如： 1lim1x3.有理化：例 1.求 )3(li2xx型 ）(解：231lim3lim2 xxx例 2.求 12li0x型 ）0(解：12li12)lilim0xxxxx4.消去零因子：例. )(lim)(li23li 22xxx5.自变量趋向于无穷大的情况： nbaxbxbannmx 当当当0li 11 可用分子、分母的最高次幂同除以分子、分母。例 1. 235li235li 44 xxxx例 2.10710371037 2)2(lim)2(limxxxx例
17、 3.1li1li332xxx6.两个重要极限：（1）1)(sinlm,sinlsinlm000xxxx（2） exeee xxxn )(10)(0 lim,)li)1(l)1(li 例：（1）1sinlsilxx(2) 3cos1lim3slicos3inlm3li 0000 xtgxx(3) 93sin)(lm3sinl2020xxx(4) 1sil2)(li 0uux(5) 420)1(lim)1(li exxx(6) 21)(li)(li)(li exxxxxx (7) 12)(31lim)21(3li)213(lim exxxx(8) ennnnn 221)1()1(lili7.无穷
18、小量、无穷大量1） 1） 定义：以 0 为极限的量称为无穷小量。如： ,lim0tgx称当 x时 tg是无穷小量。,snx称当 时1sin是无穷小量。2） 2） 性质：（）非零无穷小量与无穷大量互为倒数。例如：当 0x时， x是无穷小量， x1是无穷大量。当 时， 是无穷大量， 是无穷小量。例：12lim12li00xxx（）有限个无穷小量之积（和）仍是无穷小量。例： 03lim2lili)3(li 222 xxxxx註.若是无限个无穷小量之积（和）不一定是无穷小量。如： 22222 lili1li)1(limnnnn事实上，利用求和公式1)()(m（）有界量与无穷小量之积仍是无穷小量。例：
19、,0sinlx其中 xsin是有界量，当 x时， x是无穷小量。,01sinlm0xx其中 x1sin是有界量，当 0x时， x是无穷小量。注意liil xx。 01sinlm1silsin1lm0020 xxx註. 有界量与无穷大量之积不一定是无穷大量。如： .1sinlm0x（）无穷小量的比较：设 )(xf、 g都是无穷小量，若,)(lixfg称 )(是比 )(f高阶无穷小量（即：比 趋于 0 的速度快。 ）或称 是比 低阶无穷小量。若cxfg(,)li为非零常数）称 )(xg与 f同阶无穷小量。特别，当,1)(limxfg称 )(与 是等价无穷小量。8.洛比塔法则设 )(lim0)(li
20、mxfgxf 型 ， 且型 或是存在，则 )(li)(lixfgxf。例 1.132li3li23li 2xx）（ ）（型 ）（例 2. ）利 用 两 个 重 要 极 限 之 一型 ） ）（ ）（型 ） (293sinlm29293cosli)0( inl1li0(cos1li000220xxxxx例 3. 21coslimcosin2elcosin2elmsin1ecl0( isecli1cslisncliisnl 30002 20203030 xxxtgx xxxtgxxx）（ ）（型 ） 先 化 简註.1) 在使用洛比塔法则过程中，能化简的尽量先化简。2）若 )(li0gfx不存在，洛比
21、塔法则无效。例如： 不 存 在 。因 为 xxxsin1coli,sin1colicosin正确解法：climili xxx3） 3） 其它不定式的转化“ gf”=“ 0”型 型01gf或 “ gf”=“ 0”型 型fg1“ ”=“ ”型，通分 型 或 型幂指型“ gf”= “ 0”或“ 0”或“ 1”，先取对数转化为“ 0”型，再转化为型 或0型。例 1： 0sinco2lim)cos(sin1lm0( cossin1lm)i(sli0(nsili()il 00 xx xx xx型 ） 型 ）型 ）例 2：)(li1lili1li(li 020000 xxxxxx 化 简）（ ）（型 ）（型
