1、第三章 常见曲面习题 3.11.证明：如果 ，那么由方程220abcd220xyzaxbyczd给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得，由 ，得到方2222()()()xaybzcc22ac程表示球心是 ，半径为 的球面。,abd2.求过三点 的圆的方程。(30),2(0,1)解：空间中的圆可由过三点 的一个球面和一个平面的交线表3,2(0,1)示，设过该三点的球面方程为 ，得到2 0xyzaxbyczd930,421adbc球面方程为 ，其中 任意。2294(1)032dxyzxydzd过该三点的平面方程是 ，所以所求圆的方程可以为226()(9)3(4)6(1)0,
2、360xyzdxydz其中 任意。d3.证明曲线 24324,1,(,),1txyttz在一球面上，并此球面方程。证明：因为曲线满足23222 2444242()()()111()tttxyztt yt即 ，所以曲线在一个球面上。2()xyz4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。解（1）选直角坐标系使得定点坐标为 。设定比常数为 。所以(0,),)a0k动点 满足 ，化简有(,)xyz2222()(yzkxyz，2(1)1)k a 当 时，轨迹为平面 。0z当 时，轨迹为球面
3、 。022201kxyzaz（2）选直角坐标系使得定点坐标为 。设常数为 。所以动点(0,),)k满足 ，化简有(,)xyz2222()(xyzaxyza2 444160.kkk（3）选直角坐标系使得定点坐标为 定平面为 。所以动点 满(0,)z(,)xyz足 ，化简有22()xyza24.xya5.曲面 在柱面坐标系 下的方程为 ，求 的直角坐标方程。S(,)Ruv2cosvRuS解：将柱面坐标与直角坐标的关系 代入方程得到,in,yzv2.xyz6.曲面 的直角坐标方程为 ，试求其球面坐标方程。S225xyz解：将球面坐标与直角坐标的关系代入方程得到cos,cosin,sixRyRR即22
4、225,yz2co5.习题 3.21.求半径为 1，对称轴为 的圆柱面方程。23yzx解：圆柱面上的点 到对称轴 的距离是常数 1，所以(,)zyz，即有(,)1,2349xyz222(3)(3)()4.zxy2.已知与圆柱面的三条母线为 求这个,1,1,xyyzz圆柱面的方程。解：先求对称轴，对称轴上的点 到三母线的距离相等，所以(,)z，(,)(1,)(1,1(,1)(,)xyzxyxyz化简整理得对称轴的方程： 。圆柱面上的点到对称轴的距离等于对z称轴上的点 到母线 的距离，所以(0,)y，1(,1(0,)(1,)xyz即 展开得到圆柱面方程222()6xzxy2 3.yzz3.求母线方
5、向为 ，准线为 的柱面方程。(2,4)29,1y解：柱面上的点 一定在经过准线上一点 的母线上，所以,xyz0(,)xz02091,3,4yzxtzt消去 得到柱面方程：0,xyzt221613416246130.yzxyz4.已知圆柱面的对称轴为 ，点 在此圆柱面上，求此圆柱z(,)面的方程。解：圆柱面上的点 与点 到对称轴的距离相等，所以(,)xyz(1,2)，(,1)30(,)41xyz展开整理得 2285482390.yzyzxyz5.求准线为 的圆柱面方程。21,40z解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心 ，母线方向不可(0,)能平行于坐标面 ，可设为 。在准线上取
6、三点 它xOy(,1)lm12,(3,0)2们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径 ，于是r，1(2,0)(,1)(0,)(,)(3,0)(,)2ll lm得 化简有2243(),4mlml显然 所以 。23,0ll0,l,3.l1r因而圆柱面有两个 ，即2(,)(,1)4xyz2()4.xzy6.求以 轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为 的圆锥面方程。z 6解：因为圆锥面以 轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为 ，所以圆锥面非常为z即22tan0,6xy2230.xyz7.求顶点在原点，准线为 的锥面方程。(,),fzh解：锥面上的点 一定在经过准线上某点 的母线上，所以(,)xy0(,)xy
