1、- 1 -高三数学第一轮复习单元测试（10）极限、导数一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确1 （理）若复数 满足方程 ，则 （ ）z02z3zA B C D 2i2i2(文)曲线 y=4xx 3 在点(1,3) 处的切线方程是 （ ）A y=7x+4 B y=7x+2 C y=x4 D y=x22函数 y=x2( x )图象上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜1角的范围是 （ ）A 0, , B 0, 43C , D 0, ( , )4233 （理）若 ,则 a 的值为 （ ）2limx43aA0 B
2、1 C1 D 21（文）在曲线 y=x2+1 的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+x,2+y）,则 为yx（ ）Ax+ +2 Bx 2 x1 1Cx+2 D2+ x4曲线 y= x5+3x2+4x 在 x=1 处的切线的倾斜角是 （ ）1- 2 -A B C D4443455函数 f(x)=x3ax 2bx+a 2 在 x=1 时,有极值 10,则 a、b 的值为 （ ）A B 1,ba或 1,-或C D以上皆错56 （理）已知 ，下面结论正确的是 （ ）23,1xfA 在 处连续 B fx15fxC D1lim2x1limx（文）设 f（x）=ax 3+3x2+2,若 f（1）=4,则
3、a 的值等于A B C D39633107函数 f(x)=x33x +1,x 3,0的最大值、最小值分别是 （ ）A1,1 B1, 17 C3, 17 D9,198 （理）数列a n中，a 1=1,Sn 是前 n 项和.当 n2 时，a n=3Sn,则 的值是（ lim31nS）A B2 C1 D3 54（文）曲线 y=x33x 2+1 在点（1，1）处的切线方程为 （ ）Ay=3x4 By= 3x+2 Cy=4x+3 Dy=4x59 （理）2+2 i 的平方根是 （ ）A +i B i C +i D( +i)3333（文）已 知 f（ x） =2x3 6x2+m（ m 为 常 数 ） 在 2
4、， 2 上 有 最 大 值 3， 那 么 此 函 数 在 2， 2 上 的 最小值是 （ ）A37 B29 C5 D以上都不对10已知函数 的图象如右图所示（其中 是函数 的导函数） ，下面)(xfy)(xf)(xf- 3 -四个图象中 的图象大致是 )(xfy11设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是 （ )()(xgfxf）A （3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3) C(,- 3) (3,+) D( , 3)(0, 3)12已知两点 O（0,0） ，Q（ ,b）,点 P1 是线段 OQ
5、的中点，点 P2 是线段 QP1 的中点，aP3 是线段 P1P2 的中点， 是线段 的中点，则点 的极限位置应是（ 2nn1n）A （ , ） B( ) C( ) D ( ) ab3,ba32,ba43,ba二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上)13垂直于直线 2x6y+1=0 且与曲线 y=x3+3x21 相切的直线方程的一般式是_.14(理) （2006 年安徽卷）设常数 ， 展开式中 的系数为 ，则0a42x3x2_.2lim)nna(文)(2006 福建高考)已知直线 与抛物线 相切，则10xy2yax_.15函数 f(x)=2x3+3x
6、212x 5,则函数 f(x)的单调增区间是_.- 4 -16 （理）用数学归纳法证 )“(21124132“ *Nnnn的过程中，当 n=k 到 n=k+1 时，左边所增加的项为_.（文）若函数 f（x）=x 3+x2+mx+1 是 R 上的单调递增函数，则 m 的取值范围是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）（理）设函数 )3(4)120()(2xxf（1）画出函数的图象；（2）在 x=0，x=3 处函数 是否连续；)(f（3）求函数 的连续区间.)(xf（文）已知函数 .axaf3123（1）讨论函数 的单
7、调性；)(xf（2）若曲线 上两点 A、B 处的切线都与 y 轴垂直，且线段 AB 与 x 轴有公fy共点，求实数 a 的取值范围.- 5 -18 （本题满分 12 分）（理）已知复数 z1=cosi ，z 2=sin+i，求| z1z2|的最大值和最小值.（文）(2006 福建高考)已知 是二次函数，不等式 的解集是 且()fx()0fx(,5)在区间 上的最大值是 12。(fx,4（1）求 的解析式；)（2）是否存在实数 使得方程 在区间 内有且只有两个不,m37()0fx(,1)m等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由19 （本小题满分 12 分）已知 有极大值 和极小
8、值 .cbxaxf23)( )(f)(f（1）求 + 的值；)(f（2）设曲线 的极值点为 A、B，求证：线段 AB 的中点在 上.xy )(xfy- 6 -20 （本小题满分 12 分）（理）函数 的定义域为 R，且bxaxf21)( ).(0)limNnfn（1）求证： ;0,（2）若 上的最小值为 ，,)(54)(在且 xff 21求证： .n2 )(1Nn（文）(2006 安徽高考)设函数 ，已知32fxbcxR是奇函数。()gxfx（1）求 、 的值bc（2）求 的单调区间与极值)- 7 -21 （本小题满分 12 分）（理）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，射线 上依次)0(2)
