1、蚌埠二中 2010 届数学试卷（文科）11一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。1等比数列 中， ，则公比 （ ）na13460,aqA B C D42282已知 si()3，则 cos()4的值等于 （ ）A 3 B.- C.13 D.-133已知 为单位向量，且 ，则 与 的夹角为 （ ）,abababA B C D4624.若函数 f(x)和 g(x)的定义域、值域都是 R，则不等式 f(x) g(x)有解的充要条件是 ( )A. xR, f (x)g(x) B.有无穷多个 x (xR )，使得 f(x)g(x)C. xR，f (x)g(x) D. xR| f
2、(x)g(x)=5已知平面 平面 ，点 P平面 ,平面 、 间的距离为 8，则在 内到点 P 的距离为 10 的点的轨迹是 （ ）A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点6.若函数 y= )1(log2ax有最小值，则 a 的取值范围是 ( )A.0 g(x)有解的充要条件是 ( A )A. xR, f (x)g(x) B.有无穷多个 x (xR )，使得 f(x)g(x)C. xR，f (x)g(x) D. xR| f (x)g(x)=5已知平面 平面 ，点 P平面 ,平面 、 间的距离为 8，则在 内到点 P 的距离为 10 的点的轨迹是 （ A ）A 一个圆 B 四个点 C 两条
3、直线 D 两个点6.若函数 y= )1(log2ax有最小值，则 a 的取值范围是 ( B )A.0a1 B. -2a2， C. 1a2 D.a 2 或 27已知 ， 与 分别为圆锥曲线 和 的离心率，则0b1e221xyb21xyb的值 （ C 12lge）A一定是正值 B一定是零 C一定是负值 D符号不确定8设 是定义在 上的以 为周期的奇函数，已知 时， ，fxR20,1x12logfxx则 在 上 （ B ）1,A是减函数，且 B是增函数，且0fxfC是减函数，且 D是增函数，且0x9. 设 是非零向量，若函数 的图像是一条直线，则必有（ ab, ()()fxabxB ）A B C D
4、 /a=ab10若不等式 对于任意正整数 都成立，则实数 的取值范围是（ A 1()12nnana）A B C D3,3,3,23,2二、填空题：本大题有 5 小题，每小题 5 分11. 从分别标有数字 1，2，3，4 的 4 个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取 2个球，则抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于 . 8512在 中，a、b 、c 分别为三个内角 A、B 、C 对应的边，设向量 ，ABC ,mbca，若向量 ，则 的大小为_,ncmn603或13.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，
5、部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为 a，视 力在 4.6到 5.0 之间的学生数为 b,则 a+b 的值为 . 78.27 14.设不等式组 230|yx所表示的平面区域为 S，若 A、B为 S内的任意两个点，则| AB|的最大值为 . 6515我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 (3,4)，且法向量为 (1,2)n的直线（点法式）方程为 1(3)2(4)0xy，化简得 210xy. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 ,A且法向量为 (,)n的平面(点法式) 方程为
6、.(请写出化简后的结果)。 zyx三、解答题：本大题有 6 小题，共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）已知点 ，且 )sin,(co),20(CBA0（1）若 ，求角 ；7OCA（2）若 ，求 的值 （1） ;（2） Bsinco6717 （本小题满分 12 分）如图所示,矩形 中， 平面 ，ABCDABE为 上的点，且 平面 交 与点 FCEA2EFC,DG（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 ；/AED C（3）求三棱锥 的体积BGFC（1）略;（2）略;（3） 3118.(本小题满分 12分) 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含