7、z因此得到锥面方程00(,),fxyzhtzt(,)0.hxyfz8.求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。解：设圆锥面的对称轴的方向向量为 ，依照题意对称轴的方向向量与三坐标(,)lmn轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有 (1,0),)(0,1),)(0,1),)lmnllAAA即 ，对称轴的方向向量为 。因此圆锥面上的点 满足(,)xyz，化简得 即有四个圆锥面。22(,)(,)3xyz 0.xyz9.求顶点为 ，准线为 的锥面方程。(0,1)21,45z解：锥面上的点 一定在经过准线上某点 的母线上，所以(,)xy0(,)xyz因此得到锥面方程2001,45,(),yxz
8、tyzt 220510250.xyzyz10.证明：母线方向为 ，与球面 外切的柱面方程为(,)lmn221xyz。22()()0lxynz证明：依照题意知柱面是半径为 1 的圆柱面，对称轴为 所以柱面上的点.xyzlmn满足(,)xyz，由公式 得到22,(,)1lmnl22()ababA，222()()()xyzlxmynzln故柱面方程为 。2222()()(1)0lxmynzlnxyz11.过 轴和 轴分别作动平面，交角 为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。解：过 轴和 轴的动平面方程可设为 它们的交线是y120,.ByCzAz由于两平面的交角 是常数，所以120,.BCz
9、Ax，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：122cosAC，222()()0xyyzx该方程明显是 4 次齐次方程，所以是锥面。12.证明：以 为顶点的锥面方程是关于 的齐00(,)M000(),(),(xyz次方程。证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于 的齐次方程 ，所以将坐标系的原,yz点平移到 ，新坐标系的坐标用 ，则00(,)xyz，0,z故锥面方程是关于 的齐次方程，即关于 的齐次方y000(),(),(xyz程。13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：（1） （2） （3）224,5;xyaz224,();xyz22,0.
10、zxya解：（1）向 面投影的投影柱面方程是 ，在 面上的投影曲线xOy224xyaxOy是 224,0.az在方程组中消去 得到向 面投影的投影柱面方程是 ，在 面上xyOz22yzayOz的投影曲线是22,0.yzax在方程组中消去 得到向 面投影的投影柱面方程是 ，在 面上yxOz22xzaxOz的投影曲线是 22,0.xzay（2）在方程组中分别消去 得到向 面投影的投影柱面方程分别,xyz,zxOy是 2730(,),30(2,).4yzzz在 面上的投影曲线方程分别是,Ozxy27230, 30,(), (2).40y yxzxy（3）在方程组中分别消去 得到向 面投影的投影柱面方
11、程分别,z,Ozy是。4222220,40,0zayaxax在 面上的投影曲线方程分别是,yOxz422222, ,0, 0,0.yzyz14.设柱面的准线 的参数方程为 ，母线方向C(),(),(),xftgthtab为 ，求柱面的参数方程。(,)lmn解：柱面上的点 在过准线上点 的母线上，所以柱面的方程(,)xyz(),()ftt为这就是柱面的参数方程。(),xftlsygzhn,(,)tabs习题 3.31.求曲线 绕 轴旋转所得的曲面方程。21,xyzz解：点 在旋转面上当且仅当它是曲线上点 旋转而来：(,) 0(,)xyz消去 得到旋转面的方程： ，由于曲线只是202201,xyz
12、0,xyz21y的一部分，所以旋转面也是一部分： ， 。01z21xy0z2.求直线 绕直线 旋转所得的曲面的方程。120xyzz解：设曲面上的点 是直线上的点 旋转来的，则(,)0(,)xy000001,2(,)()(,)(1,),xyzxyzxyz消去 得到：0,222 29()()()45(1)yzxyxzxyz整理得旋转面的方程： 22570.yzxy3.求曲线 绕 轴旋转所得的曲面的参数方程。:(),(),()Cftgtzhtz解：设曲面上的点 是曲线上的点 （对应的参数为 ）旋转来的，y0,)xy0t则 000220(),(),(),xftgtzhtyz所以曲面的参数方程可写为：2
13、2()cos,in(02).,xftgtyzht4.证明： 表示一个旋转面，并求它的母线和转轴。21xy证明：方程的形式可改写为 ，发现以曲线 或 为母2()1xyz21,0yzx2,zy线， 轴为旋转轴，就可得到曲面的方程。z习题 3.41.一个椭球面以三个坐标面为对称平面，并且经过三个点 ，(2,4)0,6(2,4)求其方程。解：设椭球面的方程为 ，将三个点的坐标代入得到221xyzabc解得2222416,3,1abcc229,36,abc所以椭球面的方程为 。221936xyz2.求以原点为顶点， 轴为对称轴，并通过两点 的抛物面的方程。z(3,01),2解：设抛物面的方程为 将两个点