9、0(xyxy和有点列 A1，A 2，A n，；B 1，B 2，B n，.其中 ，|),4(,),( 1nOA且 ).3| 11 Bnn（1）用含有 n 的式子表示 ；|B（2）用含有 n 的式子表示点 An、B n 的坐标；（3）求四边形 面积的最大值.)4(1（文）(2006 陕西高考)已知函数 f(x)=kx33x 2+1(k0).（1）求函数 f(x)的单调区间 ;（2）若函数 f(x)的极小值大于 0, 求 k 的取值范围.- 8 -22 （本大题满分 14 分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某
10、鱼群在第 n 年年初的总量，nN *，且 x10.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，c.（1）求 xn+1 与 xn 的关系式；（2）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）(只理科做)设 a2， b1，为保证对任意 x1（0,2） ，都有 xn0，nN *，则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论.- 9 -参考答案（10）1 （理）设 ，由 ，得 ，得 。所以zabi(,R)2z02ab0z2i.答案:D32i（文） ,所以 k
11、 切 =43( 1) 2=1,运用直线的点斜式方程得 y=4xx 3 在点4yx=-(1,3)处的切线方程是 y=x2,所以应选 D.2y=2x. x ,1y1,即1tan1.又0,02或 .答案:A433 （理） 存在，而把 x=2 代入分母时，分母为零，分子、分母应2limx)(xa有(x 2)这一公因式，化简以后，再求极限 .分子 x2+ax2 可分解成(x2)(x+1)，即 x2+ax2=(x 2)( x+1)=x2x 2.a= 1.答案: C（文） = =x+2. 答案:Cy)1()14y=x 4+6x+4,y| =(1) 4+6(1)+4=1.由 tan=1,0,得 = .1x 4
12、3答案:C5f(x)=3x 22ax b.函数 f(x)在 x=1 处有极值 10, 解得.101,232ab答案:A.1,43,ba或6 （理） 当 x=1 时，2x +3=5 2,故 A、B 错误；而 =5，故选 D.1lim(23)x（文）f（x）=3ax 2+6x,f（1）=3 a6=4,所以 a= .答案:D07f(x)=3x 23=3(x1)(x+1).令 f(x)=0 得 x=1 或 x=1(舍去).- 10 -列表如下:x 3 ( 3, 1) 1 (1,0) 0f(x) 17 3 1f(x) max=3,f(x)min=17.答案:C8(理)当 n2 时，a n=SnS n1
13、=3Sn,S n= Sn1 .又 S1=a1=1，S n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列. = = .答案: A1nlim31nli3)2(n(文)y=3x 26x,y| x=1=3.在（1,1）处的切线方程为 y+1=3（x1）.答案:B9(理)设 2+2 i 的平方根是 a+bi(a、bR ),3则(a+bi) 2=2+2 i,即 a2b 2+2abi=2+2 i.由复数相等的定义,得3.32,ab解得 或 即 2+2 i 的平方根是( +i).答案:D1,3ba,133(文) （x）=6x（x2） ，f（x）在（2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函f数的，x=0 时，f（x）=
14、m 最大.m=3，f（2）= 37，f（2）=5.答案：A10由函数 的图象可知：当 时， 0，此时 增,)(y1)(x)()(xf当 时， 0， 0， 0，此时)(xf)( )(x)(f增.答案:C11当 x0 时, 0 ，即 ,当 x0 时，f(x)()(xgfxf )(/xgfg(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0, 故当 时，3f(x)g(x)0,又 f(x)g(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)g(x)为减函数，且 f(3)g(3)=0,故当时，f(x)g(x)0,故选 D312.点 的位置应是( ,点 的极限位置nP )1
15、6842,16842 banP- 11 -应是( ).答案:C32,ba13.所求直线与 2x6y+1=0 垂直，k=3.又由 y=x3+3x21,得y=3x 2+6x=3.x=1,切点为( 1，1).直线方程为 y1=3(x+1),即 3x+y+2=0.答案: 3x+y+2=014(理) ，由 ，所14821rrrTCax823,rx得 431=2rCa由 知以 ，所以为 1.2lim()12nn(文) 直线 与抛物线 相切,切线的斜率 ,切点0xy2yax21kyax,而切点又在抛物线 上, 故 .12,)a1()a415分析:本题考查用导数求函数的单调区间 ,但要注意单调区间的写法.解:
16、f(x)=6x2+6x12,令 f(x)0,得 6x2+6x120,解得 x2 或 x1,即函数 f(x)的单调增区间是(,2)或(1,+).答案:(,2) 或(1,+)16 （理)当 n=k 到 n=k+1 时，左边增加了两项 ,减少了一项 ,左边所1,k1k增加的项为 = .答案:22k122(文)f （ x） =3x2+2x+m.f（ x）在 R 上是单调递增函数,f（x）0 在 R 上恒成立，即 3x2+2x+m0.由 =443m 0,得 m .答案:m3117(理) 图略； ，000lim(),li()lixxxff， 处连续 ， 同理 处连续；且 )(f在 3)(xf在连续区间为(