22、 ）例 3：tgx)(lim0型 ）(这是幂指型的，先取对数：设 ,1lnl,)1(xtgyxytg则01sinlmsil sinlmcs1lilim1lni(llinli00 2020000 xx xxcttgxtgy xxxx ）（ ）（型 ）（型 ）于是 1l)1(i 0lnimlneeyyyxtgx。三、连续性1、连续性概念：若 )(li00xffx，称 f(x)在 0x连续。连续性包括三个方面：）f(x)在 有定义。）f(x)在 有极限。）f(x) 在 0x的极限值等于函数值。2、间断点：若 f(x)在 0有下述三种情形之一，则 0x是 f(x)的不连续点，即间断点）f(x) 在 0
23、x无定义。）f(x)在 0x无极限。）f(x)在 的极限值不等于函数值。3、间断点的分类：f(x)在 的左、右极限皆存在，但 f(x)在 间断，则 k是 f(x)的第一类间断点；其余的间断点称为第二类间断点。例： xef1)(，在 x=0 处无定义，x=0 是间断点；且 xe10lim，不存在；故 x=0 是 f(x)的第二类间断点。而 xgsin)(，在 x=0 处无定义，x=0 是间断点；但 1sinl0x，极限存在；故 x=0 是g(x)的第一类间断点。4、几个结论1) 1) 初等函数在其定义域上连续如： 1xy当 时有定义，连续。註.分段函数不是初等函数，判断其在分界点处的连续性需用左
24、、右极限。例如：求 0)(xef当当的连续区间。解：当 1,0x是初等函数，有定义，连续；当 xefx)(,0是初等函数，有定义，连续； 是分界点， 1limli1)(lim)(li000 exfx，左、右极限相等，f(x)在 x=0 处连续；所以 f(x)在 ,上连续。2）闭区间上连续函数性质（）最值存在性 （）零点定理 （）介值定理第三章 导数与微分一、一、导数与微分概念1、 1、 导数定义设 y=f(x),则 00)(lim)(lim)( 0xfxffxf x 例：已知 f(x)可导， f,求fli0。解：已知 f(x)可导，则 )()()(li0 fxx。2、微分设 f(x)在 0x可
25、导，则 f)(称为 f(x)在 0的微分，记作 .)()(dxfxfdy例： .,54324dyy求解： xxdx)423(3、高阶导数 ,)(,)()3)2 yxyydx，)1()(nn例： .,542)5(434 yyy 求解： xx 612x，.0,1)()(二、二、求导运算1、 1、 求导基本公式、求导四则运算要熟记。2、 2、 复合函数的导数设 )(),(),( xufyxufy则 ；若 ).(),( xvfv则对复合函数求导，首先要分析有几层复合关系，由外向内一层层分解。如： 则),sin(lxyxxy)cos(ln)(lcosn。l21)(l2,2 则221),1ln( xyxy
26、x则 .3、 3、 隐函数求导例：设 .,ln2dyxarctg求解：方程两边关于 x 求导，视 y 为 x 的函数 222221)(1 ,)()(1yxyxyx得 ,。4、 4、 取对数求导取对数求导法主要用于幂指型或较多项连乘积及商的式子的求导。例 1： dxyxy， 求3)4(21。解：先取对数， )4ln()3l()2ln(1lln xy ，两边求导： 43213)()( xx41321)4(31xxxy例 2： .,dyytg求解：先取对数， ,lnlt两边求导： )ln(sec)ln(sec,nsec1 22 xtgxtgxyxt5、 5、 参数方程函数的求导设函数 )(fy由参数
27、方程 )(ty)t表示，则.)(tdy例：设 124,lntdxtx求解： 21)2(1,)2(4 333 ttt tdxyttxyd三、三、可导、可微、连续的关系1） 1） 一元函数可导 可微，即： xyyx。 （註：多元函数不成立）2） 2） 0)(xfy在可导 0)(xf在连续。反之不一定成立。可见，连续是可导的必要条件。3） 0)(xfy在不连续 0)(xf在不可导。反之不一定成立。练习：学习指导P31/自我检查题， 高等数学P79/158 习题三。第四章 导数的应用一、中值定理（条件、结论）1、 1、 罗尔定理条件：（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在（a,b）内可导（3）