14、的坐标代人得到2,xyzab，解得 ，所以抛物面的方程为942,ab9,224.9xyz3.求通过两条抛物线 和 的二次曲面方程。60,xyz240,zyx解：设二次曲面方程为一般方程： 22131223131424340axyayazaxyaz由于曲面通过两条抛物线，所以将 分别代人方程中得到两条抛物线0,xz221114240,0axyaayz23232434,zzzx与给的抛物线方程进行比较得到 214234243 0,6,aa所以曲面的方程为 ，其中 不全为22441324103axzaxy2413,a0。当 时，方程为 ，当 时，方程可化为24a0z24，其中 为任意常数。23xzk
15、yk4.给定方程 2221(0),xabcakbck问当 取异于 的各种实数值时，它表示怎样的曲面？2,解：由于 ，所以0当 时， ，方程表示椭球面；2kc22,0akbck当 时， ，方程表示单叶双曲面；b 当 时， ，方程表示双叶双曲面；22220,c当 时， ，方程表示虚椭球面。ka0kbk5.适当选取坐标系，求下列轨迹方程。（1）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；（2）到一定点和一个定平面（定点不在定平面上）距离之比等于常数的点的轨迹；（3）设有一个定平面和垂直于它的一条定直线，求到定平面与到定直线的距离相等的点的轨迹；（4）求与两给定直线等距离的点的轨迹，已知两直线之间的距离为 ，
16、夹角为 。a解：（1）选直角坐标系使得定点坐标为 。设距离之差为 。所以(0,),)c2b动点 满足 ，化简有(,)xyz2222()(xyzcxyz2().bb（2）选直角坐标系使得定点坐标为 定平面为 ，定比为 。(0,)cczk0,c所以动点 满足 ，(,)xyz22()xyzk化简有 22(1)10.kc（3）以定平面为 面，定直线为 轴建立直角坐标系。所以动点 满足xOyz(,)xyz，于是动点轨迹方程为2xyz22.xyz（4）设两直线异面，以两条定直线的公垂线为 轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为 面，两直线在 面上的投影直线的角平分线为 轴和 轴，建立直角坐xyxy标系，
17、使得两直线的方向向量为 ，两直线分别过点 。所以(cos,in,0)2(0,)2a动点 满足(,)xyz， ,(cos,in,0)(,)(cos,in,0)2222aaxyz展开得 222()sin()cssicsonozzyaax化简得 。sixyz如果两直线平行，即 ，则动点轨迹为平面 。0,0z如果两直线相交，则 ，则动点轨迹为两相交平面： 。axy6.设 是椭球面 上的一点，向量 的方向余弦为 ，且P221xyzbcOP(,)，试证：OPr221.rabc证明：由题意得到点 的坐标为 ，将它代入椭球面方程得到P(,)r即有2221,rrabc221.abc7.由椭球面 的中心 引三条互
18、相垂直的射线，与椭球面分别交于22xyzO，设 ，试证：123,P(1,3)iiOr222131.rabc证明：设三向量 的方向余弦为 ，由上题结论有,2iP,(,)ii由于三向量 两两互相垂直，所以矩221(1,3).iiiirabc1,23iOP阵 为正交矩阵，因而112233从而得到2222211313,1.22213.rabc8.求与椭圆抛物面 的交线为圆的平面。210xyz解：因为椭圆抛物面 开口朝 轴方向，交线为圆，所以平面的法向量z不会平行于 坐标面，可设所求平面为 。Oy:0AxByD由于空间的圆一定是某球面与平面的交线，所以该圆可设为球面与平面 的交线。2220xzaxbcz
19、d交线向 坐标面的投影柱面是相同的，而它们的方程分别为y210,ABD2 2()(1)()0,xyxDacbcycDd比较它们的系数得到，于是 平面方程： 。2210,ABB0,2.A2xzk该平面要与椭圆抛物面相交，将平面方程代人椭圆抛物面方程中得该方程有解，经配方得到 满足：21,xykk1.0习题 3.51.求单叶双曲面 上过点 的直母线。221496xyz(2,34)解：单叶双曲面 的直母线族为22及()(1)0,243)xzyuvz()(1)0,243)xzyuvz将点 代入直母线族的方程中，得到(I)的参数为 v =0，(II)的参数为 ,(,3) 0uv所以过点 的直母线为24，