17、，+).(文)（1）由题设知 .)2(36)(,02axaxfa令 .xxf,021得当（i）a0 时，若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；),(0)(f)(xf)2,(a若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数；2,0axxff,0- 12 -若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；),2(ax0)(xf)(xf),2(a（i i）当 a0 时，若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数；),()(f)(f),(若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数；2,0ax0xfxf2,0a若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；),()(f)(f),(若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数.,0x0xfxf,0（）由
18、（）的讨论及题设知，曲线 上的两点 A、B 的纵坐标为函数的)(fy极值，且函数 在 处分别是取得极值 ，)(xfya2,0 af31)0(.134)2(af因为线段 AB 与 x 轴有公共点，所以 .0)2(af即 .所以 .0)31(4(2aa 43)(12a故 .,)且解得 1a0 或 3a 4.即所求实数 a 的取值范围是-1，03 ，4.18(理) .2sin41cosin2)()1( |ii| 22 z故 的最大值为 最小值为 .|1z,3(文)（1） 是二次函数，且 的解集是()fx()0fx(,5)可设 在区间 上的最大值是5(.a14(1)6.fa由已知，得 612, 9 分
19、- 13 -22,()5)10().afxxR（2）方程 等价于方程373270.x设 则2(),hxx()6(31).hx当 时， 是减函数；10,3()0x当 时， 是增函数。(x,()1)1,()450,27hh方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间0x(3,) (0,3)内没有实数根，(4,)所以存在惟一的自然数 使得方程 在区间 内有且只,m37()0fx(,1)m有两个不同的实数根.19 （1） ，由于 有极大值和极小值，baxxf23)(f、 的两根，0为则 )()()(, 2323 cbacbaf )()(23 cbacb 74(3 32（2）设 cbafBfA 2)()(
20、),(),( 3由 2127)3( 32 fcabcaba知 AB 的中点在 上)(xfy20(理) 解： 定义域为 R，0,0.,xbxRa即 而 若 则1lim0,nfx与 矛 盾- 14 -1lim()li2bxnnfa(021)0,0()bbb aba即 故由知 )1(,21,0,0)( ffxf 即上 为 增 函 数在14142.()5xbb xxakN当 时 ().42kkf211(1)3()()nf fn 1.2n(文)（1） ， .从而2fxbcx3fxbc32()()gx32)bc是一个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ；(0g3（2）由（）知 ，从而 ，由此可知，36x2
21、()36gx和 是函数 是单调递增区间；(,)(,)是函数 是单调递减区间；在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小gx24()x2值，极小值为 .421(理) 由已知得 ，5|21B),3(,|1nn所以， 是首项为 ，|1公比为 的等比数列， 2)(,)215| 1-n21 NnBn ）（设 ,3|),( AOxA是首项为 公差为 的等差数列， |nO,1n)(|1 ),(,2| nAOxn| 132n BBB)(55n- 15 -21)(5n 2)1(53n设 . 所以2)(|),2( nnnnOBxxB )21(6,)(33nnnB设四边形 的面积是 ，则A1S211|211
22、 dAdSS nnBBnnn )(35)2( n)(3)4(021 nnSn数列 单调递减 .四边形 的面积的最大值为),4(NnBA1.16274(文)（1）当 k=0 时,f(x)= 3x 2+1,f(x)的单调增区间为(,0),单调减区间0,+.当 k0 时 , f (x)=3kx26x=3kx(x )2kf(x)的单调增区间为(,0) , , +, 单调减区间为0, .2k 2k（2）当 k=0 时, 函数 f(x)不存在最小值.当 k0 时, 依题意 f( )= +10 , 2k 8k2 12k2即 k24 , 由条件 k0, 所以 k 的取值范围为(2,+).22 （1）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为.(*),1( .(,1 2Nncxbaxcn即 因 此（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn 恒等于 x1， nN*，从而由（*）式得0,0)( 1cbaxcbann 即所 以恒 等 于因为 x10，所以 ab.猜测：当且仅当 ab，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.cx1（3）若 b 的值使得 xn0，nN*由 xn+1=xn(3bx n), nN*, 知- 16 -00.又因为 xk+1=xk(2x k)=(x k1) 2+110， nN*，则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.