28、f(a)=f(b)结论：在(a,b) 内至少有一点 .0)(,f使2、 2、 拉格朗日定理条件：（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在（a,b）内可导结论：在(a,b) 内至少有一点 .)()(,abff使推论 1、 .)(,0)(cxff则推论 2、 .)(gg则3、 3、 柯西定理条件：（1）f(x)和 g(x)在a,b上连续 （2）f(x) 和 g(x)在（a,b）内可导(3) 0)(xg.结论：在(a,b) 内至少有一点.)()(, agbfgf使二、导数的应用1、判别单调性：设 f(x)在(a,b)内可导，如果在(a,b) 内， )(,0)(xff则单调增加；如果在(a,b)
29、 内， )(,0)(xff则单调减少。例 1：证明 当 arctgx时 ， 。证明：设 f(x)=x-arctgx,则 ,01)(2 xff(x) 单调增加，当arctgxrctxfxfx,0),0(0即时 ，。例 2：证明 当 )1ln时 ， 。证明：设 f(x)=ln(1+x)-x,则当 ,01)(xf时 ，f(x) 单调减少，xfxf)l(,0)(即。2、函数单调区间求法：先求出 f(x)的一切驻点和不可导点，用这些点把函数的定义区间分成若干子区间，然后判断 在 子(f区间上的符号。3、求函数极值点：先求极值可能点（驻点和不可导点 x0,但 f(x)在 x0 有定义） ，如果在 x0两侧
30、，导数 )(xf改变符号，则 x0 是 f(x)的极值点。若在 x0 两侧，导数 )(f符号左正右负，则 f(x0)极大；导数 f符号左负右正，则 f(x0)极小。4、 4、 判别曲线凹凸性：设 f(x)在(a,b) 内二阶导数存在，如果在 (a,b) 内，（1） )(,(xff则在(a,b) 内是凹的；（2） )(,(ff则在(a,b) 内是凸的。註 5、曲线凹凸区间求法：先求出使二阶导数为 0 或二阶导数不存在的点，用这些点把函数的定义区间分成若干子区间，然后根据 在 子)xf区间上的符号确定曲线凹凸性。6、 6、 求曲线拐点：先求出拐点可能点（使二阶导数为 0 或二阶导数不存在的点 x0
31、, 但f(x)在 x0 有定义） ，如果在 x0 两侧，二阶导数 (f改变符号，则（x 0，f(x 0)）是拐点。例：求 )1(432y的单调区间、极值，凹凸区间、拐点。解：函数定义域是 ),1(),(，0)1(432yxy令得驻点 x=3,x= 1(註：x=1 时， y不存在，但 x=1 不在定义域内)。,)(3x=1 时， y不存在。列表如下：x )1,-1 (-1,1) (1,3) 3 (3,+)(f+ 0 - - 0 +- - + +xf极大值f(-1)=-2极小值f(3)=0(註：点 x=1 不在定义域内，无须讨论)在 ,3(1,上，曲线单调增加；在（-1，1） ),1(上，曲线单调
32、减少。极大值f(-1)=-2；极小值，f(3)=0 。在 ),(上，曲线凸；在 ),(上，曲线凹；无拐点。7、 7、 求曲线渐近线(1)(1)若 （ 常 数 ） ， 则CxflimCy是曲线的水平渐近线。例如： ,0xe故 y=0 是 xef)(的水平渐近线。,1li故 y=1 也是 f的水平渐近线。(2)(2)若 ， 则)(li0xfx=x0 是曲线的垂直渐近线。例如： ,mxe故 x=0 是 xef)(的垂直渐近线。又如： 1)(f有垂直渐近线 x=1; tgf)(有垂直渐近线 2kx.三、最值问题1）求函数在闭区间上的最值：比较极值可能点及闭区间端点处的函数值，其中最大者为最大值，最小者
33、为最小值。例：求 32)(xf在-1，1上的最值。解： ,1极值可能点 x=0.比较:f(1)=1,f(-1)=1,f(0)=0,故 .0)(,)(minmaxfff2）应用题（几何应用题为主）：根据题意列函数式；求驻点；判断是否极值点；若驻点唯一，可根据实际意义断定该极值点是最值点。例 1：在底边长为 a,高为 h 的直角三角形中，嵌入有最大面积的矩形，求此矩形的长和宽。解：设矩形的长和宽分别为 x、y, 则矩形的面积 s=xy, 由于 x、y 满足： )(,xahyahy， ,2,02,0),2(),( axsxsahs 驻 点得令当 2,0)(,2;0)(,2axsaxsax 当是极大值