20、0,()3xzy20,()3.xyz2.求直线族 所形成的直纹面方程。21解：直线族 改写为2xyz2,1zy消去 参数得到直纹面方程。22430yzxyz3.求与以下三直线同时共面的直线所产生的曲面，12311:,:,:.5xlllyzz解：依题意，所求直线 应同时在过 的平面束中，即l12,l该直线经过点 ，方向向量为 。(1)0:,uxyzlv(1,)v(2,)uv由于 与 共面，所以l3，化简得到 。将直线 的方程中的参数依此关系消122045vu1uvl去，得到动直线产生的曲面方程 。22xyz4.证明单叶双曲面的同族中的任意两条直母线异面；异族中的任意两条直母线共面。证明：设单叶双
21、曲面的方程为 直母线族为221(0,).abcabc及cosin,()i,xauvybzosin,()i,xuvyzc（1）在(I) 中任取两条直母线 ，对应的参数为 ， 分12,l 12120,u1,l别经过点 ， ，方向向量是11(cos,in0)Maub2(cos,in)Maub， ，显然两方向不共线，计算混1in,v2ivc合积 212112(cos)(sini)0(,)incoaubuv c222121(cs)(sii)o0.abu所以(I)中任意两条直母线 异面。同理可得(II)中任意两条直母线也异面。12,l（2）在两族直母线中分别任取一条，记为 ，对应的参数为12,l分别经过点
22、 ，10,u12l1(cosin,0)Maub，方向向量是 ，22(cosin0)Mab11cos,vu。2i,s,vuc如果 ，由于它们经过同一个点，所以 共面。12 12,l如果 ，则计算混合积12u212112(cos)(sini)0(,)incoaubuMv c，222211cossii0ab所以 共面。并且当 时， 平行。12,l12u2,l5.设 是马鞍面，证明：S（1）同族中的任意两条直母线异面；（2）异族中的任意两条直母线相交；（3）同族中的全体直母线平行于同一个平面。证明：设马鞍面的方程为 它的两族直母线为2,0.xyzabab及,()2,xauvybz,()2,vuyz（1
23、）在(I) 族中任取两条直母线 ，对应的参数为 ， 分别经过点1l122,u1,l， ，方向向量是 ，1(,0)Maub22(,0)aub1()vab，显然两方向不共线，计算混合积2v2121 212 12()()0(,) 4()0.uvababu所以(I)中任意两条直母线 异面。同理可得(II)中任意两条直母线也异面。12,l（2）在两族直母线中分别任取一条，记为 ，对应的参数为 分别经过12,l12,uvl点 ， ，方向向量是 ，11(,0)Maub22(,0)avb1(,)vab。显然两方向不共线，即它们不可能平行。计算混合积22vv212112 2()()0(,) .vuvabu所以异
24、族中的任意两条直母线 相交。12,l（3）由于(I) 中任意直母线的方向向量为 它平行于平面 ，1(,2),vabu0bxay所以(I)中所有直母线平行于平面 。0bxy由于(II)中任意直母线的方向向量为 它平行于平面 ，所以2(,),vvy(II)中所有直母线平行于平面 。ay6.证明马鞍面的正交直母线的交点在一条双曲线上。证明：设马鞍面的方程为 由上一题的结论，马鞍面的相交2,0.xzbab直母线一定是异族的，所以在(I)，(II)族中分别选直线使得它们正交：及,()2,xauvybz,()2,vuyz(I)中直线的方向向量为 (II)中直线的方向向量为 由于1()vab2(,),vab
25、v它们正交，所以 要得到正交直母线的212,40,AAuvabu交点的轨迹方程，只需在两族直母线中的参数按上述关系消去即可，于是得到它表示平面 上的一条双曲线。22,xybaaz2z7.已知平面 与锥面 的交线是两条正交的0()xbyczab0xyz直线，证明。证明：已给锥面方程变形为 设比值为 ，得到锥面的直母线族 ：.xyzkkl的方向向量为 。因为所求直母线在平面(1)0,.kxyzkl(,1),k上，所以有 即()abcab()0,abck它的两个解就是所求直母线的参数 ，它们满足20.kkc121212,bb由于两条直母线正交，所以 将上述12212()()0,kk关系代入，得到 即
26、有 。0,cab10abc习题 3.61.用不等式组表达由下列平面或曲面所围成的空间区域，并作简图。（1） 216,4,0;xyzx（2） （在第 卦限内） 。2229316yz解：（1） 分别是圆柱面，两平面，要使得它们围成一2,yz个空间有界区域，应该在圆柱面的内部，平面 的负侧，平面 的正侧40zx0z（上侧） ，所以用不等式组表示区域为： 216,.y（2）由于椭球面 整个都在球面 的内部，所21693xyz2216yz以它们在第 卦限内围成的区域应该在椭球面的外部，在球面的内部，所以用不等式组表示区域为： 22,2216,x0,.x2.作出由不等式组 所确定的空间区208,04,zy域简图。