7、量及成本如下表：甲 乙 丙维生素 A（单位/kg ） 60 70 40维生素 B（单位/kg） 80 40 50成本（元/kg） 11 9 4现分别用甲、乙、丙三种食物配成 10kg 混合食物，并使混合食物内至少含有 560 单位维生素 A 和 630 单位维生素 B.（）若混合食物中恰含 580 单位维生素 A 和 660 单位维生素 B，求混合食物的成本为多少元?（）分别用甲、乙、丙三种食物各多少 kg，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？【解】 （）依题意得 ，即 . 106745886xyz102386zxy由此解得 x6，yz2. 故混合食物的成本为 611292492(元)
8、. （II）解法一：设分别用甲、乙、丙三种食物 xkg，ykg ，zkg，混合食物的成本为 p 元，则，即 . 106745863,zxyz3160,xy且 . 1940pxy作可行域，如图. 由 ，得点 A(5，2).2360xy平移直线 7x5y0，由图知，当直线经过点 A 时，它在 y 轴上的截距为最大，所以点 A 为最优解，此时 (元). 7548p故用甲种食物 5kg，乙种食物 2kg，丙种食物 3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为 85 元. 解法二：设分别用甲、乙、丙三种食物 xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为 p 元，则2x3y1603xy130xyOA7x
9、5y0BFG，即 . 106745683,xyzz463210,xy且 . 19pxyxy因为 ，所以 . 75(46)()45754085pxy当且仅当 ，即 时等号成立，所以 p 的最小值为 45. 321故用甲种食物 5kg，乙种食物 2kg，丙种食物 3kg 时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为 85 元. 19已知圆 过点 ，且与圆 关于直线C,P22: 0Mxyr对称20xy求圆 的方程；过点 作两条不同直线分别与圆 C 相交于 A、B，且直线 和直线 的倾斜角互PAB补， 为坐标原点，试判断与直线 和 是否平行？请说明理由OOP19解：设圆心 ， ,Cab201b 又 在圆
10、上所以圆 C 的议程为0ab1,P2xy由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA： ， 由 ykx:1Byk21kxy得 ，因为 P 的横坐标 一定是方程的解，故22110可得 同理2,Axk21Bxk所以 1ABABA OPBxy k所以，直线 AB 和 OP 一定平行。20 （本题 13 分） 如图，已知椭圆 )0(12babyax，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2 交椭圆于另一点 B. （）若F 1AB=90，求椭圆的离心率；（）若 BF2，31A，求椭圆的方程.解：（）若 21,90OF则为等腰直角三角形，所以有
11、OA=OF2，即 b=c 3 分所以 ,ace 6 分（）由题知 12(0),)Ab(c,0其中， 2,(,)cabBxy设 由 2 332,(,).22cbcAFccxyB解 得 即分将 B 点坐标代入22299141,4bxyabaa得 即，解得 23c 10 分又由 2213(,),),.cAFbccA即 有 12 分由, 解得, 22.从 而 有所以椭圆方程为 13yx 21. （本题 13 分）已知函数 f(x)=x3-ax (aR)(1)当 a =1 时，求函数 f(x)的单调区间（2）是否存在实数 a，使得 0)(92xf对任意的 x0，1 成立？若存在，求出 a的值，若不存在，
12、说明理由。解：（1）f(x)=x 3-x， )(xf=3x2-1=0，x= 3，x（ 3,）或 x（ ,3）时)(xf0，x（ ,）时 )(f0,所以函数 f(x)的单调递增区间为（ 3,）和（ ,） ，函数 f(x)的单调递减区间为（ 3,）5分（2）假设存在这样的 a，使得 0)(932xf对任意的 x0，1 成立，当 x=0 时，aR先求 03x对任意的 x（0，1成立，即 2a对任意的 x（0，1 成立，所以 1 10 分再求 .923对任意的 x（0，1成立，即 1293对任意的x（0，1成立，记 1293)(t （x（0，1 ）293)(xt， ， ，且在 x（0， 3）时， 0)(xt，函数12x递减， 在 x（ 3，1）时， )(t，函数93)(xt递增。所以，函数 129)(xt在区间0，1 的最小值为 )3(t=1，所以 1a 由，可知，存在这样的 a=1，使得 0)(932xf对任意的 x0，1 成立15 分