34、点，且驻点唯一， 2ax是最大值点。于是最大面积的矩形的长和宽分别是 ,hy。例 2：一长方形内接于由抛物线 y=x2 及直线 y=h(h0)围成的图形内，求面积最大的长方形的长和宽。 y解：设长方形的长为 2x，宽为 h-y=h-x2, h则点（x,y）在抛物线上，长方形面积为 S=2xy=2x(h-x2) (x0),s=2(h-x2)-2x(-2x)=2h-6x2,令 s=0，驻点 ,3hx当 03;0,shxs， x故 x时， S 取极大值。由于驻点唯一，故 是 S 的最大值点。因此当长方形的长为 2 ,3h宽为 时，长方形的面积最大。第五章 第五章 不定积分一、原函数概念若 ),(xf
35、XF称 F 是 f 的一个原函数。例 1：已知 的则 )(,12xfCd一个原函数是 21x。例 2：已知 f(x)的一个原函数是 3则 f(x)的导数是（ 6)3，或称 f(x)是 6x 的一个原函数。二、不定积分性质（1） ).()(,)()( xfdfCxfdf即：求导与求不定积分互为逆运算。例： ,cos)(sxcos)s(。（2） .)dxfkdf即：常数可提出积分号外。（3） .)() dxggx 即：代数和的积分等于积分的代数和。三、不定积分的几何应用已知曲线的切线斜率，求曲线方程。例：已知某曲线在点（1，2）处的切线斜率是 x1，求该曲线方程。解：曲线 Cxdyln1,将点（1
36、，2）代入，得 C=2，所求曲线 。四、不定积分的计算方法基本积分公式、积分性质要熟记。1、1、直接积分法 适当变形应用基本积分公式例 1：Cedxexx )5(ln1)5(5例 2：Carctgxdxdxxx 11)1()( 22222、2、凑微分方法： )()( xdfdxf 常见凑微分类型：（1） )()(1)(bafadxbf2222 xda )()(1)( bafkadxbxf kk例 1：Cxx23551)2()2(例 2： ddx34333 )()(1（2） fxf ln)()(ln例： Cxttxd lnll（3）xdefef)()(例 1： arctgdxxx221例 2：C
37、arctgedeee xx21)(（4） xfxdf cos)(sin)(coins例 1： Cx1inc2例 2：Cxxdx 3233 )cos(in23cosi)(osin（5） dctgxfdtgftgftgxf )(,)ec)(2例 1：xctdxd 2sin2sio2例 2：Cxtgtdxtgxx 2ln2coscosinsi（6） darctgxtfdxarctgf ff )(1)( iin2例 1： Cgrtacx 221例 2：Cxarctgxdxdxd 2361)23(16)23(1323、第二换元积分法（去根号）1） 1） 被积函数含 ,mnba（根号里是一次式） 。可设
38、kbaxt，其中 k 是m、n 的最小公倍数。例 1：求 dx34。解：设 ,t则 x=t3-4,dx=3t2dt,原式= cxxctdttdt 323525423 )4(9)(93)(例 2：求 3x。解：设 ,6t则 x=t6,dx=6t5dt, cxxcttdtt dttdtttt 1ln632)1ln236)1( 1)(6)(2 2335（原 式2) 被积函数含根号，根号里是二次式，不含一次项。可作三角代换。如：被积函数含 ,2xa可设 ,sita；被积函数含 ,可设 )2,0(tg；被积函数含 ,2ax可设 ,secax。例：求 d31。解：设 x=tgt,则 dx=sec2tdt,
39、 cxxctt tdtg 232535 )1()1(se1c secse原 式另解：（凑微分法） cxxxdxd d 2325212232 1)()()()()1()(1原 式4、分部积分法分部积分公式： vuvu。当被积函数是两不同类型函数之积，可用分部积分法。常见类型有：幂函数与三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数之积；指数函数与三角函数之积等。形如： xnsi；arctgxn； xne； nl； xesin等等。例：cxxdxdxxxd 222 1arcsin1)(arcsin1arcsinarcsinu,v的选择，一般是：1） 1） 当被积函数为幂函数与三角函数或指数函数之积，选
40、u 为幂函数，v 为三角函数或指数函数。2）幂函数与反三角函数或对数函数之积，选 u 为反三角函数或对数函数，v 为幂函数。3）被积函数为指数函数与三角函数之积，一般选 u 为三角函数，v 为指数函数；也可以反之选择。例 1：求 xd2cos解：选 u=x,v=cos2x, cxxdxx )2os1sin(21)sin2i(1in例 2：求arctgd2解：选 u=arctgx, v=x2, cxarctgxdxarctgx dxarctgxarctgxdrtx )1ln(631)1(6312( )(3131 2223 232例 3：求 ln解：选 u=lnx, ,xvcxdx )32ln(3
41、2l2l。例 4：求 xesin解：选 u=sinx, v=ex, xdexexdexedx sin)cos(incossinii 移项，得ex)co(21sn。例 5： cxcttdtdtt dttxx 1)ln(lnln1ln)()l( ,例 6： )os(ln)si(l)o(l)si(l)co(l)cos(l dxxxx移项，得 cdin2sn5、有理分式函数的积分有理分式函数 )()(xQPLmn,其中 )(,xQmn分别是关于 x 的 n 次 、m 次多项式。若L(x)是假分式（即：分式的分子的最高次幂大于或小于分母的最高次幂） ，应先将假分式化为多项式与真分式之和。真分式（即：分式
42、的分子的最高次幂小于分母的最高次幂）再化为最简分式之和。最简分式：1） axA； 2） kaxA)(；3） qpxB2； 4） qpB；其中 A、B、p、q 为常数； 02,即：分母的二次三项式在实数域内不可再因式分解。1） 、2） 、3）的积分可用凑微分法解决。例 1： cxdxdxxxdxd 34ln)314()4(3)(472註.形如 cba，可根据分母判别式 acb2的不同情况，分别用不同方法进行计算：()当 =0，分母可完全平方，后凑微分： cBAxxdcbxad 222 )(1)() 当 0，分母可因式分解，后拆项、凑微分： )()()( 112 DxCdxdEDCcxBxAFln
43、ln111() 当 0，分母可先配方，后换元、利用基本积分公式： cartgGtdxdGcbxad 121222 )(例 2：xx )()(註.形如 cbadcbadcbxad 222(1；即：分子先凑成分母的微分，其余转化为上述情形。例 3： cxarctgxxdxdx )1(52ln2152)(21)6(26、三角函数类积分1） 1） 被积函数形如 sinmx.cosnx (mn) 。当 m、n 中至少有一个是奇数，如： sin2k+1x.cosnxdx=sin2kx.cosnxd(-cosx);当 m、n 皆为偶数，可利用： 2cos1cs,2o1si222） 2） 被积函数形如： ;)
44、cos()cos(21)sin(i( xnmxnxcom例 1：;)i()i()co(i(cxxdx xd )os81cs6(cos)(cos cos(inin75 52523 例 2： cxd 2s418s62in(i213i例 3：ctgxtxtgdx lcoscosin1例 4：txtgdxtx 2ln2s2sisi三角函数类的积分比较灵活，需先观察被积函数的类型，利用三角恒等变换，往基本积分公式靠拢。小结. 积分方法的选择：首先观察被积函数的类型，考虑（1）能否凑微分；（2）能否分部积分（尤其是当被积函数为两不同类型函数之积） ；（3）若被积函数是无理函数（含根式） ，可考虑作变量替换，去根号；（4）若被积函数是有理分式函数，先观察是否最简分式，若不是应先转化，后凑微分。第六章 定积分及其应用一、 一、 定积分定义若iniixf10)(lm存在，且极限值与区间的分划、点 i的取法无关，则称 f(x)在a,b上可积。记iniibaxfdf 10)(l)(。几何意义：当 f(x)0, badf表示以曲线 y=f(x)为顶的曲边梯形面积（即：由曲线y=f(x)及 x 轴、直线 x=a、x=b 所围区域面积） 。二、连续函
